Chapter3離散系統(tǒng)的時(shí)域分析Time-DomainAnalysisofDiscreteSystems

董超群upcdcq@163.compage2第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

本章將研究LTI離散系統(tǒng)的時(shí)域分析方法。離散系統(tǒng)分析與連續(xù)系統(tǒng)分析在很多方面都是類似的。例如：連續(xù)系統(tǒng)用微分方程描述，離散系統(tǒng)用差分方程描述；在連續(xù)系統(tǒng)中，卷積積分具有重要意義。在離散系統(tǒng)中，卷積和具有同等重要的地位；在連續(xù)系統(tǒng)中，階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)可用于描述系統(tǒng)的特性。在離散系統(tǒng)中，階躍響應(yīng)和單位序列響應(yīng)作用相當(dāng)。

但也要注意二種系統(tǒng)之間也存在很多重要差異。page3第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析$3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)（差分和差分方程的定義

經(jīng)典解

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)）$3.2單位序列與單位序列響應(yīng)（單位序列和階躍序列定義

單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)的定義、求解過程及二者關(guān)系）$3.3卷積和（定義

圖解法

性質(zhì)）$3.4*反卷積（實(shí)質(zhì)

求解過程）page4

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)一.差分與差分方程1.一階差分的定義及序列求和運(yùn)算

設(shè)有序列，則稱為的移位序列。一階前向差分：一階后向差分：二者間關(guān)系：序列求和運(yùn)算：比較：差分求和微分積分page5

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

2.差分具有線性性質(zhì)

差分具有線性性質(zhì)，可證明如下：由差分的定義，若有序列和常數(shù)，則有page6

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

3.二階及更高階差分的定義（以后向差分為例）類似地，可定義三階、四階、、階、差分?！渲?，，為組合數(shù)。（自行課后推導(dǎo)）（數(shù)學(xué)歸納法）page7

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

4.差分方程

差分方程是包括關(guān)于未知序列及其各階差分以及已知序列及其各階差分的方程式。它的一般形式可寫為：階差分方程

由于各階差分均可寫成或及其移位序列的線性組合形式，所以通常所說的差分方程是指：page8

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

5.線性常系數(shù)差分方程

如果和及其它們的各次移位序列均為一次式，就稱其為線性的。

如果和及其它們各次移位序列的系數(shù)均為常數(shù)，就稱其為常系數(shù)差分方程。

例如：

描述LTI離散系統(tǒng)的都是線性常系數(shù)差分方程。

差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵(lì)，利用迭代法可求得差分方程的數(shù)值解。page9

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

例3.1-1

若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件,激勵(lì),求。解：對(duì)于，將初始條件代入，得：類似地，依次迭代可得：…迭代法便于計(jì)算機(jī)求解，但通常無法得到解析解。page10

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

二.差分方程的經(jīng)典解線性常系數(shù)差分方程的一般形式是：或縮寫為：其中，和為常數(shù)，。方程的解為：齊次解特解page11

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

齊次解：齊次解是齊次差分方程的解，它是形式為的一些函數(shù)的線性組合。其中，為方程的特征根。特征根：特征方程的根。不同類型的特征根所對(duì)應(yīng)齊次解的形式不同，可通過查表的方法得到。page12

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

不同特征根所對(duì)應(yīng)齊次解的形式（教材P92表3.1.1）特征根齊次解的形式單實(shí)根

重實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根

重共軛復(fù)根或其中page13

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

特解的形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。(教材P93表3.1.2)激勵(lì)的形式特解的形式

等于重根不等于特征根等于特征根或其中所有的特征根均不等于所有特征根均不為1r重等于1的特征根page14

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

選定特解的形式后，將它代回到原差分方程，可求出各待定系數(shù)，從而可求出特解。待定系數(shù)的求法：

對(duì)于階差分方程，利用個(gè)已知的初始條件，就可求出全部待定系數(shù)。

明確求出特解后，可將方程的全解表示為齊次解和特解之和。(假設(shè)：特征根均為單根)page15

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

例3.1-2

若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件,激勵(lì),求。解：首先求齊次解。特征方程為：再求特解。查表得：將、、代入到原方程，可得：page16

