專題05平行線的性質(zhì)與判定期末復(fù)習(xí)（九大重點(diǎn)題型+過關(guān)

檢:則）

重點(diǎn)題型.......................................................................................1

題型一同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角...............................................................1

題型二平行線的判定............................................................................3

題型三平行公理的應(yīng)用..........................................................................4

題型四平行線的性質(zhì)............................................................................6

題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系...........................................................7

題型六根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)............................................................10

題型七平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用............................................................13

題型八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度............................................................15

題型九根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明..............................................................18

過關(guān)檢測(cè)......................................................................................21

重點(diǎn)題型

題型一同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

例1：如圖，直線EF分別交N/O8的兩邊于點(diǎn)C,D,下列說法不正確的是（）

A.NOC。和NCD8是內(nèi)錯(cuò)角B.NOCD和NNO2是同旁內(nèi)角

C.//O8和/CD8是同旁內(nèi)角D.//CE和NRDE是同位角

變式訓(xùn)練一

1.下列所示的四個(gè)圖形中，N1和22是同位角的是（）

數(shù)學(xué)

2.如圖，直線。截直線仇c,下列說法正確的是（）

A./I與N2是內(nèi)錯(cuò)角B./I與N3是同旁內(nèi)角

C./2與N3是同位角D.N3與N4是同旁內(nèi)角

題型二平行線的判定

下列條件能說明紙條兩邊平行的是（）

B.N2=N3

C.Zl+Z5=180°D.Z3=Z5

變式訓(xùn)練二

1.如圖，點(diǎn)E在8C的延長線上，下列條件不能判定/8〃CZ）的是（）

A.Z3=Z4B.NB=N5C.Z5=ZZ>D.ZD+NZM3=180°

2.如圖，點(diǎn)E在BC的延長線上，對(duì)于給出的四個(gè)條件：@Z1=Z3；②N4=N8；③

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

Z2+Z5=18O°；@ZD+ZBCD=1SO0.其中能判斷〃CD的有（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

題型三平行公理的應(yīng)用

例3:如圖是一個(gè)可折疊的衣架，是地平線，當(dāng)=加時(shí)，PM//AB；

4產(chǎn)/=/尸/8時(shí)，PN1/AB,就可以確定點(diǎn)N,P,M在同一直線上，這樣判定的依據(jù)是

（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

D.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

變式訓(xùn)練三

1.已知直線/及直線/外一點(diǎn)。，在經(jīng)過點(diǎn)。的四條直線。，b,c,d中，與直線/相交的

至少有（）

C.3條D.4條

2.已知三條不同的直線a,b,c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)判斷：①如果。〃6,ale,那

么6_1_。；②如果b〃c,c〃a,那么6〃c；③如果,cJ_a，那么6_Lc；④如果b_La,

da,那么6〃c.其中正確的是.（填寫所有正確的序號(hào)）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

題型四平行線的性質(zhì)

例4：如圖，己知N4BC=38°,0ijZADE=

變式訓(xùn)練四

1.如圖，直線CD〃AB,點(diǎn)。在射線/￡上.若乙4=35。，則/CD/的度數(shù)是（）

55°C.145°D.125°

2.如圖，AB//CD,CH交AB于點(diǎn)0,?！辍銎椒諲/OC,C產(chǎn)平分/OCD,NEOF與

N。尸C互補(bǔ)嗎？為什么？

題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

例5：如圖，若/8IICD,則之間的關(guān)系是（）

A.Za-Z^+Zy=180°B.Za+Z^+Zy=180°

C.Na+N尸+々=270°D.Zee+Z^-Z/=180°

變式訓(xùn)練五

L小盟利用幾何圖形畫出螳螂簡(jiǎn)筆畫，如圖，CF,2G交于點(diǎn)A,FG//DE//BC,

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

NE4G=40。，4c平分/24D,若設(shè)N4DE=x。，ZG=y°,則x和了之間的關(guān)系是（）

A.x+2y=180B.x-2y=60C.x—y=80D.x+y=150

2.如圖，AB//CD//EF,x,y,z表示圖中三個(gè)角的角度.

（1）x,了與z三者之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）若y-x=50。，x與z兩者之間的數(shù)量關(guān)系為.

