函數(shù)的應(yīng)用學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：，，所以零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為，選C.考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理2．若方程在內(nèi)有解，則的圖象是()A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】方程在內(nèi)有解，等價(jià)于的交點(diǎn)在軸的左邊，結(jié)合選項(xiàng)中的圖象即可得結(jié)果.【詳解】方程在內(nèi)有解，等價(jià)于的交點(diǎn)在軸的左邊，對(duì)于，交點(diǎn)在軸上；對(duì)于，沒有交點(diǎn)；對(duì)于，交點(diǎn)在軸右側(cè)；對(duì)于，的交點(diǎn)在軸的左邊，故選D.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn)..3．已知函數(shù)下列命題正確的是（）A．若是增函數(shù)，是減函數(shù)，則存在最大值B．若存在最大值，則是增函數(shù)，是減函數(shù)C.若,均為減函數(shù)，則是減函數(shù)D.若是減函數(shù)，則,均為減函數(shù)【答案】D【解析】試題分析：依題意，對(duì)于A,若是增函數(shù)，是減函數(shù)，因有最大值，但不一定有最大值，故不一定存在最大值；對(duì)于B,若存在最大值，有可能是常數(shù)函數(shù)；對(duì)于C,若,均為減函數(shù),但在兩函數(shù)交界處，不一定存在單調(diào)性，故C錯(cuò)，顯然D正確，故選D.考點(diǎn)：分段函數(shù)的單調(diào)性點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是能借助函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖像即可分析出分段函數(shù)的性質(zhì).4．已知函數(shù)fx=xlnx?2x,x>0x2A．12,1B．12,【答案】A【解析】試題分析：y=kx?1關(guān)于直線y=?1的對(duì)稱直線為y=mx?1,(m=?k)，先考慮特殊位置：y=mx?1與y=x2+32x(x≤0)相切得Δ=0?m=?12(舍正)考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)【思路點(diǎn)睛】（1）運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì)．（2）在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究．5．函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx?1為偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=A．2k?14C．4k?14【答案】D【解析】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x﹣1）為偶函數(shù)，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（x+2），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）為偶函數(shù)，∴f（x﹣1）關(guān)于x=0對(duì)稱，則f（x）關(guān)于x=﹣1對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于x=1對(duì)稱，若x∈[﹣1，0]，則﹣x∈[0，1]，此時(shí)f（﹣x）=?x=﹣f（x），則f（x）=﹣?x，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，則f（x）=﹣f（x+2）=﹣x+2，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，則f（x）=﹣f（x﹣2）=2?x，x∈[1，2]，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：由數(shù)g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，由圖象知當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，由??x=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2由判別式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣14當(dāng)x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，則f（x）=f（x﹣4）=x?4，由x?4=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，由判別式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣154則要使此時(shí)f（x）=x+b有一個(gè)交點(diǎn)，則在[0，4]內(nèi)，b滿足﹣154＜b＜﹣1即實(shí)數(shù)b的取值集合是4n﹣154＜b＜4n﹣1即4（n﹣1）+14＜b＜4（n﹣1）+15令k=n﹣1，則4k+14＜b＜4k+15故選：D點(diǎn)睛：根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．6．設(shè)函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題意可以作出函數(shù)與的圖象，則答案易得.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，于是可以作出函數(shù)的圖象.再作出的圖象，結(jié)合,可知函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有個(gè)交點(diǎn).故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)即相應(yīng)方程的根，也是函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).若函數(shù)的圖象同時(shí)關(guān)于直線和對(duì)稱，則該函數(shù)為周期函數(shù)且為一個(gè)周期.二、填空題7．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下列四個(gè)命題：（1）若f(x)是奇函數(shù)，則f(x－1)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱；（2）若對(duì)x∈R，有f(x+1)=f(x－1)，則y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱；（3）若函數(shù)f(x－1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù)；（4）函數(shù)y=f(1+x)與函數(shù)y=f(1－x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱。其中命題正確的是____________.【答案】①③【解析】試題分析：對(duì)①，f（x）是奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.