第一章反比例函數(shù)（復(fù)習(xí)講義）1.掌握反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：y=kx（k≠02.會畫反比例函數(shù)的圖像（雙曲線），理解其對稱性和漸近線（x=0、y=0）.掌握k的符號對圖像的影響：k>0：圖像位于第一、三象限，y隨x增大而減?。p函數(shù)）；k<0：圖像位于第二、四象限，y隨x增大而增大（增函數(shù)）.3.理解∣k∣表示雙曲線上任意一點與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積,能利用k4.能用反比例函數(shù)建模解決實際問題（如速度時間、壓強(qiáng)面積、電阻電流等）.●一、反比例函數(shù)的概念【注意】因為x作為分母，不能等于零，因此自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).但實際問題中，應(yīng)根據(jù)具體情況來確定反比例函數(shù)自變量的取值范圍．●二、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式，②將已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；③解方程，求出待定系數(shù)；④寫出反比例函數(shù)解析式.●三、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、反比例函數(shù)的圖象：由兩條曲線組成，它是雙曲線．2、反比例函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)圖象所在象限增減性三象限在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小四象限在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點●四、反比例函數(shù)的應(yīng)用◆1、利用反比例函數(shù)解決實際問題①能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型．②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義．③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．◆2、跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題要熟練掌握物理或化學(xué)學(xué)科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式．同時體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．◆3、反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認(rèn)識圖象，找到關(guān)鍵的點，運用好數(shù)形結(jié)合的思想．題型一題型一反比例函數(shù)的識別【例1】（2425八年級下·江蘇泰州·期中）以下是反比例函數(shù)的是（）A．y=2x B．y=?x?1 C．y=?【變式11】（2025·云南臨滄·一模）下列函數(shù)不是反比例函數(shù)的是（

）A．y=2025x?1 B．xy=2025 C．y=?2x 【變式12】（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）下列函數(shù)中，是關(guān)于變量y與x的反比例函數(shù)有（）個①y=m2+1x（m為常數(shù)）；②y=x5；③y=5A．1 B．2 C．3 D．4題型題型二根據(jù)反比例函數(shù)的定義求參數(shù)【例2】（2324九年級上·黑龍江綏化·期末）如果函數(shù)y=(m?1)xm?2是反比例函數(shù)，那么mA．2 B．?1 C．1 D．0【變式21】已知函數(shù)y=n+1xn2?2A．1 B．?1 C．±1 D．±2【變式22】（2425九年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）若y=a?2xa?3是反比例函數(shù)，則題型題型三求反比例函數(shù)值【例3】A．m=?1 B．m=1 C．m=?3 D．m=3【變式31】（2025·北京·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點Aa,3和Bb,?3【變式32】（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)y=(m?1)x|m|?2是關(guān)于(1)求m的值；(2)當(dāng)x=3時，求y的值．題型題型四由反比例函數(shù)值求自變量的值【例4】（2425八年級下·重慶·期末）已知點a,?2在反比例函數(shù)y=?6x的圖象上，則a的值是（A．?3 B．3 C．?32 【變式41】（2425九年級下·貴州貴陽·階段練習(xí)）若反比例函數(shù)y=8x的圖象經(jīng)過點a,2，則a的值為（A．8 B．6 C．4 D．2【變式42】（2425八年級下·江蘇淮安·期末）已知反比例函數(shù)y=6x的圖像經(jīng)過點A(m,2)，則m的值為題型題型五確定反比例函數(shù)的圖象【例5】（2425九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）函數(shù)y=?3A． B．C． D．【變式51】（2024·廣東汕頭·二模）下列圖象中，是反比例函數(shù)圖象的是（

）【變式52】（2425九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)y=?2x在平面直角坐標(biāo)系中的圖形可能是（題型題型六由反比例函數(shù)圖象求解析式【例6】（2025九年級下·重慶銅梁·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（

）A．y=?x4 B．y=?4x C．y=?4【變式61】（2024春?東坡區(qū)期末）點A是雙曲線上一點，過點A作AB⊥x軸于點B．圖上△AOB的面積為3，則此反比例函數(shù)的解析式（）A．y=6x B．y=?6x C．【變式62】（2024?興寧區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點C，且BC＝2AC，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點A，若SA．y=?6x B．y=?12x C．題型題型七由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標(biāo)【例7】（2425八年級下·山西長治·期中）已知一條過原點的直線與雙曲線y=k(?2,3)，則它們的另一個交點坐標(biāo)是（