題型六根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

例6：如圖1是一款平板桌面支架，其示意圖如圖2所示，折線4-8-C-D-E是固定支

架，且平板/G〃8C,DE//AM,NFED=58°,則/4BC的度數(shù)為（）

A.58°B.116°C.122°D.148°

變式訓(xùn)練六

1.如圖，直線加〃“，一把含30。角的直角三角尺按所示位置擺放，若4=35。，則/2的

度數(shù)是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.20°B.25°C.35°D.40°

2.如圖，將一張長方形紙片沿環(huán)折疊，點(diǎn)DC分別落在點(diǎn)。'，C處，若

/1=58。，則N3FC'的度數(shù)是.

題型七平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

例7：如圖，水平放置的長方體容器，容器里裝有某溶液，光線CE射向容器液面折射

后光線由EC方向變成方向.若NECB=45°,NCDF=55。,則/EC。的度數(shù)為（

C.170°D.175°

變式訓(xùn)練七

1.為響應(yīng)國家新能源建設(shè).我省某市公交站亭裝上了太陽能電池板（圖1）.如圖2,電池

板N2與水平線的夾角為30。，電池板CD與水平線的夾角為40。，要使需將電池

板CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0。＜戊＜90。）.則a的度數(shù)為.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

2.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)、會(huì)發(fā)生折射.由

于折射率相同，所以在水中的平行光線，在空氣中也是平行的.如圖，水中兩條光線是平行

的，若/2-/1=60。，則N3與24的度數(shù)和是

題型八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

例8：如圖，在三角形N3C中，點(diǎn)E,尸分別在邊N3,AC±,連接C￡,EF,點(diǎn)、D在CE

上，連接。尸，NCEB+NCDF=18Q°,ZDFE=NB,若NAFE=7Q。，求//C2的度數(shù).

變式訓(xùn)練八

1.請(qǐng)將解答過程填寫完整：

如圖，EF//AD,NR4c=70。，若N1=N2,求N4G。的度數(shù).

Z2=Z3().

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

Z1=Z2,

.-.Z1=（等量代換）.

.-.ABII.

+/A4C=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

VABAC=70°（已知），

ZAGD=（等式的性質(zhì)）.

2.如圖，點(diǎn)E,尸在直線CL1上，點(diǎn)G在直線上，AE±BC,FG±BC,Zl=Z2,

Z￡>=Z3+60°,ZCBD=70°.求/C的度數(shù).

題型九根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明

例9：已知：如圖，AD1BC,EGLBC,,垂足分別為D,G,zi=ZE.

證明：SBC,EG1BC(已知),

ZADC=ZEGC=90°().

AD//().

ZX=(),

NE=().

又=(已知)，

??./=N（）,

即/。為/A4c的平分線.

變式訓(xùn)練九

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

1.如圖，BM平分/4BC,CN平分NBCD,若BM〃CN,則A8和CL?是怎樣的位置關(guān)

系，并說明理由.

2.如圖，已知。、E、尸分別是線段/C、AB、8c上的點(diǎn)，DF//AB,ZDFE=ZA.

⑵若把原題設(shè)中“。尸〃與結(jié)論"NEF3=NC”互換，所得命題是真命題嗎？請(qǐng)說明理

由.

——過關(guān)檢測(cè)——

一、單選題

1.如圖所示是丁丁利用直尺和三角尺過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其直接理

A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D.垂直于同一直線的兩條直線平行

2.如圖，直線斯分別交2/03的兩邊于點(diǎn)C,D,則//CE和NADE的位置關(guān)系是

()

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.內(nèi)錯(cuò)角B,對(duì)頂角C.同旁內(nèi)角D.同位角

3.如圖，AB//CD,若N2=55°,則N1的度數(shù)為（）

A.35°B.125°C.50°D.55°

4.如圖是一個(gè)可折疊的衣架，48是地平線，當(dāng)N1=N2時(shí)，PM〃AB；/3=/4時(shí),

PN//AB,就可確定點(diǎn)N,P,M在同一條直線上，則正確的依據(jù)是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)

C.兩點(diǎn)確定一條直線D.過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條

直線平行

5.如圖，點(diǎn)E在直線。尸上，點(diǎn)8在直線/C上，若NAGB=NEHF,NC=ND,則44與

NF的大小關(guān)系是（）

A.ZA+ZF=90°B.ZA=ZFC.ZA<ZFD.NA>NF

6.下列圖形中，已知N1=N2,則能判定的是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

7.隨著人們對(duì)環(huán)境的日益重視，騎行單車這種“低碳”出行方式已融入人們的日常生活，如

圖是某單車車架的示意圖，線段CE,DE分別為前叉、下管和立管（點(diǎn)。在上）,

所為后下叉.已知ADHEF,NBCE=67。，NCEk=133。，則-045的度數(shù)