將f（x）的圖象向右平移1個(gè)單位得f（x－1）的圖象，故f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1,0）對(duì)稱；正確.對(duì)②，若對(duì)x∈R，有f（x＋1）＝f（x－1），只能說明y＝f（x）是一個(gè)周期為2的周期函數(shù)，不能說明其圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；故錯(cuò)誤.對(duì)③，若函數(shù)f（x－1）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)；正確.對(duì)④，函數(shù)y＝f（1＋x）與函數(shù)y＝f（1－x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而不是關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故錯(cuò)誤．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性.8．的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱為F函數(shù)?，F(xiàn)給出下列函數(shù)：①②；③；④；⑤是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切其中是F函數(shù)的函數(shù)有【答案】①④⑤【解析】略9．設(shè)函數(shù)若且，，則取值范圍分別是__________．【答案】【解析】由知，在遞增，在遞減，且最大值為因?yàn)?，得b在遞減區(qū)間，所以，又若，所以．故答案為10．若函數(shù)滿足且；函數(shù)，則的零點(diǎn)有_____個(gè)【答案】8【解析】畫出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上圖像如圖，結(jié)合圖像可以看出：兩個(gè)函數(shù)的圖像有八個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的有八個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)填答案8。11．對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間（），使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有_____（填上所有符合要求的序號(hào)）【答案】②,③【解析】【分析】當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，由定義得，轉(zhuǎn)化為方程至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根來處理，或者找出一個(gè)區(qū)間滿足題意?！驹斀狻繉?duì)于①中的函數(shù)，該函數(shù)單調(diào)遞增，若該函數(shù)存在穩(wěn)定區(qū)間，則，則關(guān)于的方程至少有兩個(gè)實(shí)根，即方程至少有兩個(gè)實(shí)根，事實(shí)上，，，關(guān)于的方程無實(shí)根，故函數(shù)不存在“穩(wěn)定區(qū)間”；對(duì)于②中的函數(shù)，該函數(shù)單調(diào)遞增，若該函數(shù)存在穩(wěn)定區(qū)間，則，則關(guān)于的方程至少有兩個(gè)實(shí)根，即方程至少有兩個(gè)實(shí)根，事實(shí)上，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為、、，因此，②中的函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”；對(duì)于③中的函數(shù)，，取區(qū)間，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，③中的函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”；對(duì)于④中的函數(shù)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，若該函數(shù)存在穩(wěn)定區(qū)間，則，則關(guān)于的方程至少有兩個(gè)實(shí)根，即關(guān)于的方程至少有兩個(gè)實(shí)根，事實(shí)上，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，所以，④中的函數(shù)不存在“穩(wěn)定區(qū)間”。故答案為：②③。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中的新定義，考查定義與值域問題，而聯(lián)系函數(shù)的定義域與值域問題的橋梁就是函數(shù)的單調(diào)性，因此要充分分析函數(shù)的單調(diào)性來解題，此外，本題較為巧妙地就是將新定義轉(zhuǎn)化為了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng)，屬于難題。12．已知函數(shù)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)和圖象有三個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)和的圖象，通過數(shù)形結(jié)合，可以求出的取值范圍?！驹斀狻糠匠逃腥齻€(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)和圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此先畫出函數(shù)圖象，圖象如下圖：通過圖象可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn),的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了利用函數(shù)圖象，通過轉(zhuǎn)化方法解決方程有實(shí)數(shù)解的問題。13．已知函數(shù)，若有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】(?4,?3)【解析】試題分析：由題意得，函數(shù)，所以b=x?|x(x+3)|，作出y=x?|x(x+3)|的圖象，要使得y=x?|x(x+3)|與y=b有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以?4<b<?3.考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的概念、零點(diǎn)的判定與應(yīng)用，此類問題利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解答的關(guān)鍵，著重考查了函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的解答中，把函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為y=x?|x(x+3)|與y=b有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，即可求解.14．已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且滿足,則函數(shù)的一個(gè)解析式為__________.（只需寫出一個(gè)即可）【答案】（不是唯一解）【解析】【分析】根據(jù)f（﹣2）?f（2）＞0便可想到f（x）可能為偶函數(shù)，從而想到f（x）＝x2，x＝0是該函數(shù)的零點(diǎn)，在（﹣2，2）內(nèi)，從而可寫出f（x）的一個(gè)解析式為：f（x）＝x2．