第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年黑龍江省牡丹江第三高級中學高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z1=12?3i，z2=?9+i，則zA.3，?2 B.3，?2i C.2，?3 D.2，?3i2.設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a2=b2+cA.30° B.60° C.120° D.150°3.長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的表面積是(

)A.202π B.252π4.“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b滿足a?b=|aA.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，點F在線段CD上，且CF=2DF，AE與BF交于點P，若AP=λAE，則λ=A.34 B.58 C.386.已知向量a=(x,2),b=(x,x+12)，若A.1 B.?1 C.0 D.37.已知球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則球內接圓柱的側面積的最大值為(

)A.2π B.4π C.6π D.20π8.如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD(含端點)上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量AP=mAB+nAF(m,n為實數(shù))，則m+nA.2 B.3 C.5 D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中，正確的是(

)A.任意單位向量的模都相等．

B.若A，B是平面內的兩個不同的點，則AB=BA

C.若向量a//b，b//10.如圖，一塊半徑為4的圓形鐵片上有3塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的正三角形沿虛線加工成一個正三棱錐，則該正三棱錐的(

)A.表面積為123

B.表面積為33

C.體積為211.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a：b：c=4：5：6，則下列結論正確的是(

)A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.若c=6，則△ABC內切圓半徑為72

D.若c=6，則△ABC外接圓半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a與b的夾角為60°，|a|=3，|b|=6，則2a?13.如圖，△A′O′B′是水平放置的△ABC的直觀圖，A′B′=2，A′B′⊥x′軸，則△ABC的面積為______．14.祖暅是我國南北朝時期偉大的數(shù)學家.祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.例如可以用祖暅原理推導半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內挖去一個半徑為R，高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個平行于底面的平面α去截這兩個幾何體，設圓錐頂點到平面α的距離為l，則截得的截面面積都為______(用R，l表示)，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等，從而得到半球的體積公式．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a,b,c是同一平面的三個向量，a=(4,3)．

(1)若|b|=52，且a//b，求b的坐標；

16.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且bcosC+3bsinCa+c=1．

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且有17.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3c?2bsinC=0．

(1)求角B的大小；

(2)從條件①b=33，a=4；條件②a=2，18.(本小題17分)

已知Rt△ABC按照斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′如圖所示，其中，B′C′=4，A′B′=2．

(1)畫出Rt△ABC的原圖并求其面積；

(2)若以Rt△ABC的邊BA為旋轉軸旋轉一周，求所得幾何體的體積和表面積．19.(本小題17分)

已知△ABC的三內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b)，且m⊥n．

(1)求角B的大小；

(2)若b=答案解析1.【答案】A

【解析】解：因為z1=12?3i，z2=?9+i，

所以z1+z2=3?2i，其實部與虛部分別為3，?2．

2.【答案】B

【解析】解：由a2=b2+c2?bc，可得b2+c2?a2=bc，

所以cosA=b2+3.【答案】C

【解析】【分析】

設出球的半徑，由于直徑即是長方體的體對角線，由此關系求出球的半徑，即可求出球的表面積．

本題考查球的表面積，球的內接體，考查計算能力，是基礎題．【解答】

解：設球的半徑為R，由題意，球的直徑即為長方體的體對角線，

則(2R)2=32+42+54.【答案】B

【解析】解：若a?b=|a|?|b|，則a?b=|a|?|b|cos<a，b>=|a|?|b|，則cos<a，b>=1，

即<a，b>=0，此時平面向量a，b平行，即必要性成立，

當<5.【答案】A

【解析】解：連接AF，因為B，P，F(xiàn)三點共線，

所以AP=mAB+(1?m)AF=mAB+(1?m)(AD+DF)，

因為CF=2DF，所以DF=13DC=13AB，

所以AP=2m+13AB+(1?m)AD，

因為E是BC的中點，

所以AE=AB+12BC=6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，a=(x,2)，b=(x,x+12)，

若a⊥b，則a?b=x2+2(x+12)=0，

變形可得7.【答案】B

【解析】解：由于球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，

所以球的半徑為2R=22+22=22，解得R=2，

設球體的內接圓柱的底面半徑為r，設圓柱的高為?，

則r=R2?(?2)28.【答案】C

【解析】解：由題意可得：

AP?AE=mAB?AE+nAF?AE

=nAF?AE=n|AF||AE|cos∠FAE=6n，

同理，AP?AC=6m，

兩式相加可得：AP?(AE+AC)=6(m+n)；

∵AE+AC=2AO，∴2AP?AO=6(m+n)．

∵9.【答案】AD

【解析】解：∵單位向量的模為1，∴A對；

∵AB與BA是相反向量，∴B錯；

若b=0，則a與b不一定共線，∴C錯；

教材中規(guī)定“0與任意向量平行”，∴D對．

故選：AD．

根據(jù)單位向量的模為1可判斷A；根據(jù)AB與BA是相反向量可判斷B；根據(jù)b=0可判斷C；根據(jù)“規(guī)定010.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，圓形鐵片的半徑為4，其中△ABC為正三角形，