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

差分方程的全解：自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)將初始條件代入得：page17

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

例3.1-3

若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件,激勵(lì)為有始的周期序列

,求其全解。再求特解。根據(jù)計(jì)算、：解：首先求齊次解。特征方程為：page18

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

將、、代入到原方程，整理后得：page19

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

將、、代入到原方程，整理后得：page20

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

差分方程的全解：將初始條件代入得：自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)page21

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。零輸入響應(yīng)：在零輸入條件下，方程為齊次方程?？赏ㄟ^查表得的形式。若特征根均為單根，則有：其中,待定系數(shù)可由初始條件確定。零狀態(tài)響應(yīng)：其中,待定系數(shù)可由初始條件確定。page22

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

全響應(yīng)既可分解為自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)之和，也可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。它們的關(guān)系為：自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)page23

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

一般而言，激勵(lì)都是在時(shí)刻接入的。通常更習(xí)慣以描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)?！居?時(shí)刻才接入】P96:但是求時(shí)不進(jìn)行遞推也是可以的！page24例3.1-4,5

描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知，,求和。

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

利用遞推關(guān)系，可得和：解：（1）應(yīng)滿足

P96:求不遞推也可以！page25

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

代入初始條件，可得：不進(jìn)行遞推，直接使用-1,-2處的初值，也可得到同樣的結(jié)果！page26

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

（2）

應(yīng)滿足：利用遞推關(guān)系，可得和：【】必須進(jìn)行遞推！page27

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

將代入得：page28

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

前例中給出的初始條件為，如何求解？總結(jié)：使用齊次方程遞推使用完整差分方程遞推以上順序可互換，互不影響。page29

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

若前例中給出的初始條件為，如何求解？變化：使用完整差分方程遞推第①步根據(jù)：第②步順序不可互換，必須先①后②。page30

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)一.單位序列和單位階躍序列1.單位(沖激)序列的定義定義：移位：取樣性質(zhì)：page312.單位階躍序列的定義定義：移位：

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

注意：或無意義page32類似于

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

3.單位階躍序列與單位序列間的關(guān)系page33有了單位階躍序列和單位序列后，可簡(jiǎn)化序列的表示。如：可表示為：如：可表示為：

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

從分段函數(shù)到閉合表達(dá)式的轉(zhuǎn)化page34二.單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)1.單位序列響應(yīng)

當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位序列時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)，用表示。

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

由于單位序列僅在處等于1，而在時(shí)為零，因而在時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)具有齊次解的形式，而在處的值可按零狀態(tài)的初始條件由差分方程遞推確定【由的值去確定】。page35例3.2-1

求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。解：(1)列寫差分方程，求初值

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

page36(2)求當(dāng)時(shí)，有：特征方程為：代入初始條件，得：

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

page37例3.2-2

求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。解：(1)列寫差分方程

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

page38(2)求設(shè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為，則有：根據(jù)前例所得的結(jié)果，有：

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

【也可寫為P105分段函數(shù)形式】page39

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

2.階躍響應(yīng)

當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位階躍序列時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，用表示。

若已知系統(tǒng)的差分方程，可以用經(jīng)典法求得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

若已知系統(tǒng)的，可利用二者關(guān)系求得。類似于方法1：方法2：page40

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

例3.2-3

求例3.2-1中離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解：(1)經(jīng)典法page41

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

階躍響應(yīng)滿足：page42

3.2單位序列和單位序列響應(yīng)

(2)利用計(jì)算【利用等比數(shù)列的求和公式；教材P349附錄C】例3.2-1結(jié)論page433.3卷積和一.卷積和的定義

3.3卷積和

若有兩個(gè)序列和，二者的卷積和的數(shù)學(xué)定義式為：*若為因果序列：若為因果序列：若二者皆為因果序列：【隱含：

】page443.3卷積和

對(duì)于一個(gè)LTI離散系統(tǒng)，假設(shè)已求得它的單位序列響應(yīng)為。對(duì)于任意輸入，如何求得它的零狀態(tài)響應(yīng)？

對(duì)任意輸入,只要設(shè)法用單位序列及其移位序列的組合來表示，那么就可利用來表示。

3.3卷積和

page45

3.3卷積和

任意離散序列可表示為：*page46

3.3卷積和

上式表明，LTI離散系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與單位序列響應(yīng)的卷積和。page47

