第4節(jié)隨機事件、頻率與概率

考試要求1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，理解概率的意義以

及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運算.

■知識診斷自測

【知識梳理】

1.樣本空間和隨機事件

⑴樣本點和有限樣本空間

①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點,常用o表示.

全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用。表示.

②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有幾個可能結(jié)果02,…，COn,則稱樣本

空間。={01,①2,…，工}為有限樣本空間.

（2）隨機事件

①定義：將樣本空間。的壬集稱為隨機事件，簡稱事件.

②表示：大寫字母A,B,C,….

③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

2.事件的關(guān)系

定義表示法圖示

包含若事件A發(fā)生，事件3一定發(fā)生,稱事

或AQB）

關(guān)系件B包含事件A（或事件A包含于事件B）o

互斥如果事件A與事件B不能同時發(fā)生,稱若AHB=0,

事件事件A與事件B互斥（或互不相容）則A與3互斥

如果事件A和事件B在任何一次試驗中若ACiB=0,

對立

有且僅有一個發(fā)生,稱事件A與事件3且AU5=0,

事件,

互為對立，事件A的對立事件記為A則A與3對立

3.事件的運算

定義表示法圖示

并事件事件A與事件3至少有一個發(fā)生，稱這（或A+B）

個事件為事件A與事件B的并事件(或和

事件)

事件A與事件B同時發(fā)生，稱這樣一個

交事件事件為事件A與事件B的交事件(或積事AHW或AB)

件)

4.概率與頻率

⑴頻率的穩(wěn)定性：一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，

即事件A發(fā)生的頻率以A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這

個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率%(A)估計概率P(A).

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件

(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.

(2)事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組

成的集合的補集.

2.概率加法公式的推廣

當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，

即P(AiUA2U-UA?)=P(AI)+P(A2)H------PP(4).

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()

(2)在大量的重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()

(3)若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A),則OWP(A)WL()

(4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中

獎的概率.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

解析隨機事件的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，故(1)錯誤.(4)中，

甲中獎的概率與乙中獎的概率相同.

2.(必修二P235Tl改編)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次

中靶”互為對立的是（）

A.至多一次中靶

B.兩次都中靶

C.只有一次中靶

D.兩次都沒有中靶

答案D

解析連續(xù)射擊兩次中靶的情況如下：①兩次都中靶；②只有一次中靶；③兩次

都沒有中靶，故選D.

3.（必修二P235T2改編）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件

A,“向上的點數(shù)是1或5”為事件3,則（）

A.AU3表示向上的點數(shù)是1或3或5

B.A=B

C.AUB表示向上的點數(shù)是1或3

D/AB表示向上的點數(shù)是1或5

答案A

解析設(shè)4={1,3},B={1,5},

則AnB={l},AUB={1,3,5）,

：.A^B,AA3表示向上的點數(shù)是1,AUB表示向上的點數(shù)為1或3或5.

4.（必修二P257T1改編）把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲1000次，其中有496次

正面向上，504次反面向上，則擲一次硬幣正面向上的概率為.

答案0.5

解析擲一次硬幣正面向上的概率為05

■考點

考點一隨機事件與樣本空間

例1（1）在1,2,3,…，10這十個數(shù)字中，任取三個不同的數(shù)字，那么“這三個

數(shù)字的和大于5”這一事件是.（填“必然事件”或“不可能事件”）

答案必然事件

解析從1,2,3,…，10這十個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，那么這三個數(shù)字

和的最小值為1+2+3=6,

??.事件“這三個數(shù)字的和大于5”一定會發(fā)生，

由必然事件的定義可以得知該事件是必然事件.

(2)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現(xiàn)在有放回地隨機摸3次，每次

摸取一個，觀察摸出球的顏色，則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

答案D

解析因為是有放回地隨機摸3次，所以隨機試驗的樣本空間為。={(紅，紅，

紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，黑)，

(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)}.共8個.

感悟提升確定樣本空間的方法

(1)必須明確事件發(fā)生的條件.

(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的,

按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏.

