專題40拋物線及其性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測】知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對(duì)稱軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑【方法技巧與總結(jié)】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為．焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上【拋物線題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義與方程題型二：拋物線的軌跡方程題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題題型五：焦半徑問題題型六：拋物線的性質(zhì)【典例例題】題型一：拋物線的定義與方程例1．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)?，所以是等邊三角?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C【方法技巧與總結(jié)】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：（2）根據(jù)題目條件列出P的方程（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為________.【答案】【解析】依題意，設(shè)拋物線方程為，于是得，解得，所以所求拋物線方程是.故答案為:.例3．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，直線與拋物線交于點(diǎn)，且.寫出拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程___________.【答案】或或或（寫出一個(gè)即可）【解析】設(shè)所求焦點(diǎn)在軸上的拋物線的方程為，，由拋物線定義得.又∵或，故所求拋物線方程為或.故答案為：或或或．（寫出一個(gè)即可）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】將轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為，即；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為，即.所以拋物線的方程為或故選：D例5．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.例6．（2022·北京·高三開學(xué)考試）拋物線W：的焦點(diǎn)為F.對(duì)于W上一點(diǎn)P，若P到直線的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，由拋物線的定義可知：則，解得：或（舍去），從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1故選：A例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】依題意設(shè)拋物線方程為．因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程為或．故選：C．例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，AB的長為8，求拋物線的方程．【解析】由于拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求拋物線的方程為．因?yàn)椋裕仕髵佄锞€的方程為．題型二：拋物線的軌跡方程例9．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）在平面上，到點(diǎn)的距離等于到直線的距離的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)不在直線上，則到點(diǎn)的距離等于到直線的距離的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線；故選：D【方法技巧與總結(jié)】常見考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【答案】C【解析】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.故選：C例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，又由點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以的拋物線.故選：D.例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)?，若過?兩點(diǎn)的動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線始終與圓相切，該拋物線焦點(diǎn)的軌跡是某圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線是（

）A．橢圓 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【解析】由題設(shè)知，拋物線焦點(diǎn)F到定點(diǎn)A和B的距離之和等于A和B分別到準(zhǔn)線的距離和，等于的中點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離的二倍，由拋物線準(zhǔn)線與圓相切知和為，所以，所以拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程C是以A和B為焦點(diǎn)的橢圓.故選：A例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）斜線段與平面所成的角為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線的一支【答案】C【解析】當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間中，滿足條件的繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，用一個(gè)與圓錐高成角的平面截圓錐，所得圖形為拋物線.故選C．例16．（多選題）（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知直線，點(diǎn)，圓心為的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，則（

）A．點(diǎn)的軌跡為拋物線B．圓面積最小值為C．當(dāng)圓被軸截得的弦長為時(shí)，圓的半徑為D．存在點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意知：點(diǎn)到點(diǎn)與到定直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，符合拋物線定義，點(diǎn)的軌跡為拋物線，A正確；對(duì)于B，由A知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，則當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線距離最小，即此時(shí)圓的半徑最小，即，圓面積的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A得：點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，則圓的半徑，點(diǎn)到軸的距離，，解得：，圓的半徑，C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則，整理可得：，解得：，，或，D正確.故選：ACD.例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的方程為，可知，解得，所以該拋物線方程是，故答案為：例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_____________．【答案】【解析】設(shè)直線，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：例19．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為________．【答案】，（注：也算對(duì)）【解析】由題意，若時(shí)，問題等價(jià)于，則，化簡得，若，也滿足題意.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，.或者根據(jù)題意有，則，化簡整理得：.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：，（注：也算對(duì)）例20．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動(dòng)圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】動(dòng)圓C與圓A和直線l都相切，當(dāng)圓C與圓A相外切時(shí)，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線；當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時(shí)，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線；所以，當(dāng)時(shí)，拋物線不完整，所以，，，，故選：ABD例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【解析】∵動(dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．∴動(dòng)點(diǎn)M到軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，且．∴拋物線的方程為，又∵x軸上點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)的距離小2，∴M點(diǎn)的軌跡方程為②．綜上，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為或．題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為拋物線C：上一動(dòng)點(diǎn)，過C的焦點(diǎn)F作：的切線，切點(diǎn)為A，則線段FA長度的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】由已知，由切線長公式得，，所以．