第頁(yè)初三數(shù)學(xué)一模中檔特色題分類講解2025年北京市中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分析題號(hào)考點(diǎn)題號(hào)考點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離16尺規(guī)作圖（圓、線段的垂直平分線）2分式有意義的條件17實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算3由展開(kāi)圖判斷幾何體18解一元一次不等式組4實(shí)數(shù)與數(shù)軸、絕對(duì)值19等腰三角形的判定和性質(zhì)5軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形20矩形的性質(zhì)與陰影部分的圖形面積6多邊形的內(nèi)角與外角21一元二次方程根的判別式7分式的化簡(jiǎn)求值（整體代入）22菱形的判定、解直角三角形8折線統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析23反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象相交問(wèn)題9實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖象24圓中的證明與計(jì)算（切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理）10利用頻率估計(jì)概率25統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的整理與分析（頻數(shù)分布表、統(tǒng)計(jì)量的分析與應(yīng)用）11無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的大小比較26閱讀與探究（幾何圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖象的探究與拓展應(yīng)用）12根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程組27代數(shù)綜合（拋物線與直線相交問(wèn)題）13三角形的中位線、相似三角形的判定與性質(zhì)28幾何綜合（三角形綜合題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、猜想證明）14圓周角定理及推論29新定義與直角坐標(biāo)系中圓與直線的動(dòng)態(tài)關(guān)系15坐標(biāo)與圖形變換（對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)）一、實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖象（2025年北京市中考第9題）小蘇和小林在右圖的跑道上進(jìn)行4×50米折返跑.在整個(gè)過(guò)程中，跑步者距起跑線的距離y(單位：m)與跑步時(shí)間t（單位：s）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示.下列敘述正確的是A.兩個(gè)人起跑線同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)B.小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小蘇前15s跑過(guò)的路程大于小林15s跑過(guò)的路程D.小林在跑最后100m的過(guò)程中，與小蘇相遇2次【說(shuō)明】本題主要考查能結(jié)合圖象對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【題型解法】（1）明確“兩軸”所表示的意義；（2）明確圖象上的點(diǎn)所表示的意義；（3）弄清圖象上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、最高（低）點(diǎn)所表示的意義.例1.（2025東城一模第8題）如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計(jì)），A為入口，F(xiàn)，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB=CG=EF；彎道為以點(diǎn)O為圓心的一段弧，且，，所對(duì)的圓心角均為90°．甲、乙兩車由A口同時(shí)駛?cè)肓⒔粯颍?0m/s的速度行駛，從不同出口駛出.其間兩車到點(diǎn)O的距離y（m）與時(shí)間x(s)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示．結(jié)合題目信息，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.甲車在立交橋上共行駛8sB.從F口出比從G口出多行駛40mC.甲車從F口出，乙車從G口出D.立交橋總長(zhǎng)為150m例2.（2025通州一模第8題）例3.（2025海淀一模第8題）如圖1，矩形的一條邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)的一半為.定義為這個(gè)矩形的坐標(biāo).如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線將第一象限劃分成4個(gè)區(qū)域.已知矩形1的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在區(qū)域④中.圖1圖2則下面敘述中正確的是A.點(diǎn)的橫坐標(biāo)有可能大于3B.矩形1是正方形時(shí)，點(diǎn)位于區(qū)域②C.當(dāng)點(diǎn)沿雙曲線向上移動(dòng)時(shí)，矩形1的面積減小D.當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域①時(shí)，矩形1可能和矩形2全等二、坐標(biāo)與圖形變換（對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)）（2025年北京市中考第15題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB可以看成是△OCD經(jīng)過(guò)若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫(xiě)出一種由△OCD得到△AOB的過(guò)程：.【說(shuō)明】本題主要考查圖形變換.【題型解法】（1）觀察對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)或?qū)?yīng)邊確定圖形變換；（2）平移找平移方向和距離；（3）旋轉(zhuǎn)找旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度；（4）對(duì)稱找對(duì)稱軸.例1.（2025房山一模第16題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－3，0)，B(－1，2).以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸向右平移兩個(gè)單位，得到△A’O’B’，其中點(diǎn)A’與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B’與點(diǎn)B對(duì)應(yīng).則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為_(kāi)_________，點(diǎn)B’的坐標(biāo)為_(kāi)_________．例2.（2025石景山一模第6題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C，B，E在y軸上，Rt△ABC經(jīng)過(guò)變化得到Rt△EDO，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，OD=2，則這種變化可以是A．△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B．△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度C．△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D．△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度例3.（2025西城一模第15題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，等腰直角三角形的邊在軸的正半軸上，，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在第一象限.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸的正半軸上，那么邊的長(zhǎng)為_(kāi)_________．三、尺規(guī)作圖（2025年北京市中考第16題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖的過(guò)程.請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是.【說(shuō)明】本題主要考查尺規(guī)作圖及其過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，考查基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).【題型解法】（1）根據(jù)作法標(biāo)圖（如作弧找半徑相等）；（2）明確已知、求，思考推理過(guò)程；（3）確定每步依據(jù).例1.（2025順義一模第16題）在數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)矩形”．小華的做法如下：（1）如圖1，任取一點(diǎn)（1）如圖1，任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線l1，l2；（2）如圖2，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓，與直線l1，l2分別相交于點(diǎn)A、C，B、D；（3）如圖3，連接AB、BC、CD、DA．四邊形ABCD即為所求作的矩形．老師說(shuō)：“小華的作法正確”．請(qǐng)回答：小華的作圖依據(jù)是．例2.（2025平谷一模第16題）下面是“作已知角的角平分線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，∠MON．圖2圖2圖1求作：射線OP，使它平分∠MON．作法：如圖2，（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；（2）連結(jié)AB；（3）分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于EQ\f(1,2)AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；（4）作射線OP．所以，射線OP即為所求作的射線．請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是．例3.（2025海淀一模第16題）下面是“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.已知：⊙O和⊙O上一點(diǎn)P．求作：⊙O的切線MN，使MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．作法：如圖，（1）作射線OP；（2）以點(diǎn)P為圓心，小于OP的長(zhǎng)為半徑作弧交射線OP于A，B兩點(diǎn)；（3）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)；（4）作直線MN.則MN就是所求作的⊙O的切線．請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是．例3.（2025朝陽(yáng)一模第16題）下面是“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.已知：直線a和直線外一點(diǎn)P.求作：直線a的垂線，使它經(jīng)過(guò)P.作法：如圖，（1）在直線a上取一點(diǎn)A,連接PA；（2）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)P為圓心，大于AP的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于B，C兩點(diǎn)，連接BC交PA于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心，DP為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)E，作直線PE.所以直線PE就是所求作的垂線.請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是