3.3卷積和

例3.3-1

如，，，求：(1)(2)。解：(1)【教材P349】page48

3.3卷積和

例3.3-1

如，，，求：(1)(2)。解：(1)(2)【教材P349】page49

3.3卷積和

例3.3-1

如，，，求：(1)(2)。解：(1)(2)page50

3.3卷積和

二.卷積和的圖解法求解步驟：

將序列，中的自變量用代替，然后將序列以縱坐標(biāo)軸為軸線反轉(zhuǎn)，成為。(3)根據(jù)取值的不同，對(duì)進(jìn)行討論。(2)將序列沿軸正方向平移個(gè)單位。當(dāng)時(shí)，右移個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，左移個(gè)單位。無論何種情況，中對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，在中移至?xí)r刻。page51

3.3卷積和

例3.3-3

如有兩個(gè)序列試求二序列的卷積和。解：(1)畫出和的波形。page52

3.3卷積和

(2)在軸上，對(duì)平移個(gè)時(shí)間單位。(3)按取值的不同進(jìn)行討論，計(jì)算求和。page53

3.3卷積和

①②page54

3.3卷積和

③④page55

3.3卷積和

⑤⑥page56

3.3卷積和

⑦⑧page57

3.3卷積和

page58

3.3卷積和

一個(gè)點(diǎn)序列與一個(gè)點(diǎn)序列卷積，結(jié)果序列的長(zhǎng)度=?思考：開始結(jié)束結(jié)果點(diǎn)【看最右邊的點(diǎn)移動(dòng)了多少位置】驗(yàn)證：page59

3.3卷積和

一個(gè)點(diǎn)序列與一個(gè)點(diǎn)序列卷積，結(jié)果序列的起始時(shí)刻=?，終止時(shí)刻=?。思考：回答：結(jié)果的起始時(shí)刻等于兩序列起始時(shí)刻的和，結(jié)果的終止時(shí)刻等于兩序列終止時(shí)刻的和。原因與連續(xù)系統(tǒng)類似。驗(yàn)證：page60

3.3卷積和

如果和均為因果序列，即：，則有：

經(jīng)觀察后可發(fā)現(xiàn)，求和符號(hào)內(nèi)的序號(hào)與的序號(hào)之和恰好等于。

如果將的各個(gè)值排成一行，將的各個(gè)值排成一列，如下頁(yè)圖中所示，在表中各行與列的交叉點(diǎn)處，記入相應(yīng)的乘積。page61

3.3卷積和

可以發(fā)現(xiàn)，沿斜線（虛線）上各項(xiàng)的序號(hào)之和為常數(shù)，與兩因果序列卷積和公式相同。沿斜線上各數(shù)值之和就是卷積和。（列表法）page62

3.3卷積和

例3.3-3page63

3.3卷積和

圖解法的另一種等效方法：滑帶法

當(dāng)序列較短或由圖解法計(jì)算方便時(shí)，使用滑帶法計(jì)算卷積是更加方便。這個(gè)方法本質(zhì)上與圖解法相同，唯一的不同在于，數(shù)據(jù)不是用波形來表示，而是作為一個(gè)數(shù)的序列排列在一條帶子上。除此之外，計(jì)算的過程是相同的。page64

3.3卷積和

固定帶滑動(dòng)帶page65

3.3卷積和

page66

3.3卷積和

【P113列表法、不進(jìn)位乘法】page67

3.3卷積和

三.卷積和的性質(zhì)1.卷積和的代數(shù)運(yùn)算(1)交換律令：則上式得證。證：page68

3.3卷積和

(2)分配律得證。并聯(lián)：*證：page69

3.3卷積和

(3)結(jié)合律【交換求和次序】【令】【】得證。證：page70

3.3卷積和

串聯(lián)：*或page71

3.3卷積和

2.與單位序列的卷積(1)(2)(3)(4)(5)若，則：（自行課后證明）page72

3.3卷積和

例3.3-5

如圖所示的復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成，已知兩個(gè)子系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)分別為和，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。解：根據(jù)題意有：page73

3.3卷積和

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【教材P349】page74

3.3卷積和

例3.3-6

如圖所示的離散系統(tǒng)，已知初始狀態(tài)，

,激勵(lì),求全響應(yīng)。解：(1)求零輸入響應(yīng)【P103例3.2-1中已求出】page75

3.3卷積和

利用遞推關(guān)系，可得：特征方程為：代入初值，可得：不遞推也可求！不遞推求得結(jié)果相同！page76

3.3卷積和

(2)求單位序列響應(yīng)根據(jù)例3.2-1的結(jié)果，有：(3)求零狀態(tài)響應(yīng)page77

3.3卷積和