8.如圖，AB//CD,用含D,02,￡）3的式子表示N4,則N4的值為（）

C.Z1+Z3-Z2D.Z2-Z1+Z3-18O0

二、填空題

9.如圖，直線0,6所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的

度數(shù)？小明的做法是：如圖，畫PC〃a,量出直線b與尸C的夾角N1的度數(shù)，即直線a,b

所成角的度數(shù)，請(qǐng)寫出這種做法的理由.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

使得則可以添加的條件是.（寫出一個(gè)即

可）.

EF||CD,則N2與斯的位置關(guān)系是

貝！］Z2+Z3-Z1=

13.將一個(gè)直角三角尺與兩邊平行的紙條如圖放置，則下列結(jié)論正確的是（填序

號(hào)）.

①Nl=N2；②N4+/5=180。；③/l+N4=90。；④/4+90°=/3.

三、解答題

14.如下圖，已知三角形N3C,點(diǎn)P在邊3c上.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

⑴過點(diǎn)尸畫48的平行線交NC于點(diǎn)T-,

(2)過點(diǎn)C畫〃M；

⑶直線尸TMN(填位置關(guān)系).

15.如圖，點(diǎn)aB,E在一條直線上.在空格上填寫推理的依據(jù).

(l)vZ1=Z3(已知)，.?.43〃DC()

(2):NDAE=NCBE(已知)，AD〃BC()；

(3)vZCDA+ZDAB^1SO°(已知)，：.AB"DC()

16.如圖，直線AB〃CD,直線48、C。被直線E尸所截，EG平濟(jì)NBEF,尸G平分

ZDFE,

(1)若44斯=50。，求NEFG的度數(shù)；

⑵判斷/GE尸+/GEE的結(jié)果，并說明理由.

17.推理填空：

如圖，AD//BC,AE//DC,點(diǎn)E在線段8C上，點(diǎn)/在射線A4上，若NB=/C,則ND

平分NE4E,請(qǐng)說明理由.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

解：理由如下:

AD//BC,

：.ADAE=AAEB.（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

又；AE//DC,

■■■AAEB=Z,()

；.NDAE=ZC.（等量代換）

又4=NC,

???NDAE=.

AD//BC,

■■■ZFAD=Z_,（兩直線平行，同位角相等）

???ZFAD=Z.（等量代換）

:.AD平分NFAE.

18.在現(xiàn)代化的智能工廠中，機(jī)械臂的精準(zhǔn)操作依賴于精確的方向控制.如圖所示，有兩條

平行的機(jī)械軌道與CD,即N8〃CD,將機(jī)械臂與軌道的接觸點(diǎn)記為M,機(jī)械臂與

軌道C。的接觸點(diǎn)記為N,為了實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的操作任務(wù)，通過關(guān)節(jié)尸和關(guān)節(jié)。來調(diào)節(jié)三個(gè)機(jī)械

臂加、尸。和QV的位置，在實(shí)際運(yùn)行過程中，為確保穩(wěn)定，二個(gè)機(jī)械臂尸〃、尸。和。N

不共線.

AB

CD

備用圖

⑵如圖2所示，當(dāng)NMWP=30。，ZQND=45°,N"尸Q=tz時(shí)，ZPQN=（用含。

的式子表示）

⑶當(dāng)//〃？=4（0。</<90。），/0初=。（0。<6<180。）時(shí)，直接寫出NMP0與NP0N的

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

數(shù)量關(guān)系.（用含孔。的式子表示）

專題05平行線的性質(zhì)與判定期末復(fù)習(xí)（九大重點(diǎn)題型+過關(guān)

檢測(cè)）

重點(diǎn)題型.......................................................................................1

題型一同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角...............................................................1

題型二平行線的判定............................................................................3

題型三平行公理的應(yīng)用..........................................................................4

題型四平行線的性質(zhì)............................................................................6

題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系...........................................................7

題型六根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)............................................................10

題型七平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用............................................................13

題型八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度............................................................15

題型九根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明..............................................................18

過關(guān)檢測(cè)......................................................................................21

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

——重點(diǎn)題型——

題型一同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

例1：如圖，直線EF分別交的兩邊于點(diǎn)C,D,下列說法不正確的是（）

A.NOC。和是內(nèi)錯(cuò)角B.和是同旁內(nèi)角

C.//O8和/CD8是同旁內(nèi)角D.-4CE和NADE是同位角

【答案】C

【分析】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的定義，兩條直線被第三條直線所截形

成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角

叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在

第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；兩條直線被第三條直線所截形成的

角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做

同旁內(nèi)角；據(jù)此分別進(jìn)行分析可得答案.

