2025年秋季北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊知識點(diǎn)及基礎(chǔ)題預(yù)習(xí)第一章勾股定理3.勾股定理的應(yīng)用知識點(diǎn)預(yù)習(xí)折疊問題中勾股定理的應(yīng)用：折疊問題（利用折疊前后圖形全等找等邊）、動態(tài)幾何問題（用變量表示邊長）、已知直角三角形斜邊和一條直角邊（或周長面積等）求另一條邊。核心：利用方程思想，將勾股定理a2+b2=c2看作一個關(guān)于未知數(shù)的方程。勾實(shí)際測量與建模問題：核心：將現(xiàn)實(shí)世界中的距離、高度等測量問題，抽象為幾何圖形（主要是直角三角形），利用勾股定理建立方程求解。常見類型：不可達(dá)距離：（如測量河寬、湖寬）在河岸同側(cè)構(gòu)造直角三角形（利用標(biāo)桿、參照物），測量兩條直角邊（如基線長和其中一點(diǎn)到對岸參照物的視線距離），求斜邊（河寬）。不可達(dá)高度：（如測量樹高、樓高）范圍確定問題：（如臺風(fēng)影響范圍）以某點(diǎn)為圓心，影響半徑為半徑畫圓。判斷一個點(diǎn)是否在影響范圍內(nèi)，即計(jì)算該點(diǎn)到圓心的距離是否小于等于半徑。通常需要構(gòu)造直角三角形計(jì)算兩點(diǎn)間距離（利用坐標(biāo)差或已知線段）。。定最短路徑問題（幾何體表面）：核心：將三維空間中的曲面（或折面）上的最短路徑問題，通過展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的線段長度問題，再利用勾股定理求解。常見模型：圓柱側(cè)面：將圓柱側(cè)面沿一條母線展開成長方形。起點(diǎn)和終點(diǎn)位于展開圖上，連接兩點(diǎn)的線段即為最短路徑。利用長方形的長（底面周長）和寬（高），結(jié)合勾股定理計(jì)算線段長。長方體表面：根據(jù)起點(diǎn)和終點(diǎn)的相對位置，選擇不同的面展開（通常需要嘗試不同的展開方式），將三維路徑轉(zhuǎn)化為平面上的折線或直線，比較不同展開圖中連接兩點(diǎn)的直線段長度，最短者即為所求。計(jì)算時(shí)需構(gòu)造直角三角形（利用長方體的長、寬、高）。臺階問題：將連續(xù)的臺階側(cè)面展開成一個長方形（高是所有臺階高度之和，長是所有臺階深度之和），起點(diǎn)和終點(diǎn)位于展開圖上，連接兩點(diǎn)的線段長度即為最短路徑（忽略臺階寬度時(shí)）。總結(jié)：第三節(jié)是勾股定理及其逆定理知識的綜合應(yīng)用和能力提升階段。它要求學(xué)生能夠靈活地將所學(xué)定理應(yīng)用于解決實(shí)際生活問題（如測量、最短路徑）和復(fù)雜幾何問題（計(jì)算、證明）。關(guān)鍵在于：建?！褜?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（構(gòu)造直角三角形）；轉(zhuǎn)化——將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題（展開圖）；構(gòu)造——在平面圖形中構(gòu)造直角三角形；4)計(jì)算與驗(yàn)證——熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，必要時(shí)利用逆定理驗(yàn)證直角。本節(jié)內(nèi)容最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和解決問題的策略?；A(chǔ)題預(yù)習(xí)選擇題預(yù)習(xí)（30分）1．如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C垂直向上拉升3cm至點(diǎn)D，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【解答】解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3根據(jù)勾股定理，得：AD=AC2∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉長了2cm．故選：A．2．如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A，在水塔的東南方向24m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長為（）A．45m B．40m C．50m D．56m【解答】解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝32m，OB＝24m，∴AB=OA2故選：B．3．如圖，一棵大樹被臺風(fēng)刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高（）A．3m B．8m C．5m D．10m【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°，∴AC=AB2∴AC+AB＝5+3＝8（m），∴樹折斷之前高8m，故選：B．4．如圖，一根長20cm的吸管置于底面直徑為9cm，高為12cm的杯子中，則吸管露在杯子外面的長度可能是（）A．4cm B．7cm C．9cm D．12cm【解答】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時(shí)，h最短，當(dāng)吸管與底面垂直時(shí)，h最大，此時(shí)AB=92+1故h最短＝20﹣15＝5（cm），h最大＝20﹣12＝8（cm）．故選：B．