江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)、是符合題目要求的.

1.命題“VxeR,fNO”的否定是（）

A.VXGR,%2<0B.不存在xeR,x2<0

C.3x0eR,XQ>0D.玉°eR,XQ<0

【答案】D

【解析】???全稱命題的否定是特稱命題

二命題"VxeR,無？20”的否定是：3x0eR,竟<0.

故選：D.

2.集合｛名尸｝的真子集個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】集合｛名尸｝的元素個數(shù)為2,該集合的真子集個數(shù)為2?-1=3.

故選：C.

3.不等式^—<0的解集為（）

X-1

A.（-1,1]B.（-1,1）C.[-1,1）D.[-1,1]

【答案】C

x+1（冗+1）（%—1）?0—1W%W1

【解析】因?yàn)椤?lt;0等價于I八），解得：1，

x-l[x—lwO[x^l

即：-1<X<1,所以不等式二yWO的解集為[—1,1）.

故選：C.

4.若x>0,y〉0,則下列式子一定正確的是（）

-----------3

A.6="

C.lg(x+y)=lgx+lgyD.lg(2x)=21g無

【答案】A

【解析】A：尤=(尤2)5=尤W，對;

B：6.x-y'f=|x-y|*>=1x-y\'錯;

C、D：由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有1g(肛)=lgx+lgy、lg(2x)=lg2+lgx,錯.

故選：A.

5.函數(shù)/(%)=xsinx的圖象大致為()

【解析】因?yàn)橛?x)=xsinx的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱,且/(一%)=(-x)[sin(-x)]=/(%),

所以/(%)為偶函數(shù)，故排除C,D；

因?yàn)閥=x,y=sinx在xe[0,1J均為增函數(shù)，且函數(shù)值均為正,

jr

所以/(%)=xsinx在［0,—］上單調(diào)遞增.

2

故選：B.

若幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)14、

6.,則下列說法正確的是(

B.方程/(%)=27的實(shí)數(shù)根為:

A./(%)為偶函數(shù)

C./(%)在(0,+8)上為增函數(shù)D./(%)的值域?yàn)镽

【答案】B

【解析】設(shè)/(尤)=九"，代入點(diǎn)(4,可得4"=，，所以。=一],

\oJ82

所以〃x)=H=，，因?yàn)椋?>0,所以％>0,即函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),

對于A：因?yàn)?(%)的定義域?yàn)?0,+00),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以/'(%)既不是為偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B：令/(x)=27,所以，=27,解得x故B正確；

33

對于C,因?yàn)?(1)=尤2,因?yàn)?=一5<0,

所以“外在(0,一)上為減函數(shù)，故C錯誤；

對于D：因?yàn)?(x)=x，=J口，

所以d>0,所以〃力>0,“X)的值域?yàn)?0,+刃)，故D錯誤.

故選：B.

2

7.已知3"=2，5"=3，c=~,則的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】C

2

【解析】a=log32,b=log53,c=-,

22

c=]=log3=log3y/9>log3雙=a,

c=j=log55^=log5^25<log5^27=log53=b,

所以avcv/?.

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系i0y中，單位圓上的動點(diǎn)?、。同時從點(diǎn)A(l,0)出發(fā)，點(diǎn)尸按逆時針

_7l7T

方向每秒鐘轉(zhuǎn)7弧度，點(diǎn)Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn);弧度.若兩點(diǎn)相遇時的坐標(biāo)是

88

~二~~二~則此時它們可能是第（）次相遇.

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

則/=6+16尢=3土詈，所以2+7尢=月，

7T7TTt

要使RQ相遇，貝1(—+——?=27加且〃eN,即〃=—,

882

若如=10,則/=20,此時匕,&eN,A錯;

若“=11,則/=22,此時左=1,左2=9,B對;

若〃=12,則/=24,止匕時匕，左20N,C錯；

若〃=13,則f=26,此時尢，自eN,D錯.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列三角函數(shù)值的符號為負(fù)的有（）

A.sin(-40°)B.sin1000

471

C.cos2D.tan

【答案】AC

【解析】A.—40。角的終邊在第四象限，所以sin（-40。）<0,故A正確;

B.100。的角的終邊在第二象限，所以sinlCXJ>0，故B錯誤；

C.2弧度的角的終邊在第二象限，所以cos2<0,故C正確；

4兀（4兀、

D.-彳的角的終邊在第三象限，所以tan[-歹）〉0,故D錯誤.

