河北省安國市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編專題攻克考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，長方形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為（

）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm22、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F，若AC=3，AB=5，則CE的長為（）A． B． C． D．3、如圖，嘉嘉在A時測得一棵4米高的樹的影長為，若A時和B時兩次日照的光線互相垂直，則B時的影長為（

）A． B． C． D．4、若a，b為直角三角形的兩直角邊，c為斜邊，下列選項中不能用來證明勾股定理的是（

）A． B．C． D．5、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．66、我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離的長為尺，將它向前水平推送尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設秋千的繩索長為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．7、《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，記載著這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，在的網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，的頂點、、都在格點上，點為邊的中點，則線段的長為________．2、我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折斷后頂端落在離竹子底端3尺處，問折斷處離地面的高度為多少尺？如圖，設折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意，可列出關(guān)于x方程為:__________.3、已知一直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、8cm,則此直角三角形斜邊上的高為____．4、如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．5、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．6、如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它爬的最短距離是_____．7、如圖，已知中，，，動點M滿足，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值為_________．8、如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了__米．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成相應的任務．若直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，則三邊的長為“勾股數(shù)”．構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找3個正整數(shù)，使它們滿足“其中兩個數(shù)的平方和（或平方差）等于第三個數(shù)的平方”．通過觀察常見勾股數(shù)“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想當一組勾股數(shù)中（），最小數(shù)為奇數(shù)時，另兩個正整數(shù)和滿足比且，解得，．任務：(1)請證明猜想成立，即證明，，構(gòu)成勾股數(shù)．(2)若一組勾股數(shù)中，最小數(shù)為9，則另兩個數(shù)分別是________和________．2、如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE=2，DE=4，AE=8．(1)求證：；(2)求DF的長．3、已知：如圖，四邊形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積．4、我們知道，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．（1）如圖1，點P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點P是△APD的準外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長．5、如圖，，兩個工廠位于一段直線形河道的異側(cè)，工廠至河道的距離為，工廠至河道的距離為，經(jīng)測量河道上、兩地間的距離為，現(xiàn)準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠．(1)設，請用的代數(shù)式表示的長______；（結(jié)果保留根號）(2)為了使，兩廠到污水處理廠的排污管道之和最短，請在圖中畫出污水廠位置，并求出排污管道最短長度？(3)通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運用數(shù)形結(jié)合思想，請你求出的最小值為多少？6、如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過x軸上一點C，與y軸交于A、B兩點，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求AB的長；(3)連接BM并延長交圓M于點D，連接CD，求直線CD的解析式．7、超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】根據(jù)折疊的條件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．【詳解】將此長方形折疊，使點與點重合，，，根據(jù)勾股定理得：，解得：．．故選：A．【考點】本題考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．2、A【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的長為．故選A．【考點】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是推出∠CEF=∠CFE．3、A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，由勾股定理，得FC=，EC2=，EC2=，∴=，令DE=x，則EF=x+8，∴，整理，得16x=32，解得x=2．故選：A．【考點】本題考查利用勾股定理求線段長，拓展一元一次方程，正確的運算能力是解決問題的關(guān)鍵．4、A【解析】【分析】由題意根據(jù)圖形的面積得出的關(guān)系，即可證明勾股定理，分別分析即可得出答案【詳解】解：A、不能利用圖形面積證明勾股定理；B、根據(jù)面積得到；C、根據(jù)面積得到，整理得；D、根據(jù)面積得到，整理得.故選：A.【考點】本題考查勾股定理的證明，熟練掌握利用圖形的面積得出的關(guān)系，即可證明勾股定理.5、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．6、C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即．故選：C．【考點】本題主要考查了勾股定理的應用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】【分析】首先設蘆葦長x尺，則水深為（x?1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程（x?1）2＋52＝x2．【詳解】解：設蘆葦長x尺，由題意得：（x?1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故選：C．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型．二、填空題1、2.5【解析】【分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，則AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，∵點O為AB邊的中點，∴CO=AB=2.5，故答案為：2.5．【考點】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2、【解析】【分析】設折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程即可【詳解】解：設折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意可得：故答案為：【考點】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3、4.8cm.【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答．