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題或點(diǎn)到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。例23．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)取得最小值4，故答案為：4例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則的最小值為___________.【答案】4【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，由拋物線的定義知，∴要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為.故答案為：4例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，P、Q分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】由題設(shè)及拋物線定義知：，可得，故，而的圓心為，半徑為1，所以最小，則共線且，故只需最小，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.故答案為：例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是______.【答案】【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，故，所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，此時(shí).故答案為：.例27．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（文））已知拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為2，則實(shí)數(shù)p的值為_____，【答案】6【解析】因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于到準(zhǔn)線的距離減去，而由拋物線的定義知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以只需點(diǎn)到Q與到焦點(diǎn)F的距離之和最小，如圖所示：當(dāng)P，Q，F(xiàn)共線時(shí)，到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，因?yàn)辄c(diǎn)到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為2，所以，即，解得.故答案為：例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn).則最大值為_______.【答案】【解析】由題意知：，；因?yàn)?，，所以；所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故答案為：.例29．（2022·遼寧朝陽·高三階段練習(xí)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】22【解析】設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，，則，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)最小值為22，故答案為：22例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】如圖，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，最小，此時(shí)線段與圓的交點(diǎn)為，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，，半徑為，所以的最小值為.故選：C例31．（2022·廣西桂林·高三開學(xué)考試（理））已知，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)N，點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由拋物線知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，由拋物線定義知，當(dāng)F,P,M三點(diǎn)共線時(shí),最小為，故選：A例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義，知當(dāng)在拋物線上移動(dòng)時(shí)，的值在變化，顯然移動(dòng)到時(shí)，三點(diǎn)共線，最小，此時(shí)，把代入，得，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D.例33．（2022·上海市向明中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，為C上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為6B．當(dāng)時(shí)，拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為C．的最小值為3D．的最大值為【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，故，故A正確；當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，所以拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為，整理得：，故B錯(cuò)誤；如圖，過點(diǎn)P作PB⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)B，則由拋物線定義可知：，則，當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，和最小，最小值為1+2=3，故C正確；由題意得：，連接AF并延長，交拋物線于點(diǎn)P，此點(diǎn)即為取最大值的點(diǎn)，此時(shí)，其他位置的點(diǎn)，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，故的最大值為，故D正確.故選：B.例34．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)作直線的垂線，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.，則．故選：B．例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)（在的右邊），為上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．5【答案】A【解析】由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，又因?yàn)橹本€的傾斜角為，可得斜率，故直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，解得，，因?yàn)椋钥傻?，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得，當(dāng)三點(diǎn)共線且與軸平行時(shí)，有最小值，最小值，所以的最小值為3.故選：A.例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【解析】設(shè)焦點(diǎn)為，到準(zhǔn)線的距離為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)P,M,F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故選：A．例37．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A（a，0），M（3，-2），點(diǎn)P在拋物線上，則（

）A．當(dāng)時(shí)，最小值為1B．當(dāng)時(shí)，的最小值為3C．當(dāng)時(shí)，的最小值為4D．當(dāng)時(shí)，的最大值為2【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，則，故的最小值為1，A正確；設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，此時(shí)，故當(dāng)N，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，C正確；當(dāng)時(shí)，，連接AM，并延長AM交拋物線于點(diǎn)，此時(shí)為的最大值，當(dāng)在其他位置時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知均小于，因?yàn)?，故D正確；此時(shí)當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤.故選：ACD例38．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．的最小值為1 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】AC【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作出圖象，對(duì)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)CD：過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC.例39．（多選題）（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線，圓為圓心），點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值是B．的最小值是C．當(dāng)最大時(shí)，D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】ABC【解析】A.的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，所以的最小值是1-=，故正確；B.設(shè)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是，故正確；C.