第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年海南省白沙中學高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=ax3?3x2+2x?1，且A.?1 B.2 C.1 D.02.設(shè)f(x)在x=x0處可導，且Δx→0limf(x0A.6 B.?2 C.?18 D.23.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A.30種 B.60種 C.120種 D.240種4.二項式(2x?x)5的展開式中A.?80 B.?40 C.40 D.805.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=f′(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能是圖中的(

)A.B.C.D.6.某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學生的參賽的不同方法有(

)A.24種 B.48種 C.64種 D.81種7.已知隨機變量ξ～B(7,0.5)，則概率P(ξ=k)最大時，k的取值為(

)A.3 B.4 C.3或4 D.4或58.已知隨機變量X～B(n,p)，若E(X)=35，D(X)=1225，則A.15 B.115 C.154 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現(xiàn)從中任取4個球，設(shè)這4個球中黑球的個數(shù)為X，則(

)A.X服從二項分布 B.X的值最小為1 C.P(X=2)=35 10.下列命題正確的有(

)A.f(x)=1x，則f′(3)=?19

B.y=x3+sin2，則y′=3x2+cos2

C.(11.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標ξ服從正態(tài)分布N(25,σ2)，且P(ξ≥26)=0.2，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機取3件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值ξ位于區(qū)間(24,26)的產(chǎn)品件數(shù)，則A.E(ξ)=25 B.P(24<ξ<26)=0.3

C.P(X=0)=0.064 D.D(X)=0.24三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若P(B)=0.7，P(A|B)=0.6，P(A)=0.8，則P(B|A)=______．13.若隨機變量X～B(10,0.3)，則E(2X?3)=______，D(3X?2)=______．14.已知(1+x)2025=a0+a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax+2在點(2,f(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直．

(1)求a；

(2)求f(x)16.(本小題15分)

甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x2

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)求f(x)18.(本小題17分)

口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出2個球，

(1)正好是白球、紅球各一個的取法有多少種？

(2)至少有一個白球的取法有多少種？

(3)兩球的顏色相同的取法有多少種？

注：結(jié)果均用數(shù)字作答．19.(本小題17分)

某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎．

(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；

(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望；

(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=ax3?3x2+2x?1，

所以f′(x)=3ax2?6x+2，

故f′(1)=3a?6+2=2，解得a=2．

2.【答案】B

【解析】解：因為f(x)在x=x0處可導，且Δx→0limf(x0?3Δx)?f(x0)Δx=6，

又f′(x0)=limΔx→03.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為C61?A52=120．

故選：C．

先選出兩人選的同樣的讀物有C614.【答案】B

【解析】解：二項式(2x?x)5的展開式的通項公式為Tr+1=C5r(?1)r25?rx3r2?55.【答案】A

【解析】解：由y=f′(x)的圖象易得當x<0或x>2時，f′(x)>0，

故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(?∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增；

當0<x<2時，f′(x)<0，故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減；

故選A

先根據(jù)導函數(shù)的圖象確定導函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進而根據(jù)當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．6.【答案】A

【解析】解：某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，

則這3名學生的參賽的不同方法有A43=24．

故選：A．

7.【答案】C

【解析】解：依題意P(ξ=k)=C7k(12)k(12)7?k=C7k(12)7,k=0,1,2,?,78.【答案】A

【解析】解：因為E(X)=np=35，D(X)=np(1?p)=1225，

所以D(X)E(X)=1?p=45，

即p=15，所以n=3，

所以np9.【答案】BCD

【解析】解：依題意知隨機變量X服從參數(shù)為6，4，3的超幾何分布，故A錯誤；

X的所有可能取值為1，2，3，所以X的值最小為1，故B正確；

P(X=2)=C32C32C64=35，故C正確；

EX=nMN=3×46=2，故10.【答案】AD

【解析】解：對于A項，f′(x)=?1x2，則f′(3)=?19，故A項正確；

對于B項，y′=3x2，故B項錯誤；

對于C，因為(cosxx)′=(cosx)′x?cosx(x)′x2=?xsinx?cosxx2，故C錯誤；

對于D11.【答案】AC

【解析】解：A項．ξ服從正態(tài)分布N(25,σ2)，則E(ξ)=25，故正確；

B項．由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(24<ξ<26)=1?2P(ξ≥26)=0.6，故錯誤；