故選：AC.

10.已知實(shí)數(shù)。/滿足。>0”>0且a+2Z?=l,則下列說法正確的有（）

〃+]b

A.若,則對任意實(shí)數(shù)ac2>be1B.若則->—

a+1a

c.工+」的最小值是3+20D.片+4尸的最小值是:

【答案】BCD

【解析】A:當(dāng)。=0,此時以2=兒乙錯；

b+1bab+a-ab-ba-b八b+1b-

B：由[>〃，則------->。，即nn一對;

6Z+1a+1)a(a+l)a+1a

-1111、/ci、c2bacc，2%,3+2日

C：—i——(z—i—)(4Z+2Z?)—3H------1-23+2J—,

ababab\a

當(dāng)且僅當(dāng)〃=721力=2-立時取等號，對;

2

D：由a=l—2Z?>0,則0<匕<L，故片+4尸=8〃—4b+l=8(b—1)2+工,

242

當(dāng)〃=L時，。2+482取得最小值;，對.

42

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(%)=?的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，且值域?yàn)椋?3,0],則下列說法正確的

有（）

A.b=3

B./(-3)>/(2)

C.若0＜玉＜々，則＜"""/)

-3-

D.若關(guān)于x的方程〃2x)—〃x)=左有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為一70

【答案】ACD

【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以/(O)=axl—b=a—3=0,即

因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?-3,0］,即在x=0處取得最大值，

所以函數(shù)在區(qū)間(f,0］上單調(diào)遞增,在(0,y)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x趨于無窮大時，趨于0,"%)趨于—即—b=—3,即6=3,故A正確；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)?(—3)=/⑶，又函數(shù)在(0,+o))上單調(diào)遞減，所以〃3)＜7?⑵，即

/(-3)＜/(2),故B錯誤;

對于選項(xiàng)C：當(dāng)了＞0時，y(x)=3(g『—3=,)-3，

3U_3/叫/㈤

,故C正確；

對于選項(xiàng)D：令t=G1/e(O,l］，/(2x)-/(x)=3?-3?=3^-1^—；，

13

當(dāng)，=5時，取最小值-“當(dāng)7=0或y1時，值為0,所以方程〃2x)—/(%)=左有實(shí)

數(shù)根，

-3'

則實(shí)數(shù)上的取值范圍為-7,0,故D正確.

_4_

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.計(jì)算：eln2+lg2+lg5=_.

【答案】3；

【解析】eln2+lg2+lg5=2+lgl0=2+1=3.

13.已知函數(shù)/(九)滿足下列三個條件：①對任意xeR,/(x+7i)=/(x)；②對任意

xeR,+=③/(%)的值域?yàn)閇0,2],則/(X)=.(寫出滿足

要求的一個函數(shù)即可)

【答案】cos2x+l(答案不唯一)

【解析】條件①說明函數(shù)/(%)的周期為兀，條件②說明函數(shù)/(“關(guān)于x對稱，

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可知，滿足條件的函數(shù)為cos2x+l(答案不唯一).

[x-1+3,x</

14.已知函數(shù)=</\2，若對任意xeR,reR,不等式

(x-Z-2)-l,x>t

/(x+a)>/(x)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】]蔓，+°0]

【解析】由y=x-/+3在xe(—ooj)上單調(diào)遞增，且過點(diǎn)?—4,-1),

在xe[/,+8)上y=—。—2)~—1,在[//+2)上單調(diào)遞減，在Q+2,+0。)上單調(diào)遞增，

結(jié)合“X)解析式，其大致圖象如下圖，

隨f變化，/(尤)的圖象只在X軸上平移，

令過5Q+2,—1)且平行于y=x—/+3的直線為y=x+m,

則，+2+根=一1,所以加二一3-八i^y=x-t-39

聯(lián)立y=-3與,=(x_/_2)2消去)得x_/_2=(1_/_2)2,

所以x=f+2或％=f+3,

對任意尤eR,才6區(qū)都有/(%+。)>/(%)成立，

由圖知，在Q—41+2)上”可不單調(diào)，必有。>6,

需保證—4/—3),x+ae?+2/+3)時有(x+a—r—2)2-1>%-7+3,

所以x?+(2a—2t—5)x+a?-2ta+廠—4a+5f>0,

25

/=(2a—2f—5)2—4(〃_2勿+/—4a+5/)<0,整理得4a>25,所以?！刀?