如圖所示：當(dāng)最大時(shí)，直線AQ與圓相切，則，故正確；D.當(dāng)最小時(shí)為，即P，A，Q共線，則，故錯(cuò)誤；故選：ABC例40．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為________．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點(diǎn)與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，所以的最小值為，故答案為：題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題例41．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由題可得，因?yàn)椋?，，所以為坐?biāo)原點(diǎn))的面積是.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比。例42．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則______．【答案】【解析】如圖，分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，易得，則，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，，解得，故．故答案為：例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B．設(shè)，與相交于點(diǎn)D．若，則的面積為__________．【答案】【解析】如圖所示，由已知，．得．因?yàn)檩S，，，所以四邊形ABCD為平行四邊形，且，所以，解得，代入得，所以．故答案為：.例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，，則的面積___________.【答案】4【解析】如圖，作于，由拋物線定義知，又點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，則軸，則.故答案為：4.例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為、，若，則的面積為________.【答案】【解析】由題意可知，，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為直線，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，不妨設(shè)直線的傾斜角為銳角，由拋物線的定義可得，，因?yàn)椋瑒t，從而，故是等邊三角形，且，，則，所以，，故是邊長為的等邊三角形，故.故答案為：.例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)過點(diǎn)F且斜率存在的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則的面積S的取值范圍為______．【答案】【解析】由拋物線可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，設(shè)，，直線AB的方程為，由，可得，則，，所以，直線AB的一般方程為，點(diǎn)到直線AB的距離，所以，所以的面積S的取值范圍為，故答案為：例47．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為_______．【答案】【解析】由知，，，準(zhǔn)線方程為，如圖，因?yàn)?，所以，所以；連接，又，所以為等邊三角形，因?yàn)椋裕?，得，所以，由，解得，所以．故答案為：?8．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)是，是的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，（為原點(diǎn)），則的方程為___________.【答案】【解析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，，又，所以，所以，所以.又，所以，所以，則，所以拋物線的方程為.故答案為：.例49．（多選題）（2022·河北廊坊·高三開學(xué)考試）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)（與均不重合），以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，則與的面積之和可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，所以，所以，所以拋物線的方程為，若直線的斜率為0，則直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與條件矛盾，所以直線的斜率不為，所以可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，由已知方程的判別式，設(shè)，，則，，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓過原點(diǎn)，所以,所以，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，由可得或與條件相矛盾，所以，所以，，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則的面積，所以的面積，的面積，當(dāng)，則與的面積之和，又，由可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)，則與的面積之和，又，由可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；又，，，所以與的面積之和可能為18或，故選：BC.例50．（多選題）（2022·云南大理·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】BC【解析】如圖，設(shè)，，，，又，，即，解得：；故選項(xiàng)A不正確；由上述分析可知，又容易知，則，，故成立；故選項(xiàng)B正確；；故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC．例51．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】由題意得，則，即點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為4，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，即，所以.故選：C.例52．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，又，故，故，，故選：C例53．（2022·山西運(yùn)城·高三階段練習(xí)（文））過點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，若的重心坐標(biāo)為，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由，得，所以，所以直線的方程為，即，同理，直線的方程為，由可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)的重心坐標(biāo)為，則，即，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A.題型五：焦半徑問題例54．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【解析】由題知，準(zhǔn)線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，解法1：因?yàn)檩S，所以直線斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，則.解法3：過作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，則.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）．（2）．（3）． 例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為__________．【答案】【解析】如圖，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因?yàn)?，，所以，從而得，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.故答案為：.例56．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】設(shè)，由A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，所以．故選：C．例57．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，A是C上一點(diǎn)，|AF|=，則=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，解之得．故選：A．例58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點(diǎn)P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【解析】解法一：設(shè)拋物線的方程，則，得，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，即直線l過焦點(diǎn)F.設(shè)直線l的方程為：，設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為和，由聯(lián)立，得，∴，，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).解法二：，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.例59．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B在拋物線上，若軸，且，則（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，因軸，由拋物線的對(duì)稱性，不妨取，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，依題意，，解得，則或，點(diǎn)，則直線斜率為，其傾斜角為，有，若，則直線斜率為，其傾斜角為，有，所以為或.故選：A例60．