C項．則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值ξ位于區(qū)間(24,26)的概率為p=0.6

所以X～B(3,0.6)，P(X=0)=0.43=0.064，故正確；

D項．D(X)=3×0.4×0.6=0.72，故錯誤．

故選：12.【答案】2140【解析】解：∵P(B)=0.7，P(A|B)=0.6，P(A)=0.8，

∴P(A|B)=P(AB)P(B)=P(AB)0.7=0.6，

∴P(AB)=0.42

∵P(A)=0.8，

∴P(B|A)=P(AB)P(A)=0.420.8=2113.【答案】3

18.9

【解析】解：若隨機變量X～B(10,0.3)，

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得E(X)=10×0.3=3，D(X)=10×0.3×0.7=2.1，

根據(jù)期望的性質(zhì)可得E(2X?3)=2E(X)?3=3，根據(jù)方差的性質(zhì)可得D(3X?2)=9D(X)=18.9．

故答案為：3；18.9．

先根據(jù)二項分布的性質(zhì)求出E(X)和D(X)，再根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可求得結(jié)果．

本題考查了二項分布、期望和方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】1

【解析】解：令x=1，a0+a1+a2+...+a2025=22025，

令x=?1，a0?a1+a2?...?a2025=0，

所以a015.【答案】解：(1)f′(x)=1x+2x+a，則f′(2)=12+2×2+a=92+a，

由題意可得(92+a)×(?23)=?1，解得a=?3；

(2)由a=?3，故f(x)=lnx+x2?3x+2，

則f′(x)=1x+2x?3=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，x>0，

故當0<x<12時，f′(x)>0，當【解析】(1)結(jié)合導數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得；

(2)借助導數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值．

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．16.【答案】解：(1)甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學校獲勝概率0.50.40.8乙學校獲勝概率0.50.60.2甲學校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，

①甲學校3場全勝，概率為：P1=0.5×0.4×0.8=0.16，

②甲學校3場獲勝2場敗1場，概率為：P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，

所以甲學校獲得冠軍的概率為：P=P1+P2=0.6；

(2)乙學校的總得分X的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：

P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，

P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，

X0102030P0.160.440.340.06X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13．

【解析】本題考查隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算，屬于中檔題．

根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，可以求出甲學校獲勝2場或者3場的概率，可以得到甲學校獲得冠軍的概率；乙學校的總得分X的值可取0，10，20，30，分別求出X取上述值時的概率，可得分布列與數(shù)學期望．17.【答案】解：f(x)的定義域為(?32,+∞)

(1)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3

當?32<x<?1時，f′(x)>0；

當?1<x<?12時，f′(x)<0；

當x>?12時，f′(x)>0

從而，f(x)在區(qū)間(?32,?1)，(?12,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(?1,?1【解析】(1)先根據(jù)對數(shù)定義求出函數(shù)的定義域，然后令f′(x)=0求出函數(shù)的穩(wěn)定點，當導函數(shù)大于0得到函數(shù)的增區(qū)間，當導函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)(1)知f(x)在區(qū)間[?34,14]的最小值為f(?12)求出得到函數(shù)的最小值，又因為f(?318.【答案】80；

108；

73．

【解析】已知口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出2個球，

(1)正好是白球、紅球各一個，

則取出1個白球，有8種取法；取出1個紅球，有10種取法，

所以取出兩個球正好是白球、紅球各一個的取法有8×10=80種．

(2)至少有一個白球分為白球、紅球各一個和兩個全是白球，

取出的兩個球全是白球的取法有8×72=28種，

所以至少有一個白球共有80+28=108種取法．

(3)兩球的顏色相同分為兩球全是白球和兩球全是紅球，

取出的兩個球全是紅球的取法有10×92=45種，

所以兩球的顏色相同的取法有45+28=73種．

(1)由分步乘法即可得解；

(2)分為白球、紅球各一個和兩個全是白球，結(jié)合分類加法即可得解；

19.【答案】解：(1)若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，

則每次中獎的概率為C52+C52C102=49，

因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)X服從二項分布，即X～B(2,49)，

所以X的所有可能取值為0，1，2X012P254016所以X的數(shù)學期望為E(X)=2×49=89；

(2)若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)Y的所