5．我國古代九章算術(shù)中有數(shù)學(xué)發(fā)展史上著名的“葭生池中”問題，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，適與岸齊，問：葭長幾何？（1丈＝10尺）．意思是有一個長方體池子，底面是邊長為1.2丈的正方形，正中間有蘆葦，把高出水面2尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，則蘆葦長（）尺A．8 B．10 C．12 D．13【解答】解：底面是邊長為1.2丈（12尺）的正方形，如圖，設(shè)蘆葦長為x尺，根據(jù)題意，得AF＝AC＝x尺，BF＝2尺，BC=AE=1在直角三角形ABC中，由勾股定理得：x2＝（x﹣2）2+62，解得x＝10．故選：B．6．如圖，在Rt△ABC中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側(cè)作正方形、面積分別記為S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝14，則圖中陰影部分的面積為（）A．72 B．92 C．6【解答】解：由圖可知，BC2﹣AC2＝AB2，即S3﹣S1＝S2，∵S3+S2﹣S1＝14，∴S2＝7，∵陰影部分的面積為12∴陰影部分的面積為72故選：A．7．勾股定理在生活中有著極其廣泛的應(yīng)用．如圖是某臨街店鋪在窗戶上方安裝的遮陽棚，其側(cè)面如圖所示，遮陽棚收攏緊貼墻面自然下垂時(shí)，遮陽棚棚骨外端C距離地面100cm（即CE＝100cm），將其展開至點(diǎn)B距離墻面168cm的位置時(shí)（即水平距離BD＝168cm），AB＝232cm，則此時(shí)棚骨外端B離地面的垂直高度是（）cm．A．332?402 B．233?402 C．172 【解答】解：由題意得：AC＝AB＝232cm，CE＝100cm，BD＝168cm，∠ADB＝90°，BF＝DE，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=AB2∴BF＝DE＝AE﹣AD＝AC+CE﹣AD＝232+100﹣160＝172（cm），故選：C．8．如圖，直線是一條河，A、B是兩個新農(nóng)村定居點(diǎn)．欲在l上的某點(diǎn)處修建一個水泵站，由水泵站直接向A、B兩地供水．現(xiàn)有如下四種管道鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的供水管道，則鋪設(shè)管道最短的方案是（）A． B． C． D．【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線l于M．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)D鋪設(shè)的管道最短．故選：D．9．如圖是一個底面周長為10cm，高AB為12cm的圓柱模型，BC是底面直徑．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過A，C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長度最短為（）A．261cm B．461cm C．13【解答】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，AC＝A'C，且點(diǎn)C為BB'的中點(diǎn)，∵AB＝12cm，BC=12×在Rt△ABC中，AC＝2AB2+B∴裝飾帶的長度＝2AC＝26（cm），答：裝飾帶的長度最短為26cm，故選：D．10．如圖，螞蟻想要從兩級臺階的左上角M處爬到右下角N處，它只能沿著臺階的表面爬行，已知每級臺階的長、寬、高分別是16分米，4分米，2分米，則螞蟻從M處爬到N處的最短路程是（）A．163分米 B．202分米 C．16分米【解答】解：如圖所示AB=1答：它沿著臺階面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是20分米．故選：D．二、填空題預(yù)習(xí)（24分）11．一艘帆船由于風(fēng)向原因先向正東方向航行了24km，然后向正北方向航行了10km，這時(shí)他離出發(fā)點(diǎn)26km．【解答】解：如圖，A為出發(fā)點(diǎn)，B為正東方向航行了24km的地點(diǎn)，C為向正北方向航行了10m的地點(diǎn)，故AB＝24km，BC＝1km，AC=AB2+故答案為：26．12．如圖，在實(shí)踐活動課上，小華打算測量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測得繩子底端距離旗桿底部5m，若設(shè)學(xué)校旗桿的高度是xm，則可列方程為x2+52＝（x+1）2．【解答】解：設(shè)學(xué)校旗桿的高度是xm，根據(jù)勾股定理得到：x2+52＝（x+1）2，故答案為：x2+52＝（x+1）2．13．如圖，長方體三條棱的長分別為7cm，5cm，5cm，螞蟻從A1出發(fā)，沿長方體的表面爬到C點(diǎn)，則最短路線長是149cm．【解答】解：如圖所示：當(dāng)如圖1所示時(shí)，A1C=72∴它所行的最短路線的長是149cm．故答案為：149．14．如圖，在公園內(nèi)有兩棵樹相距8米，一棵樹高15米，另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛10米．【解答】解：如圖所示，AB，CD為樹，且AB＝15米，CD＝9米，BD為兩樹距離8米，過C作CE⊥AB于E，則CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米，在直角三角形AEC中，AC=A答：小鳥至少要飛10米．