（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】由拋物線的方程，得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，，的橫坐標(biāo)分別是，，，由，所以，即，因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，由拋物線的定義可得，，，，即，故選：B．例61．（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線得，準(zhǔn)線為，設(shè)，則由拋物線的定義可得即，將代入拋物線可得，即或，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，則的斜率；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，則的斜率；故選：C．例62．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．9【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，拋物線的方程為．設(shè)直線的方程為，將此方程代入，整理得．設(shè)，，（）則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：A．例63．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且在拋物線上，則當(dāng)取最大值時(shí)，直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，如圖：當(dāng)最大時(shí)，取最大值，此時(shí)與拋物線相切.∵拋物線的焦點(diǎn)，∴，設(shè)切線方程為，則，∴，由解得，，∵點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，∴，直線方程為：.故選：C.例64．（多選題）（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，，若，則（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，的縱坐標(biāo)一定大于D．不存在使得【答案】ABD【解析】對(duì)于，易得，由可得，由焦半徑公式得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，故A正確；對(duì)于，由可得直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線解得，則，故在的中垂線上，，故B正確；對(duì)于，由拋物線的性質(zhì)知，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切的切點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故當(dāng)時(shí)，為該圓與軸的交點(diǎn)，縱坐標(biāo)大于或小于均可，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，，則，當(dāng)軸時(shí)，，則，不存在使得，故D正確；故選：ABD.例65．（多選題）（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線過焦點(diǎn)時(shí)，最小值為4B．直線過焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)（點(diǎn)在第一象限），C．若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為8D．點(diǎn)坐標(biāo)，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點(diǎn)為，則直線，方程為：【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，直線過焦點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，取最小值，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意，作圖如下：則，軸，軸，即，，，，即，，，，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于為兩動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，依題意，，故，即，由題意，，同理可得，故直線方程為，故正確.故選：ACD.例66．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））設(shè)?是拋物線?的焦點(diǎn)，點(diǎn)A?在拋物線?上，?，若?，則?____________.【答案】【解析】由可知焦點(diǎn)，，∴?，∵，∴∴?點(diǎn)?到拋物線準(zhǔn)線的距離為?.∵?拋物線的準(zhǔn)線方程為?，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)∴?或?，∴?.故答案為：.例67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，若，則__________.【答案】【解析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，易知：，可得，如圖所示：在中，可得，，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以.故答案為：例68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線，的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的傾斜角等于__________.【答案】60°或120°【解析】如圖是拋物線的準(zhǔn)線，作，，為垂足，設(shè)，則，由拋物線定義知，，過作，垂足為，則易得，所以，直角三角形中，，，此時(shí)直線傾斜角為60°，由對(duì)稱性，直線傾斜角也可為120°.故答案為：60°或120°題型六：拋物線的性質(zhì)例69．（2022·湖南·新邵縣教研室高三期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】D【解析】由題意可知，所以直線與的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，設(shè)則，所以.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】在處理拋物線的考題的時(shí)候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計(jì)算．例70．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸【答案】AD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，開口向左，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，對(duì)稱軸為軸，故D正確.故選：AD例71．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））若拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P到x軸的距離為____________．【答案】4【解析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)P到x軸的距離為4．故答案為：4例72．（2022·四川省南充市白塔中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線E上的兩點(diǎn)，滿足，則______．【答案】4【解析】設(shè)，而，則，①，，，由，得，所以，②聯(lián)立①②得：.故答案為：4例73．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測（文））拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故選：C.例74．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)拋物線中，開口朝下且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】拋物線的開口朝下，說明其焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，則其滿足標(biāo)準(zhǔn)方程，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B例75．（2022·湖北十堰·三模）下列四個(gè)拋物線中，開口朝左的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的開口朝右，拋物線的開口朝下，拋物線的開口朝左，拋物線的開口朝上.故選：C.例76．（2022·江西南昌·高三階段練習(xí)）若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，則=（