）A．(2,3) B．(?1,?2) C．(2,?3) D．(?2,?3)【變式71】（2425九年級下·湖南長沙·期中）如圖，直線y=mx與雙曲線y=kx相交于A、B兩點，點A坐標(biāo)為(?2,1)，則點B坐標(biāo)為（

）A．(?2,?1) B．(?1,2) C．(1,?2) D．(2,?1)【變式72】（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知P、Q兩點分別在反比例函數(shù)y=2mx和y=3?mxm<0的圖象上，若點P與點Q關(guān)于y題型八由圖象分布的象限求參數(shù)的范圍題型八由圖象分布的象限求參數(shù)的范圍【例8】（2425八年級下·山東泰安·期末）若反比例函數(shù)y=1?2ax的圖象在第二、四象限，那么a的取值范圍是【變式81】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖為反比例函數(shù)y=kx(k≠0,x>0)的圖象，則k【變式82】（2024秋?臨泉縣月考）已知反比例函數(shù)y=2a+6x（（1）若該反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x＞0時，y隨x的值增大而減小，求a的取值范圍．題型題型九判斷反比例函數(shù)所在的象限【例9】（2025九年級下·云南·學(xué)業(yè)考試）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點1,?3，則該反比例函數(shù)的圖象分別位于（

）A．第一、第三象限 B．第一、第四象限C．第二、第三象限 D．第二、第四象限【變式91】（2024春·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，若函數(shù)y=kxx<0的函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大，則函數(shù)y=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式92】（2024秋?雙流區(qū)校級月考）反比例函數(shù)y=kx（k≠0），當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝kx+k的圖象不經(jīng)過第題型題型十由反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)【例10】（2425八年級下·河南南陽·期末）反比例函數(shù)y=1?mx圖象經(jīng)過A?1,y1、B3,【變式101】（2425八年級下·浙江寧波·期中）在反比例函數(shù)y=1?3mx圖象上有兩點Ax1,y1，Bx2【變式102】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點Ax1,y1，Bx2,y2都在反比例函數(shù)題型題型十一判斷反比例函數(shù)值或自變量的大小【例11】（2024秋?包河區(qū)校級期末）若點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，則y1，y2，A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2【變式111】（2425八年級下·江蘇淮安·期末）點?5,y1，?3,y2都在反比例函數(shù)y=3x的圖像上，則y1y【變式112】（2425八年級下·江蘇泰州·期末）反比例函數(shù)y=3x的圖象上有三點Ax1,y1，B題型題型十二由比例系數(shù)求圖形的面積【例12】（2025·湖南婁底·三模）如圖，A,B兩點在雙曲線y=3xx>0上，分別過A,B兩點向坐標(biāo)軸作垂線．若S=1【變式121】（2425八年級下·河南南陽·期末）如圖，點A、D分別在函數(shù)y=?3x,y=6x的圖象上，點B、C在x軸上．若四邊形ABCDA．3 B．4.5 C．9 D．18【變式122】（2425八年級下·四川資陽·期末）如圖，過y軸正半軸上的任意一點P作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=?4x和y=2x的圖象交于點A和點B．若點C是x軸上任意一點，連結(jié)AC，A．3 B．4 C．5 D．6題型題型十三由圖形的面積求比例系數(shù)【例13】A．5 B．10 C．?5 D．?1【變式131】（2425九年級上·陜西渭南·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是反比例函數(shù)y=kxk≠0,x<0圖象上的點，過點A作y軸的垂線交y軸于點B，點C在x軸上，若△ABC的面積為3，則k【變式132】（2425八年級下·山西晉城·期末）如圖，菱形OABC的頂點B在x軸的正半軸上，點A在第一象限，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過菱形OABC的頂點A．若菱形OABC的面積為6，則k?6 B．?3 C．3 D．6題型題型十四求反比例函數(shù)的解析式【例14】（2024?定安縣二模）已知一個函數(shù)滿足如表（x為自變量），則這個函數(shù)的表達(dá)式為（）x﹣3﹣2﹣1123y34.59﹣9﹣4.5﹣3A．y=9x B．y=?9x C．y=【變式141】（2425九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）已知y?2與x成反比例，且當(dāng)x=1時，y=?5，求y與x的函數(shù)表達(dá)式．【變式142】（2425九年級上·湖南邵陽·期中）已知y=y1+y2，若y1與x2成正比例關(guān)系，y2與x成反比例關(guān)系，且當(dāng)(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式：(2)求x=?2時，y的值．題型題型十五由實際問題列反比例函數(shù)解析式【例15】（2024?