故答案為：10．15．如圖，高度為1米的平臺上有一根長為8米的木桿垂直于臺面AB，在一陣大風(fēng)后，木桿從點(diǎn)E處折斷，AE依然垂直于AB，木桿頂端落在地面的點(diǎn)D處，已知AB∥CD，AB＝2米，CD＝1米，則木桿依然直立的部分AE的長為3米．【解答】解：延長EA交DC于H，則EA⊥CD，∴CH＝AB＝2米，AH＝BC＝1米，∴DH＝CD+CH＝3米，∵EH2+DH2＝DE2，∴（AE+1）2+32＝（8﹣AE）2，∴AE＝3，答：木桿依然直立的部分AE的長為3米，故答案為：3米．16．如圖，圓柱底面圓的周長為8cm，CD、AB分別是上、下底面的直徑，高BC＝6cm，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為65cm．【解答】解：如圖所示，∵無彈性的絲帶從A至C，繞了1.5圈，∴展開后AB＝1.5×8＝12（cm），BC＝6cm，由勾股定理得：AC=AB2+BC故答案為：65．三、解答題預(yù)習(xí)（46分）17．如圖，在電線桿AB上的點(diǎn)C處，向地面拉有一條10m長的鋼纜CD，地面固定點(diǎn)D到電線桿底部的距離BD＝6m，AB⊥BD于B，電線桿上的固定點(diǎn)C到電線桿頂端A的距離為2.5m，求電線桿的高度AB．【解答】解：在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC=BC2∴AB＝BC+AC＝8+2.5＝10.5（m），∴電線桿的高度AB為10.5m．18．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了下面的一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．”（丈、尺都是長度單位，1丈＝10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？【解答】解：水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如圖，設(shè)AC＝x尺，則AB＝AB′＝（x+1）尺，由題意，得：B'C＝5（尺），在Rt△ACB′中，由勾股定理得：（x+1）2＝x2+52，解得：x＝12，∴x+1＝13，即水深為12尺，蘆葦長13尺．19．如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為AC＝15km，與公路上另一?？空綛的距離為BC＝20km，停靠站A、B之間的距離為AB＝25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．（1）請判斷△ABC的形狀？（2）求修建的公路CD的長．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，152+202＝252，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）∵CD⊥AB，∴S△ABC=12AB?CD=12∴CD=AC?BCAB=答：修建的公路CD的長是12km．20．某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過75km/h，如圖，一輛小汽車在該筆直路段l上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點(diǎn)C處，2s后小汽車行駛到點(diǎn)B處，測得此時(shí)小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m．∠ACB＝90°．（1）求BC的長．（2）這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，∴BC=A答：BC的長為40m；（2）這輛小汽車不超速，理由如下：∵該小汽車的速度為40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＜75km/h，∴這輛小汽車不超速．21．在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=2千米，AD＝43（1）求小溪流AC的長．（2）求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號）【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，∴AC=AB2（2）∵AC2＝（52）2＝50，CD2+AD2＝（2）2+（43）2＝50，∴AC2＝CD2+AD2，則∠D＝90°，S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12×5×5+＝（252+222．隨著中國科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，5G信號覆蓋的廣泛性和穩(wěn)定性都有更好的表現(xiàn)．如圖，一輛汽車沿直線AB方向，由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為某個5G信號源，且點(diǎn)C到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離分別為60m和80m，且AB＝100m，信號源中心周圍50m及以內(nèi)可以接收到5G信號．（1）汽車在從點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛的過程中，能接收到5G信號嗎？為什么？（2）若汽車的速度為7m/s，請問有多長時(shí)間可以接收到