則有BCsinA=2×4=8，變形可得BC=43，

則△ABC的面積S=12×43×43×32=123，即該正三棱錐的表面積為123，A正確，B錯誤；

所得正三棱錐的棱長為12BC=23，

11.【答案】ACD

【解析】解：sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6，A正確；

cosC=a2+b2?c22ab=16+25?3640=18>0，三角形最大角為銳角，B錯誤；

cosC=18，故sinC=1?cos2C=378,S=12absinC=12.【答案】3

【解析】解：向量a與b的夾角為60°，|a|=3，|b|=6，

可得2a?b在a方向上的投影為：(2a?b)?a|a|13.【答案】2【解析】解：由題可得：△A′O′B′是等腰直角三角形，A′B′=O′A′=2，

所以O′B′=(2)2+(2)2=2，

則在原圖中，OB=4，OA=2，且14.【答案】πR【解析】解：在半球中，截面為圓，半徑為R2?l2，

所以截面面積為π(R2?l2)2=πR2?πl(wèi)2，

在圓柱中截面為圓柱底面面積πR2減去一個小圓的面積，

在軸截面中，Rr=Rl，所以15.【答案】解：(1)已知a,b,c是同一平面的三個向量，a=(4,3)，

因為a//b，

設b=λa=(4λ,3λ)，

又|b|=52，

則|b|=16λ2+9λ2=25λ2=52【解析】(1)由平面向量數(shù)量積的運算，結合平面向量模的運算求解；

(2)由平面向量數(shù)量積的運算，結合平面向量夾角的運算求解．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量模的運算及夾角的運算，屬中檔題．16.【答案】解：(1)由bcosC+3bsinCa+c=1，可得bcosC+3bsinC=a+c，

根據(jù)正弦定理，得sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC，

因為△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBcosC+3sinBsinC=(sinBcosC+cosBsinC)+sinC，

整理得sinC(3sinB?cosB?1)=0，

結合sinC≠0，可得3sinB?cosB=1，即2sin(B?π6)=1，sin(B?π6)=12．

而B為三角形的內角，可知B?π6=π6，所以B=π3；

(2)△ABC【解析】(1)根據(jù)正弦定理化簡所給等式，可得sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC，結合sinA=sin(B+C)利用兩角和的正弦公式化簡，可得3sinB?cosB=1，進而可得sin(B?π6)=12，結合B∈(0,π)求出角B的大??；

(2)根據(jù)c=1，利用正弦定理算出a=sinAsinC，結合sinA=sin(17.【答案】解：(1)∵3c?2bsinC=0，由正弦定理得3sinC?2sinBsinC=0．

∵C∈(0,π2),sinC≠0，∴sinB=32．

∵B∈(0,π2)，∴B=π3；

(2)條件①：b=33,a=4；

∵b=33,a=4，由(1)B=π3，

∴根據(jù)余弦定理得b2=c2+a2?2cacosB，即27=c2+16?4c，

化簡整理為c2?4c?11=0，解得c=2+【解析】(1)根據(jù)正弦定理即可求出sinB=32，從而得出B=π3；

(2)選擇條件①：根據(jù)余弦定理即可求出c=2+15，然后即可求出△ABC的面積；選擇條件②：根據(jù)正弦定理可求出b18.【答案】解：(1)如圖所示，在Rt△ABC中，BC=AB=4，

故Rt△ABC面積為：SΔABC=12×4×4=8．

(2)該幾何體為圓錐，底面半徑r=4，圓錐的高?=4，

其體積為：V=13【解析】本題考查幾何體的體積和表面積的求法，斜二測畫圖方法的應用，屬于基礎題．

(1)利用斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′的平面圖形，然后求解面積；

(2)若以Rt△ABC的邊BA為旋轉軸旋轉一周，判斷幾何體的形狀，然后求所得幾何體的體積和表面積．19.【答案】解：(1)因為m⊥n，

所以m?n=(2a+c)cosB+bcosC=0，

由正弦定理得，(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0，

所以2cosBsinA+cosBsinC+