甘肅模擬）電路上在電壓保持不變的條件下，電流I（A）與電阻R（Ω）成反比例關(guān)系，I與R的函數(shù)圖象如圖，I關(guān)于R函數(shù)解析式是（）A．I=220R B．I=?220R C．【變式151】（2024秋?青秀區(qū)校級期中）某工廠現(xiàn)有原材料300t，平均每天用去xt，這批原材料能用y天，則y與x之間的函數(shù)解析式是（）A．y＝300x B．y=300C．y=300?300x D．y【變式152】（2024秋?牡丹區(qū)期末）近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數(shù)x（單位：度）的函數(shù)，下表記錄了一組數(shù)據(jù)：x（單位：度）…100250400500…y（單位：米）…1.000.400.250.20…在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是（）A．y=1100x B．y=100x C．題型題型十六反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【例16】器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機(jī)器裝置，其最快移動速度vms是載重后總質(zhì)量mkg的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量m=60kg時，它的最快移動速度A．2ms B．2.5m/s C．3【變式161】（2425八年級下·福建泉州·期末）綜合實踐小組的同學(xué)們利用自制密度計測量液體的密度，密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度?cm是液體的密度ρg/cm3的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示(ρ>0)A．當(dāng)ρ≥1時，?≥20 B．當(dāng)ρ=2時，?=40C．當(dāng)0<?≤25時，ρ≥0.8 D．當(dāng)0<ρ≤1時，?≤20【變式162】（2024秋?金水區(qū)校級期末）調(diào)光臺燈的燈光亮度可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化而改變．如圖是某臺燈的電流I（A）與電阻R（Ω）的函數(shù)圖象，該圖象經(jīng)過點P（880，0.25），下列說法中錯誤的是（）A．I=220B．當(dāng)I＜0.25時，R＜880 C．當(dāng)R＝1000時，I＝0.22 D．當(dāng)880＜R＜1000時，0.22＜I＜0.25題型題型十七一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的共存問題【例17】A． B． C． D．【變式171】（2425八年級下·四川攀枝花·期末）一次函數(shù)y=ax?1與反比例函數(shù)y=?ax在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（A． B． C． D．【變式172】（2425八年級下·江蘇宿遷·期末）一次函數(shù)y=kx?k與反比例函數(shù)y=kx在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（A． B．C． D．題型題型十八一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題【例18】（2425八年級下·河南周口·期末）如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象交于點(1)求a，k的值；(2)直線CD過點A，與反比例函數(shù)圖象交于點C，與x軸交于點D，AC=AD，連接CB．求△ABC的面積．【變式181】（2025·河南信陽·三模）如圖，一次函數(shù)y1=kx+3的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y2(1)OB=______；(2)若△AOB的面積為32，求k(3)當(dāng)x>1時，對于x的每一個值，都有y1>y【變式181】（2425八年級下·甘肅天水·期中）如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=mxm>0的圖象交于點A1,6，(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點M在x軸上，且△AMC的面積為6，求點M的坐標(biāo)．(3)結(jié)合圖形，直接寫出kx+b?mx>0題型題型十九一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【例19】（2022·廣西南寧·一模）某品牌自動飲水機(jī)，開機(jī)加熱時每分鐘上升10°C，加熱到100°C，停止加熱．水溫開始下降，此時水溫y（°C）與通電時間xmin成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至20°C時，飲水機(jī)再自動加熱．若水溫在20°C時接通電源，水溫A．上午8點接通電源，可以保證當(dāng)天9:30能喝到不超過40°CB．水溫下降過程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=C．水溫從20°C加熱到100°CD．水溫不低于30°C的時間為【變式191】（2223八年級下·山東煙臺·期末）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，臨床實驗中測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象由一條線段和一段曲線組成，如圖（當(dāng)x≥4時，y與x成反比例）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（