【詳解】解：A、/OCD和/CD3是內(nèi)錯(cuò)角，原說法正確，不符合題意；

B、NOC。和是同旁內(nèi)角，原說法正確，不符合題意；

C、/NO8和/CDB是同位角，原說法錯(cuò)誤，符合題意；

D、N/CE和是同位角，原說法正確，不符合題意；

故選：C.

變式訓(xùn)練一

1.下列所示的四個(gè)圖形中，N1和22是同位角的是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】C

【分析】本題考查了同位角的定義，判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同

側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角.

【詳解】解圖①、②、④中，N1和22在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方，是同位

角；

圖③中，/I和N2的兩條邊都不在同一條直線上，不是同位角.

故選：C.

2.如圖，直線。截直線4c,下列說法正確的是（）

A.Z1與22是內(nèi)錯(cuò)角B.N1與N3是同旁內(nèi)角

C.N2與/3是同位角D.N3與24是同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】此題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角定義,

對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】解：A./I與N2是同旁內(nèi)角，說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.N1與N3是鄰補(bǔ)角，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C.22與N3是內(nèi)錯(cuò)角，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D.N3與N4是同旁內(nèi)角，原說法正確，符合題意.

故選：D.

題型二平行線的判定

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

例2：將一張紙條按如圖所示方式折疊，下列條件能說明紙條兩邊平行的是（）

A./2+/4=90°B./2=/3

C.Zl+Z5=180°D./3=/5

【答案】C

【分析】本題主要考查平行線的判定，熟悉平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵根據(jù)平行線的

判定定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A.由/2+/4=90。不能得到對(duì)邊平行，故不正確；

B.由/2=/3不能得到對(duì)邊平行，故不正確；

C,由21+N5=18O。，N3+N5=180。可得Zl=N3,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得到

對(duì)邊平行，故正確；

D.由/3=/5不能得到對(duì)邊平行，故不正確；

故選：C.

變式訓(xùn)練二

1.如圖，點(diǎn)E在8c的延長線上，下列條件不能判定43〃CD的是（）

A.N3=N4B.Z3=Z5C./5=ZDD.ZD+ZDAB=1SO°

【答案】C

【分析】本題考查的是平行線的判定.根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即

可.

【詳解】解：A、/3=/4,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定43〃CD,故此選項(xiàng)不合

題意；

B、NB=N5,根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定故此選項(xiàng)不合題意；

C、/5=/D,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定無法判定N3〃CD,故此

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

選項(xiàng)符合題意；

D、ND+ZD48=180。，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定48〃CZ）,故此選項(xiàng)不合題

忌；

故選：C.

2.如圖，點(diǎn)E在2C的延長線上，對(duì)于給出的四個(gè)條件：①/1=/3；②N4=NB；（3）

Z2+Z5=18O°；（4）ZD+ZBCD=180°.其中能判斷48〃CD的有（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可.解答本題的關(guān)鍵是

明確平行線的判定方法.

【詳解】解：,??N1=N3,

.-.AD//BC,不能得到A8〃CD,故①不符合題意；

QN4=Z8,

AB//CD,故②符合題意；

VZ2+Z5=180°,乙4GD+N5=180°,

Z2=ZAGD,

：.AB//CD,故③符合題意；

ZD+ZBCD=180°,

.:2O〃8C,不能得到故④不符合題意；

故選：B.

題型三平行公理的應(yīng)用

例3:如圖是一個(gè)可折疊的衣架，是地平線，當(dāng)="時(shí)，PM〃AB；

4尸/=/尸/8時(shí)，PN//AB,就可以確定點(diǎn)N,P,M在同一直線上，這樣判定的依據(jù)是

（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

N7/Z//////P^8>^

A1----------------、B

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

D.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

【答案】C

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，平行公理及推理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題.