．四、統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)與概率主要考查數(shù)據(jù)分析觀念，指的是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理和分析；從大量數(shù)據(jù)中提取有效信息，并作出推斷；根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景，選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法，解決實(shí)際問(wèn)題.（一）統(tǒng)計(jì)圖表信息的提取與推斷（2025年北京市中考第8題）下面統(tǒng)計(jì)圖反映了我國(guó)與“一帶一路”沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是A.與2025年相比，2025年我國(guó)與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長(zhǎng)B.2025—2026年，我國(guó)與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長(zhǎng)C.2025—2026年，我國(guó)與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過(guò)4200億美元D.2025年我國(guó)與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國(guó)與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多【說(shuō)明】本題主要考查根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，作出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，并能夠表達(dá).例1.（2025西城一模第7題）空氣質(zhì)量指數(shù)（簡(jiǎn)稱為）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，它的類別如下表所示．?dāng)?shù)據(jù)~~~~~以上類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染某同學(xué)查閱資料，制作了近五年月份北京市各類別天數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示．根據(jù)以上信息，下列推斷不合理的是A．類別為“優(yōu)”的天數(shù)最多的是年1月B．?dāng)?shù)據(jù)在~之間的天數(shù)最少的是年1月C．這五年的月里，個(gè)類別中，類別“優(yōu)”的天數(shù)波動(dòng)最大D．年月的數(shù)據(jù)的月均值會(huì)達(dá)到“中度污染”類別例2.（2025延慶一模第7題）下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了我國(guó)2025年到2025年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值情況.（以上數(shù)據(jù)摘自國(guó)家××局《中華人民共和國(guó)2025年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是A．與2025年相比，2025年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值有所增長(zhǎng)；B．2025-2026年，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率逐年降低；C．2025-2026年，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率約為6.7%；D．2025-2026年比2025-2026年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)的多．（二）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的整理與分析（2025年北京市中考第25題）某工廠甲、乙兩個(gè)部門各有員工400人，為了解這兩個(gè)部門員工的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整。收集數(shù)據(jù)從甲、乙兩個(gè)部門各隨機(jī)抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述數(shù)據(jù)按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：（說(shuō)明：成績(jī)80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70-79分為生產(chǎn)技能良好，60-69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格）分析數(shù)據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲78.377.575乙7880.581得出結(jié)論a.估計(jì)乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；b.可以推斷出部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為.（至少?gòu)膬蓚€(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性）.【說(shuō)明】主要考查抽樣全過(guò)程，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、（加權(quán)）平均數(shù)、方差；能利用統(tǒng)計(jì)圖表和選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)；能根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，并能夠表達(dá)；能用樣本估計(jì)總體.例1.（2025平谷一模第23題）為了解某區(qū)初二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量監(jiān)控情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過(guò)程如下，請(qǐng)將有關(guān)問(wèn)題補(bǔ)充完整.收集數(shù)據(jù)隨機(jī)抽取甲乙兩所學(xué)校的20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析：甲9189778671319793729181928585958888904491乙8493666976877782858890886788919668975988整理、描述數(shù)據(jù)按如下數(shù)據(jù)段整理、描述這兩組數(shù)據(jù)分段學(xué)校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙分析數(shù)據(jù)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：統(tǒng)計(jì)量學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25經(jīng)統(tǒng)計(jì)，表格中m的值是．得出結(jié)論a若甲學(xué)校有400名初二學(xué)生，估計(jì)這次考試成績(jī)80分以上人數(shù)為.b可以推斷出.（至少?gòu)膬蓚€(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性）例2.（2025石景山一模第24題）某校詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽培訓(xùn)活動(dòng)中，在相同條件下對(duì)甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行了10次測(cè)驗(yàn)，他們的10次成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑赫怼⒎治鲞^(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組數(shù)據(jù)：成績(jī)x學(xué)生70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100甲乙114211（2）兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：學(xué)生極差平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲83.78613.21乙2483.78246.21（3）若從甲、乙兩人中選擇一人參加知識(shí)競(jìng)賽，你會(huì)選（填“甲”或“乙），理由為．（三）概率的概念和計(jì)算，用頻率估計(jì)概率（2025北京市中考第10題）下圖顯示了用計(jì)算器模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.下面有三個(gè)推斷：①當(dāng)投擲次數(shù)是500時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是0.616；②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的頻率一定是0.620.其中合理的是A