中考試題二〇二五年齊齊哈爾市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分3．使用答題卡的考生，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡的指定位置一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．若收入元記作元，則支出元記作（）A.元 B.元 C.元 D.元2.社會(huì)規(guī)則營(yíng)造良好的社會(huì)秩序，我們要了解并遵守社會(huì)規(guī)則．下列標(biāo)志是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.4.將一個(gè)含角的三角尺和直尺按如圖擺放，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.為了全面地反映物體的形狀，生產(chǎn)實(shí)踐中往往采用多個(gè)視圖來(lái)反映同一物體不同方面的形狀．下圖中飛機(jī)的俯視圖是（）A. B. C. D.6.如果關(guān)于的分式方程無(wú)解，那么實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.或 D.且7.假定鳥(niǎo)卵孵化后，雛鳥(niǎo)為雌鳥(niǎo)與雄鳥(niǎo)的概率相同．如果2枚鳥(niǎo)卵全部成功孵化，那么2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的概率是（）A. B. C. D.8.神舟二十號(hào)發(fā)射窗口時(shí)間恰逢第十個(gè)“中國(guó)航天日”．為激發(fā)青少年探索浩瀚宇宙的興趣，學(xué)校組織900名師生乘車(chē)前往航空科技館參觀，計(jì)劃租用45座和60座兩種客車(chē)（兩種客車(chē)都要租），若每名學(xué)生都有座位且每輛客車(chē)都沒(méi)有空座位，則租車(chē)方案有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種9.如圖，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，過(guò)點(diǎn)作的垂線，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，垂線掃過(guò)菱形（即陰影部分）的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．下列圖象能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.10.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且．下列結(jié)論：①；②；③；④若和是關(guān)于的一元二次方程的兩根，且，則，；⑤關(guān)于的不等式的解集為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題（每小題3分，滿分21分）11.中國(guó)年水資源總量約為億，人均占有水量相當(dāng)于世界人均的四分之一，居世界第110位．將用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_________．12.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．13.若圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為_(kāi)_________度．14.如圖，在中，，連接，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，若點(diǎn)N恰為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)為，連接，若，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____．16.等腰三角形紙片中，，將紙片沿直線l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線l交于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，連接，若，，則的面積為_(kāi)_________．17.利用幾何圖形變化可以制作出形態(tài)各異的圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作，使，，再以為邊作，使，，過(guò)點(diǎn)，，作弧，記作第1條?。灰詾檫?，使，，再以為邊作，使，，過(guò)點(diǎn)，，作弧，記作第2條弧……按此規(guī)律，第2025條弧上與原點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．三、解答題（本題共7道大題，共69分）18（1）計(jì)算：（2）分解因式：19.解方程：20.國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)宣布將2025年定為“體重管理年”，并實(shí)施為期三年體重管理行動(dòng)．某校響應(yīng)號(hào)召，計(jì)劃組織全校學(xué)生開(kāi)展系列體育活動(dòng)，籌備足球、排球、籃球、羽毛球四個(gè)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的體育社團(tuán)，倡導(dǎo)學(xué)生全員參加，為了解學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，對(duì)其進(jìn)行了“我最喜愛(ài)的球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”問(wèn)卷調(diào)查（每名學(xué)生在這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇且只能選擇一項(xiàng)），將這部分學(xué)生的問(wèn)卷進(jìn)行整理，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：__________；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_(kāi)_________度；（4）若該校有名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)學(xué)生有多少人？21.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接，，過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，且，求的半徑．22.2025年春晚舞臺(tái)上的機(jī)器人表演，充分演繹了科技與民族文化的完美融合．為滿足學(xué)生的好奇心和求知欲，某校組織科技活動(dòng)“機(jī)器人走進(jìn)校園”，AI熱情瞬間燃爆．校園里一條筆直的“勤學(xué)路”上依次設(shè)置了A，B，C三個(gè)互動(dòng)區(qū)，機(jī)器人甲、乙分別從A，C兩區(qū)同時(shí)出發(fā)開(kāi)始表演，機(jī)器人甲沿“勤學(xué)路”以20米／分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)停留4.5分鐘（與師生熱情互動(dòng)）后，繼續(xù)沿“勤學(xué)路”向C區(qū)勻速行進(jìn)，機(jī)器人乙沿“勤學(xué)路”以10米／分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)接到指令立即勻速返回，結(jié)果兩機(jī)器人同時(shí)到達(dá)C區(qū)．