訓(xùn)練1(1)下列說法錯誤的是()

A.任一事件的概率總在［0,1］內(nèi)

B.不可能事件的概率一定為0

C.必然事件的概率一定為1

D.概率是隨機的，在試驗前不能確定

答案D

解析任一事件的概率總在［0,1］內(nèi)，不可能事件的概率為0,必然事件的概率為

1,概率是客觀存在的，是一個確定值.

(2)同時拋擲兩枚完全相同的骰子，用(x,y)表示結(jié)果，記A為“所得點數(shù)之和小

于5”，則事件A包含的樣本點的個數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

答案D

解析事件A包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個樣本

點.

考點二事件的關(guān)系與運算

例2(1)從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對

立的兩個事件的是（）

A.至少有一個紅球；至少有一個白球

B.恰有一個紅球；都是白球

C.至少有一個紅球；都是白球

D.至多有一個紅球；都是紅球

答案B

解析對于A,“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個

白球”可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；

對于B,“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，

而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對立事件；

對于C,“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與'‘都是白球”顯然是對

立事件；

對于D,“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事

件.

（2）（多選）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A=｛兩彈

都擊中飛機｝,事件3=｛兩彈都沒擊中飛機｝,事件C=｛恰有一彈擊中飛機｝,事

件。=｛至少有一彈擊中飛機｝,則下列關(guān)系正確的是（）

A.AAD=B.BAD=

C.AUC=DD.AUB=BUD

答案BC

解析“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中、第二枚沒中或第一枚沒中、第二枚

擊中，

“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都

擊中，

故AADW,BHD=,AUC=D,

感悟提升1.準確把握互斥事件與對立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同時發(fā)

生的事件，但也可以同時不發(fā)生；（2）對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的

兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.

2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥

事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一

定是互斥事件.

訓(xùn)I練2(1)(多選)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個除顏色外完全相同的小球，從

中取出兩個球，事件A=”取出的兩個球同色”，B="取出的兩個球中至少有一

個黃球"，C="取出的兩個球至少有一個白球”，。="取出的兩個球不同色”，

E=“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷正確的是()

A.A與D為對立事件B.B與C是互斥事件

C.C與E是對立事件D.P(CUE)=1

答案AD

解析當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時，3與。都發(fā)生，B不正確；

當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，C不正確；

顯然A與。是對立事件，A正確；

CUE為必然事件，P(CUE)=1,D正確.

(2)(多選)下列說法正確的是()

A.對立事件一定是互斥事件

B.若A,3為兩個互斥事件，則尸(AU為uPlQ+P。)

C.若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P0)+P(O=1

D.若事件A,3滿足尸(A)+P(5)=l,則A,3互為對立事件

答案AB

解析對于C,概率的加法公式可以適合多個互斥事件的和事件，但和事件不一

定是必然事件，錯誤；

對于D,對立事件和的概率公式逆用不正確，例如兩種沒有聯(lián)系的事件，概率和

滿足P(A)+P(B)=1,但A,B不對立,故D錯誤.

考點三頻率與概率

例3如圖，A地到火車站共有兩條路徑Li和Li,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達

火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

4

所用時間(分鐘)10-2020?3030-4040?5050?60

選擇Li的人數(shù)612181212

選擇工2的人數(shù)0416164

⑴試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；

⑵分別求通過路徑Li和山所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；

(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能

在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

解(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16

+4=44(人)，

44

???用頻率估計相應(yīng)的概率為2=訴=0.44.

⑵選擇L的有60人，選擇心的有40人，

故由調(diào)查結(jié)果得頻率為

所用時間(分鐘)10-2020?3030?4040?5050?60

Li的頻率0.10.20.30.20.2

Li的頻率00.10.40.40.1

(3)設(shè)Ai,A2分別表示甲選擇L和心時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；Bi,比分別

表示乙選擇Li和上時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.

由(2)知P(Ai)=0.1+0.2+0.3=0.6,

P(A2)=0.1+0.4=0.5,

VP(AI)>P(A2),I.甲應(yīng)選擇Li.

同理，尸(30=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

??.乙應(yīng)選擇L2.

感悟提升1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率

是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻

率來作為隨機事件概率的估計值.

2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率

會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.

訓(xùn)練3某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售

價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往

年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于

25℃,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如

果最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前

三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的

進貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.

