上海市青浦高級中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期5月質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、填空題1.若集合，則實(shí)數(shù)______.【答案】2【解析】【詳解】集合，.故答案為：.2.函數(shù)最小正周期為________．【答案】##【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式以及絕對值函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期為．故答案為?3.i為虛數(shù)單位，則___________．【答案】##【解析】【詳解】因?yàn)椋?，故答案為?4.已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則______．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：由題意得，解得，故答案為：5.等比數(shù)列的各項(xiàng)和為2，則首項(xiàng)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列各項(xiàng)和公式，結(jié)合公比的取值范圍求解即得.【詳解】依題意，，或，則，或，所以首項(xiàng)的取值范圍為.故答案為：6.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．【答案】.【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.7.若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值為求解切點(diǎn)坐標(biāo)，再把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可求解值．【詳解】由，得，直線與曲線相切，，解得，則，可得切點(diǎn)為，代入，得．故答案為：8.已知為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，P為C虛軸的一個端點(diǎn)，，則C的漸近線方程為___________．【答案】【解析】【分析】由題意可得出為等腰三角形，結(jié)合求出，即可求得答案.【詳解】由題意知，而，結(jié)合雙曲線的對稱性可知為等腰三角形，則，故，結(jié)合可得，故C的漸近線方程為，故答案為：9.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為_____________．【答案】1200【解析】【分析】根據(jù)總體密度函數(shù)可知，結(jié)合對稱性求解即可.【詳解】因?yàn)榭傮w密度函數(shù)為：，則，由得,所以超過100分人數(shù)大約為：人，故答案為：1200.10.已知圓恒過定點(diǎn)A，B，則直線的方程為___________．【答案】【解析】【分析】由圓的方程化簡，確定的坐標(biāo)，由此確定直線的方程.【詳解】方程，可化為，所以點(diǎn)為直線與圓的交點(diǎn)，所以若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，故答案為：.11.已知正四面體的邊長為是空間一點(diǎn)，若，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】先求出正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑，再利用向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可求得結(jié)論.【詳解】設(shè)是正四面體內(nèi)切球的球心，正四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，如圖,將正四面體置于正方體中,正四面體外接球即為正方體的外接球,正方體的體對角線為球的直徑,因?yàn)檎拿骟w的邊長為1,所以正方體的棱長為,正方體對角線長為,故.正四面體的體積從而正四面體的高滿足:.將正四面體分割成以球心為頂點(diǎn),以正四面體的四個面為底面的四個相同的三棱錐,它們的底面與正四面體的底面相同,高為內(nèi)切球的半徑,故.而外接球可以利用,，解得.故正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體的外接球半徑為，則又因?yàn)?，所以，故，即，所以是正四面體內(nèi)切球上一點(diǎn)，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：找出正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑是關(guān)鍵，用向量法轉(zhuǎn)換為是難點(diǎn)，本題主要考查多面體的內(nèi)切球和外切球的問題，考查空間想象能力，屬于較難題.12.已知是實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，_________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等式特征可知，再由不等式及其等號成立條件可得結(jié)果.【詳解】由可得，又，，即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或，等號成立；此時(shí).故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用條件等式得出平方關(guān)系式，得出，由等號成立的條件即可得出結(jié)論.二、選擇題13.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若，則a不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，列關(guān)系式確定的關(guān)系，由此確定的范圍即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以恒成立，即恒成立，所以，所以，所以，又，所以，因?yàn)椋?，故選：D14.回歸直線方程的系數(shù)a，b的最小二乘法估計(jì)使函數(shù)最小，Q函數(shù)指（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由表示隨機(jī)誤差的平方和得出答案.【詳解】是指所求回歸直線方程在各點(diǎn)的值與真實(shí)值的誤差的平方和，即.故選：A15.如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A. B.C.四邊形的周長為 D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】過作交于點(diǎn)，求出，即可判斷B，再還原平面圖，求出相應(yīng)的線段長，即可判斷ACD.【詳解】對于B：如圖過作交于點(diǎn)，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯誤；對于A：還原平面圖如下圖，則，故A錯誤；對于C：過作交于點(diǎn)，則，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即C錯誤；對于D：四邊形的面積為：，即D正確.故選：D16.若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則記．下列命題中正確的是（）A.已知，且，則B.已知，若，則對任意，都有C.已知則存在實(shí)數(shù)a，使得D.已知，則對任意的實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)b，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，對于A，就分類討論即得；對于B，利用具體函數(shù)驗(yàn)證法排除；對于C，運(yùn)用反證法思路，結(jié)合二次函數(shù)圖象排除；對于D，對于存在性命題，只需列舉一種情況說明正確即得.【詳解】對于A，，當(dāng)時(shí)，，故得；當(dāng)時(shí)，，故得，即，故A錯誤；對于B，取，則，滿足，，但對于任意，不能保證恒成立，故B錯誤；對于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，若，則，矛盾；若，即時(shí)，，矛盾；若，則，矛盾；若，則，矛盾,若，則，矛盾.故C錯誤；對于D，對任意的實(shí)數(shù)，只要滿足是的子集，就有,于是，,故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)新定義的應(yīng)用，屬于難題.對于函數(shù)新定義選擇題型，必須準(zhǔn)確把握定義要求，根據(jù)信息利用具體函數(shù)排除法，反證法，分類討論法以及數(shù)形結(jié)合法一一判斷選項(xiàng)即可.三、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，a，b，c為角A，B，C的對邊，且滿足，且，求角A的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，通過整體代入求解可得；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式展開后因式分解可解.【小問1詳解】由題意得，，由，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】由正弦定理邊化角得，因?yàn)樵谥?，，則，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．因，所以．18.如圖,在直三棱柱中,,異面直線與所成的角為60°.（1）求該三棱柱的體積;（2）設(shè)D是的中點(diǎn),求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)以A點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用異面直線與所成的角為60°求得h，即得該三棱柱的體積；(2)利用向量法求與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則B(1,0,0),C(0,1,0),,則,.因?yàn)橹本€與所成的角為60°,所以|cos<,解得h=1.于是該三棱柱的體積為.【小問2詳解】由(1)知,,.設(shè)平面的法向量,則可取.又因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，于是,所以與平面所成角的正弦值為.19.中國首個海外高鐵項(xiàng)目——雅萬高鐵全線長142.3千米，共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德卡伯爾站4個車站，在運(yùn)營期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名乘客的乘車記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表（單位：人）：下車站