機(jī)器人甲、乙距B區(qū)的距離y（米）與機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列問(wèn)題：（1）A，C兩區(qū)相距__________米，__________；（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（3）機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為多少分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米？（直接寫(xiě)出答案即可）23.綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化過(guò)程中，通過(guò)直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問(wèn)題，讓我們共同體會(huì)幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．（1）【幾何直觀】如圖1，中，，，在內(nèi)部取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；與的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）【類(lèi)比推理】如圖2，在正方形內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；（3）【深度探究】如圖3，矩形中，，，在其內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，若，則__________；（4）【拓展延伸】在矩形中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，則的最小值為_(kāi)_________．24.綜合與探究如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；（4）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線l，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，都停止運(yùn)動(dòng)），連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，則的取值范圍是__________．二〇二五年齊齊哈爾市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分3．使用答題卡的考生，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡的指定位置一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．若收入元記作元，則支出元記作（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵．在一對(duì)具有相反意義的量中，規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．根據(jù)題意，收入與支出為相反意義的量，若收入記為正，則支出應(yīng)記為負(fù)．【詳解】解：∵收入元記作元，∴支出元記作元．故選：B．2.社會(huì)規(guī)則營(yíng)造良好的社會(huì)秩序，我們要了解并遵守社會(huì)規(guī)則．下列標(biāo)志是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確．故選D．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了積的乘方、同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)積的乘方、同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算、完全平方公式逐項(xiàng)計(jì)算，即可判斷．【詳解】解：A.，故選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；B.，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．4.將一個(gè)含角的三角尺和直尺按如圖擺放，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角板的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，進(jìn)一步即可得到答案．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∴，故選：C5.為了全面地反映物體的形狀，生產(chǎn)實(shí)踐中往往采用多個(gè)視圖來(lái)反映同一物體不同方面的形狀．下圖中飛機(jī)的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖象判定則可．【詳解】解：從上面看下來(lái)，看到的圖形是，即為俯視圖，故選A．6.如果關(guān)于的分式方程無(wú)解，那么實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.或 D.且【答案】C【解析】【分析】本題考查分式方程無(wú)解，分式方程無(wú)解的情況有兩種：解為增根或變形后整式方程無(wú)解．需將原方程化簡(jiǎn)，分別討論這兩種情況對(duì)應(yīng)的m值即可．【詳解】解：方程去分母，得：，整理，得：；∵原方程無(wú)解，∴①整式方程無(wú)解，則：，解得：；②分式方程有增根，則：，解得：；把代入，得：，解得：；綜上：或故選C．7.假定鳥(niǎo)卵孵化后，雛鳥(niǎo)為雌鳥(niǎo)與雄鳥(niǎo)的概率相同．如果2枚鳥(niǎo)卵全部成功孵化，那么2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了列舉法求概率；設(shè)2枚鳥(niǎo)卵全部成功孵化為A、B兩只雛鳥(niǎo)，列舉出所有可能的結(jié)果數(shù)，2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的結(jié)果數(shù)，利用概率公式即可計(jì)算．【詳解】解：設(shè)2枚鳥(niǎo)卵全部成功孵化為A、B兩只雛鳥(niǎo)，所有可能的結(jié)果為：AB兩只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)，兩只雛鳥(niǎo)都是雌鳥(niǎo)，A雛鳥(niǎo)是雄鳥(niǎo)B雛鳥(niǎo)是雌鳥(niǎo)，A雛鳥(niǎo)是雌鳥(niǎo)B雛鳥(niǎo)是雄鳥(niǎo)，共有4種等可能結(jié)果，其中2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)有一種結(jié)果，則2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的概率為；故選：D．8.神舟二十號(hào)發(fā)射窗口時(shí)間恰逢第十個(gè)“中國(guó)航天日”．為激發(fā)青少年探索浩瀚宇宙的興趣，學(xué)校組織900名師生乘車(chē)前往航空科技館參觀，計(jì)劃租用45座和60座兩種客車(chē)（兩種客車(chē)都要租），若每名學(xué)生都有座位且每輛客車(chē)都沒(méi)有空座位，則租車(chē)方案有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【答案】B【解析】【分析】本題考查二元一次方程解，設(shè)租用45座客車(chē)x輛，60座客車(chē)y輛，根據(jù)題意列出方程并求解正整數(shù)解，確定符合條件的方案種數(shù)，即可．【詳解】解：設(shè)租用45座客車(chē)x輛，60座客車(chē)y輛，由題意得：，∴，∵x、y均為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴共4種滿足條件的正整數(shù)解，對(duì)應(yīng)4種租車(chē)方案．故選B．9.