根據(jù)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行解決問題即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知當(dāng)=時(shí)，PM//AB-,=時(shí)，PN//AB,

就可以確定點(diǎn)N,P,M在同一直線上；

依據(jù)是過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；

故選：C

變式訓(xùn)練三

1.已知直線/及直線/外一點(diǎn)。，在經(jīng)過點(diǎn)。的四條直線。，b,c,d中，與直線/相交的

至少有（）

【答案】C

【分析】本題考查平行公理，熟練掌握平行公理是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，即可求解；

【詳解】解：根據(jù)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行,

那么根據(jù)圖可得：至少有三條直線和直線/相交；

故選：C

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

2.已知三條不同的直線a,6,c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)判斷：①如果。〃b,ale,那

么6_Lc；②如果6〃c,c〃a,那么6〃c；③如果6_La,c_La,那么bJLc；④如果6_La,

cla,那么6〃c.其中正確的是.（填寫所有正確的序號(hào)）

【答案】①②④

【分析】本題考查兩直線的位置關(guān)系，平行公理，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條

直線平行，平行于同一直線的兩條直線平行.根據(jù)兩直線的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】①如果?！?,a±c,那么b_Lc,正確；

②如果b〃c,c//a,那么b〃c,正確；

③如果b_La,da,那么6_Lc,錯(cuò)誤,應(yīng)該是6〃c；

④如果6，。，cla,那么6〃c,正確.

故答案為：①②④.

題型四平行線的性質(zhì)

例4：如圖，已知。E〃BC,ZABC=38°,貝°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)“兩直線平行同位角相等"，即可求解.

【詳解】解：,??〃￡〃2C,NABC=38°,

?-?ZADE=ZABC=38°,

故答案為：38.

變式訓(xùn)練四

1.如圖，直線CD〃/8,點(diǎn)。在射線/￡上.若乙4=35。，則/CD/的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解即可.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【詳解】???0）〃/8,乙4=35。

;.NCD4=ZA=35。.

故選：A.

2.如圖，AB//CD,CH交AB于點(diǎn)、O,OE平分//OC,CF平分/OCD,NEOF與

z。尸C互補(bǔ)嗎？為什么？

【答案】NEO尸與NOFC互補(bǔ)，理由見解析

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.由4B〃C力得N40C=NDC0,結(jié)合角平分線的定義可證NEOC=NOCF,從而

OE//CF,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得結(jié)論..

【詳解】解：NEOA與NO尸C互補(bǔ)，理由如下：

■：AB\\CD,

ZAOC=ZDCO,

,.■。￡平分4/。。，

ZEOC=ZAOE=-ZAOC,

2

同理，ZOCF^-ZDCO,

2

ZEOC=ZOCF,

:.OE\\CF,

ZEOF+ZOFC=U0°.

題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

例5：如圖，若/引|。，則尸之間的關(guān)系是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.Z?-Z^+Z/=180°B,Na+N￡+N7=180°

C.Z?+Z^+Zy=270°D.Z?+Z^-Z/=180°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)E作

EF\\CD,則跖〃N3,根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作所IICD,

?-?EF//AB,

?-.Za+ZAEF=180°,々=NDEF,

■:AAEF=A/3-ADEF,

:.LAEF=2/3-4，

.-.Z?+Z^-Z/=180°,

故選：D.

變式訓(xùn)練五

L小盟利用幾何圖形畫出螳螂簡(jiǎn)筆畫，如圖，CF,BG交于點(diǎn)A,FG//DE//BC,

NE4G=40。，4c平分/R4D,若設(shè)/4DE=x。，ZG=y°,則x和了之間的關(guān)系是（）

A,x+2y=180B,x-2y=60C.x-y=80D.x+y=150

【答案】C

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，若兩直線平行，則同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)A作4〃〃。石，由平行公理得

廠G〃。石，根據(jù)平行線的性質(zhì)得乙"Q+/4D￡=180。，ZGAM=ZG,由角平分線

的定義得=由=+得到含有工和歹的等式，化簡(jiǎn)即

可得到x和歹之間的關(guān)系.

【詳解】解：如圖，

FG

過點(diǎn)A作4M〃/)￡,

???FG//DE,

：.AM//FG//DE,

???AM//DE,

NMAD+NADE=180。,

???/ADE=x0,

ZMAD=180°-/ADE=180°-x°,

,/AM//FG,ZG=y°f

ZGAM=ZG=y°,

???NFAG=40°,

NBAC=NFAG=40。,

???/C平分NB/O,

ZBAD=2ZBAC=S0°,

NGAD=180。—/BAD=180°-80°=100。，

???/GAD=ZGAM+/MAD,

y+(180-x)=100,

即％—y=80.