【詳解】根據(jù)f（﹣2）?f（2）＞0可考慮f（x）是偶函數(shù)；∴想到f（x）＝x2，并且該函數(shù)在（﹣2，2）上存在零點(diǎn)；∴寫出f（x）的一個(gè)解析式為：f（x）＝x2．故答案為：f（x）＝x2．【點(diǎn)睛】考查函數(shù)零點(diǎn)的定義及求法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題15．（本小題滿分10分）學(xué)習(xí)曲線是1936年美國(guó)廉乃爾大學(xué)T.P.Wright博士在飛機(jī)制造過程中，通過對(duì)大量有關(guān)資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來的。已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)曲線為：為掌握該任務(wù)的程度，t為學(xué)習(xí)時(shí)間），且這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)滿足（1）求的表達(dá)式，計(jì)算的含義；（2）已知為該類學(xué)習(xí)任務(wù)在t時(shí)刻的學(xué)習(xí)效率指數(shù)，研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間時(shí)，學(xué)習(xí)效率最佳，當(dāng)學(xué)習(xí)效率最佳時(shí)，求學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開始學(xué)習(xí)時(shí)已掌握的程度為37.5%（2）學(xué)習(xí)效率指數(shù)的取值范圍是【解析】解：（1），表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開始學(xué)習(xí)時(shí)已掌握的程度為37.5%…………4分（2）令學(xué)習(xí)效率指數(shù)，…………6分上為減函數(shù)?！?分故所求學(xué)習(xí)效率指數(shù)的取值范圍是…………10分16．據(jù)行業(yè)協(xié)會(huì)預(yù)測(cè)：某公司以每噸10萬元的價(jià)格銷售某種化工產(chǎn)品，可售出該產(chǎn)品1000噸，若將該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲%，則銷售量將減少%，且該化工產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲幅度不超過%，其中為正常數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大？（2）如果漲價(jià)能使銷售總金額比原銷售總金額多，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)x=50時(shí)，萬元.（2）【解析】試題分析：解：（1）設(shè)該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲x%時(shí)，銷售總金額為y萬元1分由題意得：3分即當(dāng)時(shí)，當(dāng)x=50時(shí)，萬元.7分即該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售總金額最大8分（2）由（1）得：如果漲價(jià)能使銷售總金額比原銷售總金額多，則有當(dāng)時(shí)，10分即當(dāng)時(shí)恒成立12分，即解得：，m的取值范圍是16分考點(diǎn)：函數(shù)模型的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二次函數(shù)模型以及二次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，以及不等式的求解，屬于中檔題。17．如圖，某海面上有、、三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），島在島的北偏東方向處，島在島的正東方向處.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出、的坐標(biāo)，并求、兩島之間的距離；（2）已知在經(jīng)過、、三個(gè)點(diǎn)的圓形區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？【答案】（1）、，（）（2）該船有觸礁的危險(xiǎn)．詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解；（2）先用待定系數(shù)法求出圓方程和直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：（1）如圖所示，在的東北方向，在的正東方向，、，由兩點(diǎn)間的距離公式得（）；（2）設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，將、、代入上式得，解得、、，所以圓的方程為，圓心為，半徑.設(shè)船起初所在的位置為點(diǎn)，則，且該船航線所在直線的斜率為，由點(diǎn)斜式得船航行方向?yàn)橹本€，圓心到的距離為，所以該船有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的實(shí)際應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式是常用方法；用待定系數(shù)法求圓方程時(shí)注意選用一般方程，能降低計(jì)算難度.18．已知函數(shù)f(x)=x+1（1）求f（x）的最小值；（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有兩個(gè)正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）2；（2）1,+∞.【解析】【分析】（1利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最小值；（2）由題意可得x+1x=?x2+2x+m（【詳解】（1）函數(shù)f(x)=x+1設(shè)0<x1<所以fx1?fx2>0，同理可得fx在1,+∞當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值2；（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有兩個(gè)正根，則有x+1x=?令g(x)=?xg(x)在0,1上是增函數(shù)，在1,+∞上是減函數(shù).所以兩函數(shù)圖像f(x)和g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，只需保證f1得2<1+m，解得m>1.實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意定義法求解對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．19．已知函數(shù)且是函數(shù)的極值點(diǎn)。（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求a的值，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)R時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（Ⅲ）是否存在這樣的直線，同時(shí)滿足：①是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線②與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，如果存在，求實(shí)數(shù)b的取值