如圖，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，過(guò)點(diǎn)作的垂線，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，垂線掃過(guò)菱形（即陰影部分）的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．下列圖象能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分三種情況：點(diǎn)E在上時(shí)，點(diǎn)E在上且l與相交時(shí)，點(diǎn)E在上且l與相交時(shí)，分別計(jì)算出陰影部分面積的表達(dá)式，即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖，，，，，，，此時(shí)圖象為開(kāi)口上的拋物線的一部分，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)E在上且l與相交時(shí)，作，如圖，，，，，，，此時(shí)圖象為直線一部分；當(dāng)點(diǎn)E在上且l與相交時(shí)，如圖，，，，，，，此時(shí)圖象為開(kāi)口下的拋物線的一部分，排除B選項(xiàng)；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，求出不同階段y與x的解析式是解題的關(guān)鍵．10.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且．下列結(jié)論：①；②；③；④若和是關(guān)于的一元二次方程的兩根，且，則，；⑤關(guān)于的不等式的解集為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線開(kāi)口，對(duì)稱(chēng)軸，以及與軸的交點(diǎn)，確定的符號(hào)，即可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的圖象過(guò)，得出，進(jìn)而判斷對(duì)稱(chēng)軸，得出，進(jìn)而判斷②和③，根據(jù)函數(shù)圖象判斷④，將一般式寫(xiě)成交點(diǎn)式得出，化簡(jiǎn)不等式為，求得解集，即可求解．【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè)，∴，∴，∵拋物線與軸交于負(fù)半軸，∴，∴，故①正確，∵二次函數(shù)的圖象過(guò)，∴，∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且．∴對(duì)稱(chēng)軸，即，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，故③錯(cuò)誤；④如圖，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，即函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵，∴若和是關(guān)于的一元二次方程的兩根，且，則，；故④正確；⑤∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，∴，∴，，∴，，∴可化為，即，∵，∴，解得：或，∴關(guān)于的不等式的解集為或不是故⑤錯(cuò)誤故正確的有①②④，共3個(gè)，故選：B二、填空題（每小題3分，滿分21分）11.中國(guó)年水資源總量約為億，人均占有水量相當(dāng)于世界人均的四分之一，居世界第110位．將用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵；科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于或等于10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為；故答案為：．12.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】本題主要考查代數(shù)式有意義的條件，由二次根式及分式、零指數(shù)冪有意義的條件可得：且，求解即可得到答案．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴且，∴且．故答案為：且．13.若圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為_(kāi)_________度．【答案】160【解析】【分析】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．圓錐的底面半徑為，則底面圓的周長(zhǎng)是，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，即側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)是，母線長(zhǎng)為即側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的半徑長(zhǎng)是．根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式得到：，解得．

即側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為160度．故答案為：160．14.如圖，在中，，連接，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，若點(diǎn)N恰為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是關(guān)鍵．連接，證明是等邊三角形，，得到，根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：連接，由作圖可知，垂直平分，∴，∵點(diǎn)N恰為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)為，連接，若，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)，根據(jù)和勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，根據(jù)得到，解方程并進(jìn)一步即可得到點(diǎn)A坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法即可求出實(shí)數(shù)k的值．詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴∵，∴，∴，解得（不合題意，舍去）∴，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴，解得，故答案為：16.等腰三角形紙片中，，將紙片沿直線l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線l交于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，連接，若，，則的面積為_(kāi)_________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，分為銳角和鈍角兩種情況討論求解：①當(dāng)為銳角時(shí)求出，，由折疊得，可求得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，可求出，可求出，根據(jù)可得結(jié)論；②當(dāng)為鈍角時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得出，可求出，，從而可得．