故選：C.

2.如圖，AB//CD//EF,x,y,z表示圖中三個(gè)角的角度.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

（1）X,了與Z三者之間的數(shù)量關(guān)系為;

（2）若y-x=50。，x與z兩者之間的數(shù)量關(guān)系為,

【答案】x+y-z=180。z=2x-130°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到x==z+ZCEF=lSO°-y,推出

x+y-z=lSO°,即可得到答案；

(2)由y-x=50。得到y(tǒng)=x+50。，得出z=2x-130。，即可得到答案.

【詳解】解：(1)???AB//CD//EF,

:.x=AAEF=z+ACEF,ACEF=\^0-y,

x=z+180°-y,

x+^-z=180°,

故答案為：x+歹-Z=18O。；

(2),/j?-x=50°,

y=x+50°,

x+%+50°—z—\80°,

z—2x-130°,

故答案為：z=2x-130。.

題型六根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

例6：如圖1是一款平板桌面支架，其示意圖如圖2所示，折線4-B-C-D-E是固定支

架，且平板/G〃2C,DE//AM,NFED=58°,則/4BC的度數(shù)為（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

圖1圖2

A.58°B.116°C.122°D.148°

【答案】D

【分析】過點(diǎn)。作交尸G的延長線于點(diǎn)。,過點(diǎn)3作利用平行線的判

定和性質(zhì)，解答即可.

本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。?！?。石，交廠G的延長線于點(diǎn)。,過點(diǎn)5作3N||D￡,

,:CQ〃DE,NFED=58。,

??.ZCQF=/FED=58°,

???FG〃BC,

ABCQ=ZCQF=58°,

vCQ//DE,BN\\DE,

：.BN//CQ,

：.ZCBN=ZBCQ=5S°,

-DE//AM,BN\\DE,

BN\\AM,

??.NABN+NBAK='800,

???AB1AM,

：.NBAK=90。,

ZABN=90°,

???/ABC=/ABN+/CBN=148°,

故選：D.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

變式訓(xùn)練六

1.如圖，直線加〃—一把含30。角的直角三角尺按所示位置擺放，若Nl=35。，則/2的

度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知易得NDCB=125。,然后利用平行線的性質(zhì)

可得ZABC=55°,從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：如圖：

???Zl=35°,Z4=90°,

.■■ZDCB=Z1+Z4=125°,

:直線m//n,

：.AABC=180°-ABCD=55°,

???Z3=30°,

：.N2=NABC-N3=25°,

故選：B.

2.如圖，將一張長方形紙片沿防折疊，點(diǎn)DC分別落在點(diǎn)。'，C處，若

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】58。/58度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：AD//BC,D'E//FC,

Z2=Zl=58"BFC'=N2=58°；

故答案為：58。.

題型七平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

例7：如圖，水平放置的長方體容器，容器里裝有某溶液，光線CE射向容器液面N5,折射

后光線由EC方向變成CD方向.若/ECB=45°,NCDF=55。,則/EC。的度數(shù)為（）

C.170°D.175°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBCD+ZCDF=180°,求出ZBCD=125°,結(jié)合

ZECD=NECB+ZBCD,即可得到答案.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【詳解】解：由題意得8C〃DR,

.?.Z5CD+ZCZ>F=180°,

ZBCD=180°-ZCDF=180°-55°=125°,

ZECD=ZECB+/BCD=45°+125°=170°,

故選：C.

變式訓(xùn)練七

1.為響應(yīng)國家新能源建設(shè).我省某市公交站亭裝上了太陽能電池板（圖1）.如圖2,電池

板48與水平線的夾角為30。，電池板CD與水平線的夾角為40。，要使48〃CD,需將電池

板逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90。）.則a的度數(shù)為.

圖1

【答案】10。/10度

【分析】本題考查平行線的知識(shí).由平行線的性質(zhì)，得NEOD=NEOB=30°,則

a=ZDOD'=ZEO'D-ZEO'D',計(jì)算即可.

【詳解】M："CD'/ZAB,

?,AEO'D'=NEOB=30°,

?.a=ZDOD'=ZEO'D-ZEO'D'=40°-30°=10°.