）A．4小時 B．6小時 C．8小時 D．10小時【變式192】（2425八年級下·四川宜賓·期中）某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“蚊蟲叮咬”，對教室進(jìn)行“薫藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y(mg)與燃燒時間x(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)據(jù)測定，當(dāng)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量低于3mg(3)當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于4mg且持續(xù)時間不低于40題型題型二十反比例函數(shù)與幾何綜合問題【例20】（2425八年級下·山東煙臺·期末）如圖，Rt△OAB與Rt△OBC位于平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=∠BOC=30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB=3，反比例函數(shù)y=kxk≠0【變式171】（2425八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=mx+1與雙曲線y=kxx>0相交于點A，點C在x軸的正半軸上，點B2,?3，連接AO，OB，BC，(1)求m和k的值；(2)設(shè)點P是x軸上的點，且S△AOP=S【變式202】（2425九年級上·四川成都·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與原點重合，A、C分別在坐標(biāo)軸上，OA=2，OC=4，直線y1=?12x+3交AB，BC分別于點M，N，反比例函數(shù)y(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出當(dāng)y1<y(3)若點P在y軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的坐標(biāo)．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測1．（2425九年級上·河北滄州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點在雙曲線y=?6x上的是（A．3,?2 B．2,3 C．?2,?3 D．?6,?12．（2324九年級上·廣東佛山·期中）計劃修建鐵路1200km，則鋪軌天數(shù)yd與平均每天鋪軌量xkmdA．y=1200x B．y=C．y=1200+x D．y=1200?x3．（2425九年級上·福建三明·階段練習(xí)）若點A?2,y1,B2,A．y1?y2=0 B．y14．（2425九年級上·安徽合肥·期中）函數(shù)y=?7x的圖像（A．過原點的一條直線 B．位于一、三象限的兩支曲線C．位于二、四象限的兩支曲線 D．過點1,?7和點?1,7的一條直線5．（2425九年級上·河南·階段練習(xí)）函數(shù)y=2x的圖象，當(dāng)y>?1時，x的取值范圍是（A．x<?2 B．?2<x<0 C．x>?2 D．x<?2或x>06．（2025·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，A、B是雙曲線y=4x圖象上的兩點，過A作AC⊥x軸，交OB于點D，垂足為點C，若D為OB的中點，則△ODC的面積為（A．4 B．2 C．1 D．17．（2425八年級下·江蘇宿遷·期末）若反比例函數(shù)y=2m?3x的圖像在第二、四象限，則m的取值范圍是8．（2324八年級下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A4,1，當(dāng)0<x<4時，y9．（2025·陜西·模擬預(yù)測）若直線y=kx（k為常數(shù)，k>0）與反比例函數(shù)y=3x的圖象交點為(x1,y110．（2025·陜西咸陽·三模）如圖，正方形OABC的頂點A，C分別在y軸和x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=6xx>0的圖象經(jīng)過點B，則正方形OABC11．（2425八年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，已知雙曲線y=2xx>0經(jīng)過直角三角形OAB直角邊AB上的一點C，且AC=2BC，連接OC，△AOC12．（2425八年級下·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B分別在函數(shù)y=8xx>0和y=kxx<0的圖象上，若AB∥x軸，C是x軸上一點，能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練13．（2425九年級上·湖南常德·期中）已知函數(shù)y=m+2(1)求m的值．(2)判斷點P?1,?214．（2024秋?金堂縣校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+b（b＜0）與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，與雙曲線y=kx（x＞0）交于D點，過點D作DC⊥x軸，垂足為C，連接OD．已知△AOB≌△（1）如果b＝﹣2，求k的值；（2）試探究k與b的數(shù)量關(guān)系，并寫出直線OD的解析式．15．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，已知點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象上，過點A的一次函數(shù)y=kx+b(1)求m、n的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接AB，求點C到線段AB的距離．1