第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市慧澤高中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，若A=π3，a=3，b=1，則A.π6或5π6 B.π6 C.π3 2.已知a=(2,2m?1)，b=(4,m)，且a/?/b，則A.4 B.23 C.34 3.復(fù)數(shù)z=(m2?2m?3)+(m+1)i(m∈R)表示純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為A.m=?1 B.m=1

C.m=3 D.m=?1或m=34.如圖，AD為△ABC的邊BC上的中線，且AC=a，AD=b，那么AB為A.2a?b

B.a?2b

5.已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，AB=6，CD=4，AD=22，則直角梯形ABCD的直觀圖A′B′C′D′的面積為A.5B.52

C.106.下列說(shuō)法正確的是(

)A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.若m//n，n//α，則m//α

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體是棱柱

D.若平面α與平面β平行，則平面α內(nèi)的任意一條直線與平面β都平行7.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A.直線CD與直線GH異面

B.直線CD與直線EF共面

C.直線AB與直線EF異面

D.直線GH與直線EF共面8.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2A.12 B.32 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2i，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是(

)A.|z|=22 B.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限

C.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z?=?1?i D.復(fù)數(shù)10.已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為4，其側(cè)面積是底面積的2倍，則(

)A.該圓錐的表面積為12π B.該圓錐的體積為83π

C.該圓錐側(cè)面展開圖為半圓11.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.按照以下方式可構(gòu)造一個(gè)半正多面體：如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體中，B1E1=B1F1=B1G1=a，A1E2=A1A.當(dāng)a=1時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

B.當(dāng)a=3時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

C.若該幾何體是由正八邊形與正三角形圍成的半正多面體，則邊長(zhǎng)為4?22

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z=1+i2023，則復(fù)數(shù)z的虛部為______．13.“李白斗酒詩(shī)百篇，長(zhǎng)安市上酒家眠”，本詩(shī)句中的“斗”的本義是指盛酒的器具，后又作為計(jì)量糧食的工具，某數(shù)學(xué)興趣小組利用相關(guān)材料制作了一個(gè)如圖所示的正四棱臺(tái)來(lái)模擬“斗”，用它研究“斗”的相關(guān)幾何性質(zhì)，已知該四棱臺(tái)的上、下底的邊長(zhǎng)分別是2、4，高為2，則該四棱臺(tái)的側(cè)面積為______．14.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠DAB=60°，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，設(shè)AE在AC上的投影向量為a，且滿足a=34AC，延長(zhǎng)線段AE至點(diǎn)F，使得AE=EF，若點(diǎn)H在線段BC上，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a，b，|a|=3，|b|=1，且a與b的夾角為π6．

(1)求a?b和|a+16.(本小題15分)

如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)O為AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．17.(本小題15分)

已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且3bsinA=a(2+cosB)．

(1)求角B；

(2)若a=3c，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且BD=2718.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．

(1)求證：AB//平面PCD；

(2)求證：F為PD的中點(diǎn)；

(3)在棱AB上是否存在點(diǎn)N，使得FN//平面BDE？若存在，求出ANNB的值；若不存在，說(shuō)明理由．19.(本小題17分)

南溪公園規(guī)劃一個(gè)凸四邊形區(qū)域種植兩種花卉以供欣賞，具體設(shè)計(jì)如下：如圖，將四邊形ABCD劃分為兩個(gè)三角形區(qū)域分別種植兩種花卉，AD=400m，BA⊥AD，∠CBA=3π4，∠ACD=π4，設(shè)∠BAC=α,α∈[π24,5π24]．

(1)用α表示△ACD的面積S，并求S的最大值；

(2)為了提高觀賞效果，計(jì)劃在AB和BC邊上安裝護(hù)欄，其中BC

答案解析1.【答案】B

【解析】解：A=π3，a=3，b=1，

由正弦定理得，asinA=bsinB，

∴sinB=bsinAa=323=12，

又∵B∈(0,π)，且b<a，

2.【答案】B

【解析】解：a=(2,2m?1)，b=(4,m)，且a/?/b，

則2m=4(2m?1)，解得m=23．

故選：3.【答案】C

【解析】解：由復(fù)數(shù)z=(m2?2m?3)+(m+1)i(m∈R)表示純虛數(shù)，得m2?2m?3=0m+1≠0，即m=3，

則實(shí)數(shù)m的值為3．

故選：C．

由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳D為△ABC的邊BC上的中線，且AC=a，AD=b，

所以AD=12(AB+AC)，

所以2b5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD中，AB⊥AD，AB/?/CD，AB=6，CD=4，AD=22，

所以SABCD=12(6+4)×22=102，

故直角梯形ABCD的直觀圖6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若m/?/n，n/?/α，則m?α或m/?/α，故B說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于C，上下兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱，

有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，反例如圖：

故C說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若平面α與平面β平行，則平面α內(nèi)的任意一條直線與平面β都平行，故D說(shuō)法正確．

故選：D．

根據(jù)基本事實(shí)即可判斷A；由線面平行的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)棱柱的概念，并舉出反例即可判斷C；由面面平行的性質(zhì)即可判斷D．

本題主要考查三點(diǎn)共面的條件，棱柱的定義以及線面、面面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】B