故答案為：10。.

2.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)、會(huì)發(fā)生折射.由

于折射率相同，所以在水中的平行光線，在空氣中也是平行的.如圖，水中兩條光線是平行

的，若/2—/1=60。，貝IJN3與/4的度數(shù)和是

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】120°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得Nl=N3,N2+N4=180。，結(jié)合N2-Nl=60。，計(jì)算即可,

本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，得/l=/3,/2+N4=180。，

???Z2-Zl=60°,

.-?Z2=60°+Z3,

.-.60°+Z3+Z4=180°

.?.Z3+Z4=120°,

故答案為：120。.

題型八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

例8：如圖，在三角形N8C中，點(diǎn)E,尸分別在邊N8,NC上，連接C￡,EF,點(diǎn)、D在CE

上，連接。尸，ZCEB+ZCDF=180°,ZDFE=NB,若NAFE="。,求的度數(shù).

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

延長交2c于點(diǎn)G,由/CE4+/CE8=180。，/CE2+/CO尸=180。得到

ZCEA=ZCDF,推出尸G〃/B,得至I]/CG歹=N8,推出NE尸G=NCGF,得到E尸〃2C,

即可得到ZACB=ZAFE=70°.

【詳解】解：如圖，延長ED交8c于點(diǎn)G,

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A

J

CFL________m頭?.?ACEA+/CEB=180。，NCEB+NCDF=180。,

/CEA=/CDF,

FGHAB,

ZCGF=/B,

ZDFE=ZB,

ZEFG=ZCGF,

:.EF\\BCf

AACB=ZAFE=70°.

變式訓(xùn)練八

L請(qǐng)將解答過程填寫完整：

如圖，EF//AD,NBAC=70°,若N1=N2,求乙4G。的度數(shù).

BEA

解：VEF//AD（已知），

Z2=Z3（____）.

Nl=N2,

.??/I二_____（等量代換）.

.:ABII____.

____+/R4c=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

VABAC=70°（已知），

ZAGD=_____（等式的性質(zhì)）.

【答案】見解析

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì).根據(jù)題意，利用平行線的判定和性質(zhì)填空即

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

可.

【詳解】W：-.-EF//AD（已知）

AZ2=Z3（兩直線平行，同位角相等），

???Zl=Z2（已知），

.?./1=/3（等量代換），

AB//DG.

:.ZAGD+ZBAC=1SO°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

?;NBAC=7Q。（已知）

:.ZAGD=UO°（等式的性質(zhì)）.

2.如圖，點(diǎn)￡,尸在直線C。上，點(diǎn)G在直線N8上，AELBC,FG1BC,Zl=Z2,

ZD=Z3+60°,ZCBD=70°.求/C的度數(shù).

【答案】NC=25。

【分析】本題考查了運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)求角的度數(shù)，先由垂直的定義得

ZAMC=ZGNC=90°.所以/E〃GF.得N2=NN,因?yàn)镹1=N2,貝=運(yùn)用內(nèi)錯(cuò)

角相等,兩直線平行,得AB//CD，則ND+ZCBD+N3=180。，ZC=Z3.再把ZD=N3+60°,

/CBD=70。代入進(jìn)行計(jì)算，得/3=25。，即可作答.

【詳解】解：如圖，設(shè)8c交/E于點(diǎn)交尸G于點(diǎn)N.

NAMC=ZGNC=90°.

?-.AE//GF.

???N2=NA.

又???Nl=N2,

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

???N1=NN.

??.AB//CD.

ZD+ZC5D+Z3=180°,ZC=Z3.

vZZ>=Z3+60°,ZCBD=70°,

Z3+60°+70°+Z3=180°

.??2/3=180。—130。

Z3=25°.

ZC=25°.

題型九根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明

例9：已知：如圖，AD1BC,EG1BC,,垂足分別為2G,Z1=Z￡.

求證：為/A4C的平分線.

證明：?/ADLBC,EGLBC(已知),

ZADC=ZEGC=90°().

/.AD//().

ZX=(),

NE=().

又???N1=NE(已知)，

=/(),

即/。為/A4c的平分線.

【答案】垂直的定義；EG；同位角相等；兩直線平行；Z2；兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等；

N3；兩直線平行；同位角相等；2；3；等量代換

【分析】本題考查了垂直的定義，平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)垂直定義和平行線的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】證明：???/D，3C,EG1BC(已