【詳解】解：當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，根據(jù)題意得，∵，∴設(shè)，則，∵，∴，即，解得，∴，，由折疊得，∴；∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，∴，即，∴∴，∴；當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，同（1）可得，，∴，同理可得∴；綜上所述，的面積為或．故答案為：或．17.利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作，使，，再以為邊作，使，，過(guò)點(diǎn)，，作弧，記作第1條弧；以為邊，使，，再以為邊作，使，，過(guò)點(diǎn)，，作弧，記作第2條弧……按此規(guī)律，第2025條弧上與原點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別求出，，，……得出，根據(jù)題意得出第2025條弧上與原點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)為，求出，根據(jù)，，，，得出，然后求出結(jié)果即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，，，，……，∵點(diǎn)，，作弧為第1條弧，點(diǎn)，，作弧為第2條弧，……，∴組成第2025條弧，∴第2025條弧上與原點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)為，∴，∵，，，，……，,∴12次操作循環(huán)一周，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，如圖所示：∴，∴，，∴，∴第2025條弧上與原點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．三、解答題（本題共7道大題，共69分）18.（1）計(jì)算：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算二次根式乘法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值，再計(jì)算加減法即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，二次根式的混合計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值的性質(zhì)，求特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握因式分解的方法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值以及特殊角的三角函數(shù)值等考點(diǎn)的運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．19.解方程：【答案】，【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程，將方程移項(xiàng)后運(yùn)用因式分解法解方程即可．【詳解】解：，，，或，∴，20.國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)宣布將2025年定為“體重管理年”，并實(shí)施為期三年的體重管理行動(dòng)．某校響應(yīng)號(hào)召，計(jì)劃組織全校學(xué)生開(kāi)展系列體育活動(dòng)，籌備足球、排球、籃球、羽毛球四個(gè)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的體育社團(tuán)，倡導(dǎo)學(xué)生全員參加，為了解學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，對(duì)其進(jìn)行了“我最喜愛(ài)的球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”問(wèn)卷調(diào)查（每名學(xué)生在這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇且只能選擇一項(xiàng)），將這部分學(xué)生的問(wèn)卷進(jìn)行整理，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：__________；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_(kāi)_________度；（4）若該校有名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有多少人？【答案】（1）24（2）見(jiàn)解析（3）（4）960人【解析】【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的關(guān)聯(lián)，樣本估計(jì)總體等知識(shí)，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵．（1）先求出隨機(jī)抽取部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再求出隨機(jī)抽取部分學(xué)生中最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的百分比即可；（2）求出隨機(jī)抽取部分學(xué)生中最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）用乘以抽取學(xué)生中最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生數(shù)的百分比即可得到答案；（4）用該校學(xué)生總數(shù)乘以抽取學(xué)生中最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的百分比即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】解：隨機(jī)抽取部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為（人），∴，即，故答案為：小問(wèn)2詳解】隨機(jī)抽取部分學(xué)生中最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生數(shù)為：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：【小問(wèn)3詳解】“足球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為，故答案為：【小問(wèn)4詳解】（人）答：估計(jì)該校最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有人．21.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接，，過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，且，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)定理和切線的判定方法，是解題的關(guān)鍵：（1）連接，圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，等邊對(duì)等角，得到，結(jié)合，推出，即可得證；（2）根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，是的直徑，，，，，即，．為的半徑，是的切線．【小問(wèn)2詳解】解：點(diǎn)B是的中點(diǎn)，．，．，．又，．．在中．．即半徑為．22.2025年春晚舞臺(tái)上的機(jī)器人表演，充分演繹了科技與民族文化的完美融合．為滿足學(xué)生的好奇心和求知欲，某校組織科技活動(dòng)“機(jī)器人走進(jìn)校園”，AI熱情瞬間燃爆．