卡拉旺站帕達(dá)拉姆站德卡魯爾站總計(jì)哈利姆站5201540卡拉旺站

102030帕達(dá)拉姆站

1030總計(jì)53065100用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問題：（1）在營運(yùn)期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）已知A地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，A地居民到哈利姆站乘車的概率為0.4，到卡拉旺站乘車的概率為0.6（A地居民不可能在卡拉旺站下車）在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車的乘客來自A地的概率與從卡拉旺站上車的乘客來自A地的概率的比值．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為X，確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的相關(guān)公式，即可求得答案；（2）根據(jù)條件概率公式求出從哈利姆站上車的乘客來自A地的概率和從卡拉旺站上車的乘客來自A地的概率，相比即可得答案.【小問1詳解】從卡拉旺站上車，到德卡魯爾站下車的概率，所以，根據(jù)頻率估計(jì)概率，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為X，則，，X0123P；【小問2詳解】設(shè)事件M：乘客來自A地，事件：從哈利姆站乘車；案件：從卡拉旺站乘車，則，，所以．20.已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).①求直線方程；②記的面積分別為，求的最大值.【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）易知當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，面積取最大值，又易知即可求得橢圓方程；（2）①利用垂直關(guān)系分別寫出直線和的方程，求出其交點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求得的坐標(biāo)，即可得出直線的方程為；②將直線與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可解得點(diǎn)縱坐標(biāo)，同理得點(diǎn)縱坐標(biāo)，再結(jié)合①中直線的方程可得，，分別表示出的表達(dá)式利用基本不等式即可求得的最大值.【小問1詳解】由題意可知，且面積的最大值為所以.即橢圓的方程為.【小問2詳解】如下圖所示：①設(shè)，由題意知直線的斜率一定存在，即，代入直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為.因?yàn)橹本€與直線垂直，而，且；所以可得，即直線的方程為.又因?yàn)樵跈E圓上可得，聯(lián)立可得，，即，即直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；同理可得，可得；即直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.所以直線的方程為.②設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立可得.所以.同理可得.由可得.同理可得.所以易知，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的面積問題往往是先寫出面積表達(dá)式，通過合理變形再利用基本不等式或構(gòu)造函數(shù)求出其范圍即可.21.已知函數(shù)其中λ為實(shí)數(shù).（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；（3）記，若為的兩個駐點(diǎn)，當(dāng)λ在區(qū)間上變化時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接由導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的范圍即可.（2）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，再求最小值小于零得出結(jié)果.（3）根據(jù)駐點(diǎn)得出導(dǎo)函數(shù)為零的的兩根，用韋達(dá)定理將雙變量換成單變量帶入，寫出表達(dá)式再求導(dǎo)即可.【小問1詳解】易得定義域?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；而當(dāng)時(shí)，既不恒正，也不恒負(fù)，即不是定義域上的單調(diào)函