解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25℃,由

表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25。。的頻率為2+&36=06

所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為06

(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，

若最高氣溫低于20℃,

則Y=200X6+(450-200)X2—450X4=-100；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),

則y=300X6+(450—300)X2—450X4=300；

若最高氣溫不低于25℃,

則7=450X(6-4)=900,

所以，利潤y的所有可能值為一100,300,900.

y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20℃,

由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20。。的頻率為36+2：［7+4=0&

因此y大于零的概率的估計值為08

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

L下列事件中不可能事件或必然事件的個數(shù)是()

①2025年8月18日，北京市不下雨；

②在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰；

③從標有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽；

④xGR,則國的值不小于0.

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析①為隨機事件，②為不可能事件，③為隨機事件，④為必然事件.

2.(2024.三明調(diào)研)一個不透明的袋子中裝有8個紅球、2個白球，除顏色外，球的

大小、質(zhì)地完全相同，采用不放回的方式從中摸出3個球.下列事件為不可能事件

的是()

A.3個都是白球B.3個都是紅球

C.至少1個紅球D.至多2個白球

答案A

解析從8個紅球、2個白球中采用不放回的方式從中摸出3個白球，不可能發(fā)

生，故選A.

3.(多選)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A="只有一次中靶"，B="兩次都

中靶”，則下列結(jié)論正確的是()

A.AQB

B.AnB=0

C.AUB="至少一次中靶”

D.A與B互為對立事件

答案BC

解析事件A="只有一次中靶"，B="兩次都中靶”，所以A,3是互斥但不

是對立事件，所以A,D錯誤，B正確；

AUB="至少一次中靶”，C正確.

4.已知隨機事件A和3互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=()

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

答案A

解析???隨機事件A和3互斥，且

P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,

P(A)=P(AU5)-P(B)=0.7—0.2=0.5,

P(A)=1—P(A)=1—0.5=0.5.

5.拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為

事件3,則()

A.AG3

B.A=B

C.A+B表示向上的點數(shù)是1或2或3

D.A3表示向上的點數(shù)是1或2或3

答案C

解析由題意，可知A={1,2},B={2,3},則A3={2},A+B=[l,2,3),

...A+3表示向上的點數(shù)是1或2或3.

6.(多選)不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張

卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有()

A.2張卡片不全為紅色

B.2張卡片中恰有一張為紅色

C.2張卡片中至少有一張紅色

D.2張卡片都為綠色

答案BD

解析C中”2張卡片中至少一張為紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”，二者

并非互斥；

A中”2張卡片不全為紅色”與“2張卡片都為紅色”是對立事件.B,D正確.

7.(多選)(2024.太原段考)下列說法正確的是()

A.若事件A與3互斥，則AUB是必然事件

B.《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國四大名著.若在這四大名著

中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進行閱讀，設(shè)事件E="甲取到《紅樓夢》”，

事件F="乙取到《紅樓夢》”，則E與R是互斥但不對立事件

C.擲一枚骰子，記錄其向上的點數(shù)，記事件A="向上的點數(shù)不大于5”，事件3

“向上的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則5GA

D.10個產(chǎn)品中有2個次品，從中抽取一個產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空間含有2個

樣本點

答案BCD

解析對于A,事件A與3互斥時，AU5不一定是必然事件，故A錯誤；

對于B,事件E與R不會同時發(fā)生，所以E與R是互斥事件，但除了事件E與歹

之外還有“丙取到《紅樓夢》”“丁取到《紅樓夢》"，所以E與R不是對立事件，

故E與R是互斥但不對立事件，故B正確；

對于C,事件A={1,2,3,4,5},事件3={2,3,5),

所以3包含于A,故C正確；

對于D,樣本空間。={正品，次品},含有2個樣本點，故D正確.

8.籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，記錄剩下動

物的腳數(shù).則該試驗的樣本空間。=.

答案{0,2,4,6,8)

解析最少需要取3次，最多需要取7次，

那么剩余雞的只數(shù)最多4只，最少0只，

所以剩余動物的腳數(shù)可能是8,6,4,2,0.

9.某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：

污染指數(shù)T3060100110130140

111721

概率「

1063301530

其中污染指數(shù)TW50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50VTW100時，空氣質(zhì)量為良；100<

TW150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率

為.