【詳解】∵直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，∴斜邊為=10(cm)，設斜邊上的高為h，則直角三角形的面積為×6×8=×10h，解得：h=4.8cm，這個直角三角形斜邊上的高為4.8cm.故答案為4.8cm.【考點】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于列出方程.4、##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【考點】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5、5【解析】【分析】根據(jù)角度轉(zhuǎn)換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運用勾股定理計算出DE的長.【詳解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考點】本題主要考查到運用勾股定理求長度，說明三角形ADE是直角三角形是解題的關(guān)鍵.6、25【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：如圖所示：臺階平面展開圖為長方形，根據(jù)題意得：，，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：，即，∴，故答案為：25．【考點】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．7、##【解析】【分析】證明△AMC≌△BNC，可得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出當點N落在線段AB上時，最小，求出最小值即可．【詳解】解：∵線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∵，，∴，∴△AMC≌△BNC，∴，∵∴的最小值為；故答案為：．【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是證明三角形全等，得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取得最小值．8、9．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．【詳解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．【考點】本題考查了勾股定理的應用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．三、解答題1、(1)見解析(2)40；41【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理證明即可．(2)利用勾股數(shù)的公式代入求值即可．(1)證明：，∴，，構(gòu)成勾股數(shù).(2)根據(jù)最小數(shù)為奇數(shù)時，另兩個正整數(shù)為，，當a=9時，，，故答案為：40,41．【考點】本題考查了勾股定理逆定理，勾股數(shù)的探索，代入求值，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．2、(1)見解析(2)DF的長為5．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，證明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義以及直角三角形的性質(zhì)解答即可．(1)證明：∵DE⊥AC于點E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°；(2)解：∵AD是△ABC的中線，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵點F是邊AB的中點，∴DF=AB=5．∴DF的長為5．【考點】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定和的性質(zhì)，熟記勾股定理與逆定理是解答本題的關(guān)鍵．3、（1）BD＝20；（2）S四邊形ABCD＝246．【解析】【分析】（1）由∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，利用勾股定理：BD2＝AD2+AB2，從而可得答案；（2）利用勾股定理的逆定理證明：∠CDB＝90°，再由四邊形的面積等于兩個直角三角形的面積之和可得答案．【詳解】解：（1）∵∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，∴BD2＝AD2+AB2，∴BD2＝122+162，∴BD＝20；（2）∵BD2+CD2＝202+152＝625，CB2＝252＝625，∴BD2+CD2＝CB2，∴∠CDB＝90°，∴S四邊形ABCD＝SRt△ABD+SRt△CBD，＝246．【考點】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4、（1）見解析；（2）AP的長為或2或【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點P是△APD的準外心；（2）先利用勾股定理計算AC=4，再進行討論：當P點在AB上，PA＝PB，當P點在AC上，PA＝PC，易得對應AP的值；當P點在AC上，PB＝PC，設AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時AP的長．【詳解】（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點P是△APD的準外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當P點在AB上，PA＝PB，則APAB；當P點在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當P點在AC上，PB＝PC，如圖2，設AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時AP，綜上所述，AP的長為或2或．【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及新定義的運用能力．理解題中給的定義是解題的關(guān)鍵．5、(1)+；(2)污水廠位置見解析，排污管道最短長度為10km；(3)13【解析】【分析】（1）依據(jù)ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根據(jù)勾股定理可用x表示出AE＋BE的長；（2）根據(jù)兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．過點B作BF⊥AC于F，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長；（3）根據(jù)AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代數(shù)式的值為13．(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得AE＝，BE＝，∴AE+BE＝+；(2)解：根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置，如圖：過點B作BF⊥AC于F，則有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，∴AF＝AC＋CF＝6，在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，∴排污管道最短長度10km；(3)解：根據(jù)以上推理，可作出下圖：設ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．當A、E、B共線時求出AB的值即為原式最小值．當A、E、B共線時，＝＝13，即其最小值為13．故答案為：13．【考點】本題考查了最短路線問題，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，利用兩點之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．6、(1)⊙M與x軸相切，理由見解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）連接CM，證CM⊥x即可得出結(jié)論；（2）過點M作MN⊥AB于N，證四邊形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，設AN=x，則OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂徑定理得AB=2AN即可求解；（3）連接BC，CM，過點D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，從而得出點D坐標，然后用待定系數(shù)法求出直線CD解析式即可．(1)解：⊙M與x軸相切，理由如下：連接CM，如圖，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半徑，點C在x軸上，∴⊙M與x軸相切；(2)解：如圖，過點M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四邊形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=CM=5，∵OA+OC=6，設AN=x，

∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1