）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以，∴，所以.故選：D.例77．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.例78．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室高三開學(xué)考試（理））拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準(zhǔn)線l上存在點(diǎn)M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為【答案】C【解析】對(duì)于A，由，可得，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)題意得，焦點(diǎn)，則設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，則，，，，，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連MN，過N作NH⊥直線l，H為垂足，根據(jù)B項(xiàng)可得N點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由為等邊三角形可得，則，則，由對(duì)稱性及MN⊥AB可知直線AB的斜率為，故D選項(xiàng)不正確．故選：C.例79．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到直線的距離為，則p的值為_____________．【答案】2或4【解析】拋物線的焦點(diǎn)為F，則，則點(diǎn)F到直線的距離為：，所以，因?yàn)椋曰?.故答案為：2或4.例80．（2022·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）若拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則___________.【答案】或0【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為，半徑，由于圓與準(zhǔn)線相切，所以，解得或0.故答案為：或0例81．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】設(shè)，又，由，得，所以，所以.如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn).由拋物線定義，可得，所以，故，解得.故答案為：例82．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其準(zhǔn)線方程是，而所以，即，故答案為：例83．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，為的中點(diǎn)，給出下列命題：①；②；③//；④與的交點(diǎn)在軸上；⑤與交于原點(diǎn).其中真命題是__________．（寫出所有真命題的序號(hào)）【答案】①②③④⑤【解析】根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)樵趻佄锞€上，由拋物線的定義，得，又分別為在上的射影，所以，即①正確；取的中點(diǎn)，則，所以，即②正確；由②得平分，所以，又因?yàn)?，所?/，即③正確；取軸，則四邊形為矩形，則與的交點(diǎn)在軸上，且與交于原點(diǎn)，即④⑤正確；故答案為：①②③④⑤.例84．（2022·安徽省太和中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，⊙M：與拋物線C：有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l過圓心M且交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則______．【答案】0【解析】因⊙M與拋物線C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，而⊙M與拋物線C都關(guān)于x軸對(duì)稱，因此，兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，并且唯一，由消去y并整理得：，且，于是得，解得，即點(diǎn)，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為，由消去x并整理得：，設(shè)，則，所以.故答案為：0例85．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線過拋物線：（）的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若使的直線有且僅有1條，則______.【答案】1【解析】焦點(diǎn)弦中，通徑最短，所以若使的直線有且僅有1條，則就是通徑，即，.故答案為：1【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點(diǎn)，且若，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【解析】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)H，則，，所以.故選：D2．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線上，若以點(diǎn)為圓心半徑為5的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且與軸相交的弦長為6，則（

）A．2 B．8 C．2或8 D．6【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，又拋物線的準(zhǔn)線為，以點(diǎn)為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，所以，圓與軸相交的弦長為6，所以，所以，解得或.故選：C.3．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是1，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（

）A．3 B．4 C．7 D．13【答案】B【解析】因?yàn)?，則準(zhǔn)線方程為，依題意，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離，即.故選:B.4．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（

）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B5．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））已知過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．5【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，直線：，由消去y并整理得：，設(shè)，則，線段AB的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，過點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，交拋物線C于點(diǎn)P，連PF，如圖，于是，在拋物線C上任取點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A6．（2022·福建師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，記軸同側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得，如圖：不妨設(shè)在軸右側(cè)將方程與拋物線方程聯(lián)立：，得，設(shè)，在軸同側(cè)，不妨設(shè)則由與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)可得有兩個(gè)不等的正根，得：，即，由拋物線定義可得，故選：B．7．（2022·廣東廣東·高三階段練習(xí)）在曲線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由已知，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在曲線上，所以設(shè)，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.8．（2022·山東師范大學(xué)附中高三期中）拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是其上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值是2B．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為3C．存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱D．與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)N，若直線AB過定點(diǎn)，則點(diǎn)N在拋物線C的準(zhǔn)線上【答案】A【解析】A：過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，當(dāng)在與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，由拋物線的性質(zhì)：到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離即，所以，所以A正確；B：設(shè)則，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以B不正確；C：假設(shè)存在這樣的直線，由題意設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立可得：，，所以，所以，，所以，的中點(diǎn)為，由題意可得在直線上，所以，解得，不滿足，所以C不正確；D：設(shè)，，，，由，則，設(shè)直線的方程為：，所以，切線方程分別為：，即，同理可得：，兩式聯(lián)立求出，可得，因?yàn)?，在拋物線上，，整理可得：，所以，所以，不在準(zhǔn)線上，所以D不正確．故選：A．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線C上，，若為等腰三角形，則直線的斜率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，由拋物線的定義，可得，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，則，所以B正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程無解；當(dāng)時(shí)，可得，所以，則，所以A正確.故選：AB10．（2022·湖北·荊州中學(xué)模擬預(yù)測）已知為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的最小值為2B．到直線的距離的最小值為C．的最小值為6D．存在一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，使得到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離【答案】BCD【解析】由題意，曲線，化簡可得，則曲線為拋物線的右班部分，如圖所示，因?yàn)閽佄锞€，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，結(jié)合圖象可得，原點(diǎn)到直線的距離取得最小值，最小值為，所以B正確；對(duì)于C中，由點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，所以的最小值為，所以C正確；對(duì)于D中，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以D正確.故選：BCD.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（