3

答案5

1113

解析由題意可知2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率

10.商場在一周內(nèi)共賣出某種品牌的皮鞋300雙，商場經(jīng)理為考察其中各種尺碼皮

鞋的銷售情況，以這周內(nèi)某天售出的40雙皮鞋的尺碼為一個樣本，分為5組，已

知第3組的頻率為0.25,第1,2,4組的頻數(shù)分別為6,7,9.若第5組表示的是

尺碼為40?42的皮鞋，則售出的這300雙皮鞋中尺碼為40?42的皮鞋約為

________雙.

答案60

解析?.?第1,2,4組的頻數(shù)分別為6,7,9,

...第1,2,4組的頻率分別為

679

布=0.15,布=0.175,而=0.225.

?.?第3組的頻率為0.25,

??.第5組的頻率是

1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,

售出的這300雙皮鞋中尺碼為40-42的皮鞋約為0.2X300=60(雙).

n.某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)

保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234三5

保費0.85〃a1.25〃1.5〃1.75〃2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)01234>5

頻數(shù)605030302010

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值;

⑵記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的

160%”，求尸(3)的估計值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

解(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.

由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為與常=0.55,

故尸(A)的估計值為0.55.

⑵事件3發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.

30+30

由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為『5一=03，

故尸(3)的估計值為03

(3)由所給數(shù)據(jù)得

保費0.85〃a1.25〃1.5〃1.75。la

頻率0.300.250.150.150.100.05

調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為

0.85aX0.30+oX0.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75。X0.10+2。X0.05

=1.1925a.

因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a

12.(2024.荊州調(diào)考)在試驗E：“連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子2次，觀察

每次擲出的點數(shù)”中，事件A表示隨機事件”第一次擲出的點數(shù)為1”，事件40

=L2,3,4,5,6)表示隨機事件”第一次擲出的點數(shù)為1,第二次擲出的點數(shù)

為)"，事件3表示隨機事件“兩次擲出的點數(shù)之和為6”，事件C表示隨機事

件”第二次擲出的點數(shù)比第一次的大3”.

(1)試用樣本點表示事件An3與AU&

(2)試判斷事件A與事件3,事件A與事件C,事件3與事件C是不是互斥事件；

(3)試用事件卻表示隨機事件A

解由題意可知試驗E的樣本空間為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,

3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,

4),(6,5),(6,6)).

(1)因為事件A表示隨機事件“第一次擲出的點數(shù)為1"，所以滿足條件的樣本點

有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).

因為事件3表示隨機事件“兩次擲出的點數(shù)之和為6"，所以滿足條件的樣本點

有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).

所以An3={(l,5)},AUB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)).

(2)因為事件C表示隨機事件“第二次擲出的點數(shù)比第一次的大3"，所以C={(1,

4),(2,5),(3,6)).

因為An3={(l,5)}W,AAC={(1,4)}W,BAC=，所以事件A與事件

B,事件A與事件C不是互斥事件，事件3與事件C是互斥事件.

(3)因為事件40=1,2,3,4,5,6)表示隨機事件”第一次擲出的點數(shù)為1,第

二次擲出的點數(shù)為r',

所以4=｛（1,1）｝,A2=｛（1,2）｝,A3=｛（1,3）｝,

A4=｛（1,4）｝,A5=｛（1,5）｝,A6=｛（1,6）｝,

所以A=A1UA2UA3UA4UA5UA6.

【B級能力提升】

13.（多選）（2024.昆明診斷）小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間（分鐘）

隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：

所需時間（分鐘）30405060

線路一0.50.20.20.1

線路二0.30.50.10.1

則下列說法正確的是（）

A.任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事

件

B.從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一

D.若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.08

答案BD

解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件,

A錯誤；

線路一所需的平均時間為30X0.5+40X0.2+50X0.2+60X0.1=39（分鐘），線路

二所需的平均時間為30X0.3+40X0.5+50X0.1+60X0.1=40（分鐘），所以B正

確；

線路一所需時間小于45分鐘概率為0.7,線路二所需時間小于45分鐘概率為0.8,

小張應(yīng)選線路二，故C錯誤；

所需時間之和大于100分鐘則線路一，線路二的時間可以為（上班線路一5