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是+sJ

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合4={%,2—6x+5<0},B=|x|fl-2<x<tz+l|.

(1)若a=l,求Ac8，A\JB；

(2)若“xeA”是“九e3”的必要條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

解：⑴A=^x|x2-6%+5<oj'=1x|l<x<5j,

當(dāng)a=l,5={川-1VxV2},

所以人口3=[1,2],AUB=[-1,5].

(2)因?yàn)椤皒eA”是“xeB”的必要條件,所以

[a-2>l

所以〈，,解得3WaW4.

a+l<5

16.在平面直角坐標(biāo)系尤Qv中，角a以x軸的正半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第四象

限內(nèi)的點(diǎn)P(%,%).

（1）若％=2^,求sin2（7i—cz）—sin（7i+cz）cos（7i—cz）—2cos2（—cz）的值;

(2)若sin(z+cos(z，求tantz+---的值及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5tan。

解：(1)因?yàn)榻恰昱c單位圓交于第四象限內(nèi)的點(diǎn)P($,%),

所以sina=%,cosa=x0,tana=—,后+*=1,y0<0,

%0

sin2(兀一c)—sin(冗+a)COS(TI—a)—2cos2(—6z)=sin2a—sinacosa—2cos2a,

2

法1：sina—sinecosa-2cos之a(chǎn)=y1-xQy0-2考

法2：tana=-2,

sin2a-sinacosa-2cos2a

sin2a-sinacosa-2cos2a

sm?2a+cos2a

tan2a-tan(/-24

=-----------------=—.

tan2a+15

/、、，1sinocos。1

(2)法1：tano+------=-------+-------=--------------,

tanacosasinasinacosa

因?yàn)閟ino+cose=2，①

112

所以兩邊平方得1+2$111。以的。=—，即sinocos。=----，

2525

1125

所以tanc+------=-------------=------,

tanasinacosa12

由角。終邊位于第四象限，得sina<0,cosa〉0,

法2：由角a終邊位于第四象限，得sina<0,cosa〉0,

因?yàn)閟ina+cose=2，①

且sin?a+cos?a=1,②

34

所以由①②解得：sina=--,coscir,

?…1sinacosa3425

所以tanaH--------=---------1--------=---------=------

tanorcosasina4312

點(diǎn)P的坐標(biāo)為［二,一1).

17.已知定義在R上函數(shù)/(月=束口-1的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)判定了(%)的單調(diào)性并證明；

(3)若實(shí)數(shù)。滿足/(242〃)>一g,求。的取值范圍.

解：⑴因?yàn)樵赗上/(x)=gg-1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以“力為奇函數(shù),

所以/(0)=*—1=0，即m=2,檢驗(yàn)如下，

,,,、l-5'v曲”\\1-5"l-5-xl-5-r5V-1八

止匕a時/(%)=-----，所以/(尤)+f(-x)=------1------=-----1-----=0，

')5X+1v7v)5X+15-%+15X+15X+1

故/(%)是奇函數(shù)，滿足要求.

所以加=2.

(2)〃龍)在R上單調(diào)遞減，證明如下：

任取芯,％2eR且芭<%,

則"6“*)=(島-1卜島一1卜離

因?yàn)樾?lt;々，所以5』<5次，又5』+1>0，5f+1>0，

所以/(%)—/(%)>。，所以/(%)在R上單調(diào)遞減.

(3)法1：因?yàn)?⑴=—|,所以/(2。2-2。)〉一：可化為2〃)〉/⑴，

因?yàn)?(%)在R上單調(diào)遞減，所以2/一2。<1，

即2/口<2°，所以/一2口<0，解得0<a<2.

法2：在/'(2j〃)〉—|中，令=x，則/(x)〉—g,

22

即-------1>—，即％<1,所以2。2-2“<1,

5X+13z1

即2陵-2”<2。，所以儲一2〃<0，解得0<a<2.

18.已知用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)/(￡)=Asin(ox+e)[A〉O,0〉O,[d<]J在一個周期上的

圖象時，列表如下：

7T71717兀5兀

X

-612312~6

713兀

cox+(p0712兀

2T

_1

000

/(x)2~2

⑴求/(%)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移W個單位長度，再將圖象上每個點(diǎn)的橫坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象.