校園里一條筆直的“勤學(xué)路”上依次設(shè)置了A，B，C三個(gè)互動(dòng)區(qū)，機(jī)器人甲、乙分別從A，C兩區(qū)同時(shí)出發(fā)開(kāi)始表演，機(jī)器人甲沿“勤學(xué)路”以20米／分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)停留4.5分鐘（與師生熱情互動(dòng)）后，繼續(xù)沿“勤學(xué)路”向C區(qū)勻速行進(jìn)，機(jī)器人乙沿“勤學(xué)路”以10米／分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)接到指令立即勻速返回，結(jié)果兩機(jī)器人同時(shí)到達(dá)C區(qū)．機(jī)器人甲、乙距B區(qū)的距離y（米）與機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列問(wèn)題：（1）A，C兩區(qū)相距__________米，__________；（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（3）機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為多少分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米？（直接寫(xiě)出答案即可）【答案】（1）（2）（3）7分或11分或13分【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用和從函數(shù)圖象獲取信息，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖象可直接進(jìn)行求解A、C兩區(qū)之間的距離，然后再結(jié)合甲的行進(jìn)情況可求解a；（2）求出，由圖象可得，設(shè)直線的解析式為，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）由題意可分三種情況分別進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，A，C兩區(qū)相距為（米），由題意可知，表示甲到達(dá)B區(qū)的時(shí)間，則，故答案為：【小問(wèn)2詳解】由題意可知，點(diǎn)E表示機(jī)器人乙沿“勤學(xué)路”以10米／分的速度勻速到達(dá)了B區(qū)，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得到，，解得：，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為：；【小問(wèn)3詳解】機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為x分時(shí)，甲和乙都未到達(dá)B區(qū)，相距30米，則，解得，即機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米；機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為t分時(shí)，從B點(diǎn)返回，且甲仍在B區(qū)停留期間，相距30米，則，解得，即機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米；機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為n分時(shí)，從B點(diǎn)返回途中，且甲離開(kāi)B區(qū)向C區(qū)前進(jìn)時(shí)，相距30米，當(dāng)時(shí)，甲機(jī)器人距B區(qū)的距離y（米）與機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系為，把，代入得到，，解得：，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為：；則，解得，即機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米；綜上可知，機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間7分或11分或13分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米．23.綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化的過(guò)程中，通過(guò)直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問(wèn)題，讓我們共同體會(huì)幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．（1）【幾何直觀】如圖1，中，，，在內(nèi)部取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；與的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）【類(lèi)比推理】如圖2，在正方形內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；（3）【深度探究】如圖3，矩形中，，，在其內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，若，則__________；（4）【拓展延伸】在矩形中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】（1）相等（或）；相等（或）（2）見(jiàn)解析（3）（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明，即可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同（1）證明，得出，結(jié)合，即可得證；（3）同（2）的方法證明，得出四邊形是矩形，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出共圓，勾股定理求得，，進(jìn)而解，求得，再證明，根據(jù)正弦的定義，得出，即可求解．（4）連接交于點(diǎn)，證明得出，當(dāng)時(shí)，取得最小值，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】；∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵，∴，即又∵，∴∴；故答案為：相等（或）；相等（或）．【小問(wèn)2詳解】證明：∵四邊形是正方形∴，∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴∵，∴即∴∴，∵∴∴∴四邊形是矩形又∵∴四邊形是正方形；【小問(wèn)3詳解】解：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴∵，∴∵四邊形是矩形，，，∴，∴∴∵，∴即∴∴∵∴∴∴四邊形是矩形，如圖，連接交于點(diǎn)，連接∵是的中點(diǎn)，在中，∴∴共圓，∴，∵∴∴，在中，∴∵，在中，∴，∵∴又∴∴，即∴∴∴∴故答案為：．【小問(wèn)4詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴∴∴是等邊三角形，則∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴∴，即又∴，∴∴在上運(yùn)動(dòng)，且∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵∴又∵∴∴當(dāng)時(shí)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)以及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，同弧所對(duì)的圓周角相等，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24.綜合與探究如圖1，在平面直角坐標(biāo)