【解析】解：如圖，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，故A錯(cuò)誤；

∵CE/?/BD，且CE=BD，∴四邊形CDBE是平行四邊形，

∴CD/?/EF，∴CD與EF是共面直線，故B正確；

∵AB∩EF=B，∴AB與EF相交，故C錯(cuò)誤；

∵EF，GH不在一個(gè)平面內(nèi)，且EF與GH既不平行也不相交，

∴EF，GH是異面直線，故D錯(cuò)誤．

故選：B．

先將正方體復(fù)原，再判斷異面或共面即可．

本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】D

【解析】解：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d都為實(shí)數(shù))，則|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2，

因?yàn)閦1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1?z2=(a?c)+(b?d)i，

9.【答案】CD

【解析】解：復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2i，

則z=2i1?i=2i(1+i)(1?i)(1+i)=?1+i，

|z|=(?1)2+12=2，故A錯(cuò)誤；

z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?1,1)落在第二象限，故B錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z?=?1?i，故C正確；

10.【答案】ACD

【解析】解：圓錐SO的母線長(zhǎng)為4，其側(cè)面積是底面積的2倍，

設(shè)圓錐底面半徑為r，

則底面面積S1=πr2，底面周長(zhǎng)C=2πr，

故側(cè)面面積S2=12cl=4πr，

由題意得S2=2S1，即4πr=2πr2，即r=2，

故側(cè)面面積S2=12cl=4πr=8π，可得表面積為：8π+4π=12π，A選項(xiàng)正確；

側(cè)面面積S2=8π=12π?411.【答案】BC

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)，當(dāng)a=1時(shí)，8個(gè)頂角的截面為等邊三角形，但其余保留的每個(gè)面不是正八邊形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)a=3時(shí)，8個(gè)頂角的截面為正六邊形，其余保留的每個(gè)面是正方形，所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)，如圖，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為4的正方體中，B1E1=B1F1=B1G1=a，A1E2=A1F2=A1G2=a，…，a∈(0,4)，

所以E1G1=2a，E12.【答案】?1

【解析】解：z=1+i2023=1+(i4)505?i3=1?i，

則復(fù)數(shù)z13.【答案】12【解析】解：因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底的邊長(zhǎng)分別是2、4，高為2，

所以斜高為22+(4?22)2=5，

所以該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為14.【答案】?25

【解析】解：過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AC于點(diǎn)T，

因?yàn)閍=34AC，故AT=34AC，故E為CD的中點(diǎn)，

因?yàn)锳BCD是菱形，所以對(duì)角線互相垂直平分，

以AC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椤螪AB=60°，菱形邊長(zhǎng)為4，所以A(?23,0)，E(3,1)，設(shè)F(u,t)，

因?yàn)锳E=EF，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知?23+u2=30+t2=1，解得u=43t=2，故F(43,2)，

因?yàn)辄c(diǎn)H在線段BC上，可設(shè)H(m,33m?2)，0≤m≤215.【答案】a?b=3，|a+b【解析】(1)因?yàn)閨a|=3，|b|=2且a與b的夾角為π6，

所以a?b=|a||b|cosπ6=3×2×32=3，

故|a+b|=(a+16.【答案】證明見(jiàn)解答；

16．【解析】(1)證明：如圖，連接PO，

則O為BD中點(diǎn)，又點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)，

所以BD1//PO，又BD1?平面PAC，PO?平面PAC，

所以BD1//平面PAC；

(2)根據(jù)題意可得三棱錐B?PAC的體積為：

VB?PAC=V17.【答案】B=2π3；

12【解析】(1)3bsinA=a(2+cosB)，

所以3sinBsinA=2sinA+sinAcosB，

因?yàn)閟inA>0，

所以3sinB=2+cosB，

所以3sinB?cosB=2，

即2sin(B?π6)=2，

所以sin(B?π6)=1，

所以B=2π3；

(2)因?yàn)閍=3c，

由余弦定理得，b2=a2+c2?2accosB=9c2+c2?2×3c×c×(?12)=13c2，

所以b=13c，

因?yàn)辄c(diǎn)D是AC18.【答案】證明見(jiàn)解析；

證明見(jiàn)解析；

存在N使得FN//平面BDE，ANNB=1【解析】(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，

所以AB/?/CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，

所以AB/?/平面PCD；

(2)證明：由AB/?/CD，AB?平面ABEF，CD?平面ABEF，

所以CD/?/平面ABEF，又CD?平面PDC，平面PDC∩平面ABEF=EF，

所以CD/?/EF，又E為棱PC的中點(diǎn)，即EF是△PDC的中位線，

故F為PD的中點(diǎn)；

(3)解：存在N使得FN//平面BDE且ANNB=1，理由如下：

H為AB中點(diǎn)，連接FH，

由題設(shè)BH=12AB=12CD且BH//CD，由(2)知CD//EF且EF=12CD，

所以BH//EF且BH=EF，即BHFE為平行四邊形，

所以FH/?/BE，而BE?平面BDE，F(xiàn)H?平面BDE，

所以FH/?/平面BDE，故所求N點(diǎn)即為H點(diǎn)，

則AB上存在點(diǎn)N使得FN//平面BDE，且ANNB=1．

(1)由已知可得AB/?/CD，再利用線面平行的判定定理即可得證；

(2)由CD/?/AB，根據(jù)線面平行的判定有CD/?/平面ABEF，再由線面平行的性質(zhì)可得CD/?/EF，結(jié)合已知即可證結(jié)論；19.【答案】(400002+40000)m2；【解析】(1)由題意，AD=400m，BA⊥AD，∠CBA