①求g(x)在[0,兀]上的單調(diào)增區(qū)間；

57r

②若關(guān)于x的方程g(x)=772在0,—上有四個不相等的實(shí)數(shù)根

%,%2，%3，％4(國〈電V%)，求tan(x+%2+%+%4)的值.

1571(711

解：(1)由題意得A=z，T――———=71,所以。=2.

2616)

所以/(%)=gsin(2%+0).

因?yàn)樗陨?夕=巴+2依(左￡Z),即0=/+2E,

2623

因?yàn)殚l,所以0

所以/(X)=gsin[2x+]]

(2)①將y=/(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移今個單位長度后得到y(tǒng)=；sin(2x+t]的圖

象,

再將圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=gsin[x+2的圖象,

所以g(x)=；sin

令2E—四<x+—<2kn+—{keZ),得2E—女<x<2kn+—(keZ),

26233

又xe[0,7i],所以g(x)在[0,可上的增區(qū)間為0,j.

人兀,t八5兀~,兀8兀

②令%+—=t,因?yàn)椴弧?,—-,所以

6263

由g(%)二相得sinx+—=2m,即sin/=2m.

5兀

因?yàn)榉匠蘥(x)=加在1e0,—上有四個不相等的實(shí)數(shù)根外演,大4(%＜/＜演(%)，

兀8兀/、

所以方程sin%=2根在/6—上有四個不相等的實(shí)數(shù)根％/，匕(4〈/2V匕＜/4)，

63

/o5

所以?2加<1，且4+方2=—x2=7l,力3+*4=><2=5兀，

222

LLtI兀兀兀7cLLLI16兀

所以石H-------F%2-----=兀，----FXH------5兀，所以玉+%+%3+%4=---------，

666463

所以tan(石+%+&+/)=6.

斗

y=2m

一為丁廣

■[一

尸sinf2J

19.已知兩個函數(shù)y=/(x),XGD],y=F(x),xeQ若對任意的西?R,存在唯一

的馬62,使得/(%)產(chǎn)(々)=1成立，則稱尸(X)為/(%)的“友好函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)G(x)=cosx,]?0,兀]是否為8(/)=5山工，xe[0,兀]的“友好函數(shù)”，

并說明理由；

⑵若函數(shù)〃(x)=log2x,xe[m,n\>h^x)=2X,%e[-2,-1]的“友好函數(shù)”，求

〃一根的最小值;

kx1'(兀、

(3)已知函數(shù)。(x)=log2[0,m],q(x)=sin兀x--7

(爐+44J3J

無e—,若Q(x)是q(x)的“友好函數(shù)”，且q(x)也是Q(x)的“友好函數(shù)”，求實(shí)數(shù)

，的值及7〃-女的最大值.

解：(1)G(x)=cosx,%?0,兀]不是8(%)=5111],%?0,兀]的“友好函數(shù)”，理由如下：

取與=。?0,兀],因?yàn)間(0)=0,所以不存在々耳0,可，使得G(/)g(0)=l，

所以G(x)=cosx,xe[0,7i]g(x)=sinx,xw[0,兀]的“友好函數(shù)”.

(2)由題意，對任意占￡。1，存在唯一々e2使秋石)H(電)=1成立，

即”(6點(diǎn)1

,所以函數(shù)的值域是函數(shù)H(x)值域的子集.

h(x)

因?yàn)榫W(wǎng)力=23%G[-2,-1],所以意e[2,4],其值域?yàn)閇2,4],

而7/(x)=log2X在X￡[m,可上單調(diào)遞增，故值域?yàn)閇log2m,log2n\,

log2m<20<m<4

從而<即《所以(“一利)揄=12.

log2n>4n>16

(3)當(dāng)。(％)是q(x)的“友好函數(shù)”時,

由題意，對任意的西€￡>1，存在唯一的々el)?，使4(玉)Q(/)=l成立，

即°口2)=此j,則的值域是值域的子集，

當(dāng)q(x)是。(尤)的“友好函數(shù)”時，

由題意，對任意的々e3，存在唯一的占cR使Q(X2)q(%)=l成立,

即以彌=。(9),則Q(力的值域是]右值域的子集.

/、1

所以Q(x)的值域與一「h值域相同(且值域中的數(shù)值一一對應(yīng)).

71

當(dāng)。(x)是q(x)的“友好函數(shù)”時，因?yàn)閝

6

若存在西€