數(shù)學(xué)學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年級：課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：授課類型T（函數(shù)概念與三要素基礎(chǔ)復(fù)習(xí)）C（基礎(chǔ)練習(xí)）T（理解本質(zhì)）授課日期及時段教學(xué)內(nèi)容1．函數(shù)與映射函數(shù)映射兩集合A、B設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射記法y＝f(x)，x∈A對應(yīng)f：A→B是一個映射2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．

【知識拓展】求函數(shù)定義域常見結(jié)論：(1)分式的分母不為零；(2)偶次根式的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；(5)正切函數(shù)y＝tanx，x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(6)零次冪的底數(shù)不能為零；(7)實際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮實際問題本身的要求．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.()(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)．()(3)映射是特殊的函數(shù)．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應(yīng)是從A到B的映射．()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．()1．函數(shù)y＝eq\r(2x－3)＋eq\f(1,x－3)的定義域為()A．[eq\f(3,2)，＋∞) B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．[eq\f(3,2)，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)2．(教材改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()3．下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝eq\f(1,\r(x))4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x＜1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)等于()A．3B．6C．9D．125．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈－∞，a，,x2，x∈[a，＋∞.))若f(2)＝4，則a的取值范圍為________．題型一函數(shù)的概念例1有以下判斷：①f(x)＝eq\f(|x|,x)與g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x≥0,－1x<0))表示同一函數(shù)；②函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個；③f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)；④若f(x)＝|x－1|－|x|，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0.其中正確判斷的序號是________．思維升華函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)．值得注意的是，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是就結(jié)果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同)．(1)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(2)下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()A．y＝x－1和y＝eq\f(x2－1,x＋1)B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)題型二函數(shù)的定義域問題命題點1求函數(shù)的定義域例2(1)函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定義域為()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域是________．引申探究本例(2)中，若將“函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0,2]”改為“函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域為[0,2]”，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域為________________．命題點2已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍(2)若函數(shù)y＝eq\f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________．思維升華(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數(shù)軸，要特別注意端點值的取舍．(2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域．(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解．A．[eq\f(3,2)，＋∞) B．[eq\f(3,2)，2)C．(eq\f(3,2)，＋∞) D．[eq\f(1,2)，2)(2)若函數(shù)y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(0，eq\f(3,4)] B．(0，eq\f(3,4))C．[0，eq\f(3,4)] D．[0，eq\f(3,4))題型三求函數(shù)解析式例4(1)已知f(eq\f(2,x)＋1)＝lgx，則f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________.思維升華函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．(1)已知f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(2)已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x)．2．分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用典例(1)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1,＋∞)思想方法指導(dǎo)(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．1．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．y＝eq\f(x2－9,x－3)與y＝x＋3B．y＝eq\r(x2)－1與y＝x－1C．y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z2．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(10＋9x－x2),lgx－1)的定義域為()A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]3．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2，－1<x<0，,ex－1，x≥0))滿足f(1)＋f(a)＝2，則a所有可能的值為()A．1或－eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(\r(2),2)C．1 D．1或eq\f(\r(2),2)5．已知函數(shù)f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，則x0的值為()A．－2 B．2C．－2或2 D.eq\r(2)*6.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1，,lnx，x≥1))的值域為R，那么a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－1，eq\f(1,2))C．[－1，eq\f(1,2)) D．(0，eq\f(1,2))7．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________________．9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lgx2＋1，x＜1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.具有性質(zhì)：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq