第08講相似三角形的性質(zhì)（九大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握相似三角形的性質(zhì);

2、學(xué)會(huì)解決相似三角形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用；

3、利用相似三角形的性質(zhì)與其他幾何知識(shí)解決問題。

02思維導(dǎo)圖

1.相似三角形的性質(zhì)定理1

L2.相似三角形的性質(zhì)定理2

J3.相似三角形的性質(zhì)定理3

I4.相似三角形的的應(yīng)用

題型1：直接利用相似三角形的性質(zhì)求解

題型2:已知兩三角形相似，結(jié)合其他幾何知識(shí)求解

r題型3:相似三角形的判定與性質(zhì)一求含平行線的相似三角形問題

＜題型4:相似三角形的判定與性質(zhì)一面積（比）問題

L題型5:相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

J題型6:網(wǎng)格問題

（題型7:根據(jù)相似求點(diǎn)的坐標(biāo)

I題型8:動(dòng)點(diǎn)問題

I題型9:根據(jù)三角形相似求對(duì)應(yīng)線段成比例

03知識(shí)清單

一、相似三角形的性質(zhì)

i.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

2.相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

【方法規(guī)律】要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.

如圖2J13,己知AABCSAAIBICI,頂點(diǎn)A、B、C分別與Ai、Bi、Ci對(duì)應(yīng)，AABC與AAAiBiCi的相

AD

似比為k,AD、AD分別是AABC、AABCI的角平分線.那么冗71的值是否也等于k?為什么?

由已知條件可知AABD、AiBiDi,有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，于是可推出結(jié)論是肯定的.

推導(dǎo)過程如下：

VAABC^AAiBiCi，頂點(diǎn)A、B、C分別與Ai、Bi、Ci對(duì)應(yīng)，

/B=NB,NBAC=NBiAQ（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

：AD、A1D1分別是AABC、AAiBiCi的角平分線，

即ZBAD=|ZBAC，ZB1A1D,-|ZB1A1C|.

.,.ZBAD=ZBIAIDI，

在AABD與A1B1D1中，

/.AABDs^AiBiDi（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）.

AB_AD

得解瓦一AQ（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），

AD.

即彳而一配

用類似的方法可以得到，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比也等于相似比.

3.相似三角形性質(zhì)定理2:相似三角形周長的比等于相似比.

ADRCCA

JiDDUU/I

口AB+BC+CAkA'B'+kB'C'+kC'A',

由比例性質(zhì)可得：----------------------------------------k

4.相似三角形性質(zhì)定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方.

AD"

LABC^^A'S'C1＞則空=與=上=上,分別作出MBC與的高4D和則

A'B'B'CC'A'

-BCAD^k-B'C'k-AD'

_2_____=2

11=e

-B'C'AD'-B'C'A'D'

22

【方法規(guī)律】相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.

二、相似三角形的應(yīng)用

1.測(cè)量高度

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.

【方法規(guī)律】測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：

平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法

2.測(cè)量距離

測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1.如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì),

求出AB的長.

【方法規(guī)律】

1.比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離；

2.太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線.在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于

其對(duì)應(yīng)高的比；

3.視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）；

4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角.

【即學(xué)即練1】如果兩個(gè)相似三角形的周長比為1:4,那么它們的對(duì)應(yīng)中線的比為（）

A.1:16B.1:2C.1:4D.1：72

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的周長的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵.據(jù)

相似三角形的周長的比等于它們的相似比1:4,然后再利用對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求解即可.

【解析】解：?兩個(gè)相似三角形的周長比為1:4,

,它們的相似比為1:4.

.?.它們的對(duì)應(yīng)中線的比為1：4,

故選：C.

【即學(xué)即練2】如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1:2,那么它們的對(duì)應(yīng)面積之比是（）

A.1：0B.1:2C.1:4D.1:6

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比，周長的比等

于相似比，面積的比等于相似比的平方.根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比，面積的比等于相似比的平

方解答即可.

【解析】解：???兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1:2,

??.兩個(gè)相似三角形的相似比為1:2,

,它們對(duì)應(yīng)面積之比為1:4.

故選：C.

4AD

【即學(xué)即練3】已知在梯形中，AD//BC,AC交BD于0,若^則工廠的值為——

9

【答案】|2

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)，熟練掌握相似三角形面積比為相似比的平方是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意

作圖，已知AD〃3C,可以得到AAODs<OB,再根據(jù)相似三角形面積比為相似比的平方，即可得到

AD_[4_2

BC-V9-3,

【解析】解：根據(jù)題意作圖可得：

AD

AD//BC,

ZDAO=ZACB,ZADO=Z.DBC,

:.AAOD^ACOB,

■.s--S

?°AAOD_9"BOC，

.AD_F_2

2

故答案為：—.

【即學(xué)即練4】如圖，在VA5C中，D、E分別是AAAC上的點(diǎn)，且DE〃3C,如果AE:EC=2:3,那

么SMDE?^/\BEC=（）

A

A

A.4:9B.4:15C.4:21D.4:25

【答案】B

【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)相似三角形的判定定理得到,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解析】解：???/汨〃3C,

...AADE^AABC,

.AEDE_AD

"~AC~BC~AB'

'：AE:EC=2:3,

:.AE:AC=AE\（AE+CE）=2.5

S^ADE-1上

251

s△A/BloCCUcJ

ADADAE2

AD+BDABAC5

.A?！?

??=一,

BD3

設(shè)的高為加

c—A。,hAno

...S.ADE=2______AD=2

S&BDELBD?BD3

2

設(shè)為4x，貝！JABC為25x，S^BDE為6x，

.S&DE_Sa/DE_________4x_4

SgEc^/XABC~SAADE-S/\BDE25X—4X—6x15x15

??^/\ADE,^ABEC=4.15,

故選：B.

【即學(xué)即練5】清朝《數(shù)理精蘊(yùn)》里有一首小詩《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門，

南門直行八里止，腳下有座塔聳立.又出西門二里停，切城角恰見塔形，請(qǐng)問諸君能算者，方城每邊長是

幾？如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點(diǎn)。）直行8里有

一塔（點(diǎn)A）,自西門（點(diǎn)E）直行2里至點(diǎn)切城角（點(diǎn)C）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長

是_里.

【V答案】8

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正方形的性質(zhì),設(shè)這座方城每面城墻的長為x里，根據(jù)題意得到

BE\\CD,NBEC=ZADC=90。,證明△(?￡■/-△/⑦。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】解：設(shè)這座方城每面城墻的長為x里，

由題意得，BE\\CD,NBEC=ZADC=NDCE=90。,CE=CD=；x,8E=2里，AD=8里，

:.ZB=ZACD,

:.△CEBs/\ADC,

1

BECE22X

——=——，BmP

CDADL8

2

:.x=8,

???這座方城每面城墻的長為8里，

故答案為：8.

題型精講

題型1:直接利用相似三角形的性質(zhì)求解

【典例1].如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比是4:9,那么它們的周長之比等于.

【答案】4:9

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比，周長比也等于相似比，

由此可解.

【解析】解：?兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比是4:9,

這兩個(gè)相似三角形的相似比為4:9,

，它們的周長之比等于4:9.

故答案為：4:9.

【典例2].如果兩個(gè)相似三角形的周長的比等于1:3,那么它們的面積的比等于.

【答案】1：9

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知“相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方”

是解題關(guān)鍵.根據(jù)兩個(gè)相似三角形的周長的比等于1:3,得到相似比為1:3,即可得到它們的面積比等于1：9.

【解析】解：：兩個(gè)相似三角形的周長的比等于1:3,

,這兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3,

它們的面積比等于1:9.

故答案為：1：9

【典例3].如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2:3,那么這兩個(gè)三角形的面積比為一.

4

【答案】4:9/3

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵

【解析】解：.??兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為2:3,

,這兩個(gè)相似三角形的面積比是（$2,

..4

故答案為：—.

【典例4].若兩個(gè)相似三角形的面積比為1:3,則這兩個(gè)三角形的周長比為.

【答案】1:73

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)兩個(gè)相似三

角形的周長比等于相似比，則面積比等于相似比平方，據(jù)此即可得出答案.

【解析】解：：兩個(gè)相似三角形的面積比為1:3,

二三角形的相似比為1:退，

兩個(gè)相似三角形的周長比等于相似比，

.?.兩個(gè)三角形的周長比為1:石，

故答案為：1：S'.

【典例5].如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1:9,那么這兩個(gè)三角形一組對(duì)邊上的中線之比為—

【答案】1:3

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，由面積比為1：9得到相似比為1:3,利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)中線

的比等于相似比”解本題是關(guān)鍵.

【解析】解：二?兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：9,

,相似比是1:3,

又???相似三角形一組對(duì)邊上的中線的比等于相似比，

，中線的比為1:3.

故答案為：1:3.

【典例6].已知：△ABCs/vVac',若AB=2,AB'=4,則AABC與AAB'C'的相似比為—,它們的

面積比為.

【答案】g/0.5y/0.25

24

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【解析】解：?.?△ABCSAHB'C',若AB=2,A5'=4,

.?.△Me與AAB,C的相似比為：坐它們的面積比為：f4^T=f-T=-

A'B'42[A'B'J⑷4

故答案為：.

24

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【典例7].如果兩個(gè)相似三角形的最大邊上的中線長分別是5cm和2cm,它們周長的差是60cm,那么這

兩個(gè)三角形的周長分別為.

【答案】100cm,40cm

【分析】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比，相似三角形周長的比等于相似比的性質(zhì)，熟記

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比，求出兩個(gè)三角形的相似比，再根據(jù)相似三

角形周長的比等于相似比列式計(jì)算即可.

【解析】解：由題意，得兩三角形的周長比為5：2,

設(shè)兩三角形的周長分別為5丘m,2kcm,

由題意，得5左一2左=60,解得左=20,

.'.5^=5x20=100,2左=2*20=40,

即這兩個(gè)三角形的周長分別為100cm,40cm

故答案為：100cm,40cm.

【典例8].已知AABC的三邊長分別為2、3、4,ADEF與“4BC相似，且“西周長為54,那么ADEF的

最短邊的長是.

【答案】12

【分析】先計(jì)算出AABC的周長，進(jìn)而得出相似比為1：6,進(jìn)而得出答案.

【解析】解：：AABC的三邊長分別為2、3、4,

AABC的周長為：9

M)EF與AABC相似，且ADEF周長為54,

”LBC與AD防的周長比為9：54=1：6,

/.AABC與ADEF的相似比為1：6,

設(shè)山斯的最短邊的長是x,貝人

2：x=l：6,

解得：x=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

題型2：已知兩三角形相似，結(jié)合其他幾何知識(shí)求解

【典例9].已知在AABC中，ZC=9Q°,AC=y/3,BC=2,如果ADEF與AABC相似，且ADEF兩條邊的長

分別為4和2近，那么JDEF第三條邊的長為.

【答案】2石

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解題即可.

【解析】解：在AABC中，ZC=90°,AC=yf3,BC=2,

/.AB=VAC2+BC2=J(A/3)2+22=近，

:ADEF與AABC相似，

.BCABACnn2V76

EFDEDF425DF

/.DF=2A/3.

故答案為：2道.

【典例10].如圖，已知點(diǎn)。、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且AADEsAABC,相似比為1:3,AG，8c交

DE于點(diǎn)F,則AF:AG=.

【分析】本題主要查了相似三角形的性質(zhì).根據(jù)可得NB=NADE,從而得到。E〃5C,

進(jìn)而得到AGLDE,再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

[解析]解：：AADEsAABC,

，ZB=ZADE,

：.DE//BC,

'：AG±BC,

：.AG±DE,

:相似比為1:3,

AF:AG=1:3,

故答案為：1:3

【典例11].如圖，4義4方格中的△ABCS^EED,則相似比為（）.

/DA

：—■:

1....L匚

A.1B.叵C.2D.叵

2553

【答案】B

【分析】本題考查網(wǎng)格與勾股定理求相似三角形的相似比.

先由勾股定理求出。E、AC的長，再根據(jù)相似三角形相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比求解即可.

【解析】解：由勾股定理得：AC=Vl2+12=A/2-Z)E=A/12+22=V5-

AABC^AEFD

,相似比為：—=^=—,

DEy[55

故選：B.

【典例12].已知AABC~AAB|G~A432c2，.C與的相似比為gAABC與△人&G的相似比

7

為三,那么瓦&與△人與。2的相似比為.

……10

【答案】y

3

【分析】設(shè)AB=機(jī)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例分別表示出44=5九機(jī)，繼而求解即可.

[解析】設(shè)AB=m,

△AJ5C?△耳4G2c2,

.AB-1AB-2

5，as23，

3

=5機(jī)，432=—m,

AiBl5m10

；?As一歹二,

972—m

2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能夠用同一個(gè)字母表示A聲，&與的長度是解題的關(guān)鍵.

【典例13].如圖，已知AABCSAACD.

⑴若8平分/ACB,ZACD=35°,求/ADC的度數(shù);

(2)若AD=3,BD=5,求AC的長.

【答案】(1)70。

(2)2A/6

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、角平分線、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解并掌握

相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得N3=NACD=35。，再根據(jù)角平分線的定義可得N3CD=NACD=35。，然

后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和“，由NADC=ZB+N3CD即可

解答；

ArAD

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得去=嘿，然后代入求值即可.

ABAC

【解析】(1)解：

??.N5=NACD=35。，

又平分/ACS,

???ZBCD=ZACD=35°f

：.ZADC=ZB+ZBCD=70°.

(2)解：VAABC^AACD,

.ACAD

??瓦一花’

.ACAD

**AD+DB~^C，

.AC3[—

??~~-=――，解得：AC=2^6.

3+5AC

【典例14].在AABC中，BC=Ji6,點(diǎn)。是邊BC上的一點(diǎn)，線段AD將AABC分成兩個(gè)小三角形，如果

這兩個(gè)小三角形是相似三角形，且相似系數(shù)等于2,那么線段AD的長是.

【答案】亞

5

[分析]首先畫出圖形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到黑=黑=2,得至U9=4CD,然后結(jié)合BC=Vi0

列方程求解即可.

【解析】如圖所示,

設(shè)ABZMsAAT>c

???相似系數(shù)等于2

.BDAD

??--=--=2

ADCD

：.BD=4CD

;BC=BD+CD=M

：.4CD+CD=y/w

解得CD=W

5

/.AD=2CD=

5

故答案為：巫.

5

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì).

題型3：相似三角形的判定與性質(zhì)一求含平行線的相似三角形問題

【典例15].如圖，在"RC中，D,E分別在邊AB,3C上，DE//AC.若AD=2,應(yīng)）=4,則大的值

為________

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)DE||AC可證ABDES△區(qū)4C,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比即可求解.

【解析】解：?.PE||AC,

ABDES^BAC,

BDBEDE口&、,

---=---=---,且AD=2,BD=4,

BABCAC

：.AB=BD+AD=^+2^6,

.DEBD2

**AC-AB3?

2

故答案為：—

【典例16].如圖，”,8相交于點(diǎn)0,。。=2,。。=3,4?〃5。所是△。。5的中位線.若所=3,則AC

的長為

【分析】本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)

算即可得解.

【解析】解：尸是的中位線，

DB=2EF=2x3=6,

'：AC//BD,

小AOCs^OD,

.ACOC

^~DB~~6D'

日nAC2

63

解得：AC=4,

故答案為：4.

AF3

【典例17].如圖，在YABC。中，片是上一點(diǎn)，—跳的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)孔

ED2

若AB=6,則CP的長為.

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得到AB/OC,推

AJ7QAR

出AABESADFE,得到蕓=：=蕓，即可求出即可求出C尸.

ED2DF

【解析】解：,?,四邊形ABC。是平行四邊形，AB=6,

:.AB〃DC,AB=DC=6,

.△ABEs^DFE,

.AB

,ED~2~DF'

?：AB=6,

:.DF=4,

.-.CF=6+4=10.

故答案為：10.

DE2

【典例18].如圖，在YABCD中，EF//AB,—=EF=4,則8的長為（）

EA3

DC

A.—B.8C.10D.16

3

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性

質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

首先由防W,得相似三角形，即可求得銬=空，根據(jù)斯的長進(jìn)而求得A3的長；由四邊形ABCD是

平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等，即可求得co的長.

【解析】解：?.?￡F〃A8,詈=：，

:?ADEFSADAB,

.EFDE_DE_2

DE+EA~3,

?.?￡F=4,

:.AB=10f

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD=10,

故選C.

題型4：相似三角形的判定與性質(zhì)一面積(比)問題綜合

S

【典例19].如圖，在AABC中，D,E分別為A3,AC的中點(diǎn)，則<巫=()

,四邊形DBCE

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)已知得OE是三角形的中位線，從而可

得到DE:3c=1:2,進(jìn)一步得出從而可出<』一

4'四邊形DBCE°

【解析】解：：。，E分別為AB,AC的中點(diǎn)

DE//BC,DE:BC=1:2,

.^ADE_1

S四邊形08CE3

故選：B.

【典例201如圖,在平行四邊形ABCD中,如果點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，若已知S^MN=3,那么S^ADN等于（

C.12D.3

【答案】A

【分析】本題考查線段中點(diǎn)，平行四邊形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，等高三角形面積比等于底的比性

質(zhì)，

由平行四邊形性質(zhì)證明△MEWSAABN,利用三角形相似判定與性質(zhì)得出MN：AN=MD：AB=1：2,進(jìn)一步

得出4ADN=2sQMN進(jìn)行求解即可.

【解析】解：：四邊形ABCD是平行四邊形,

CD||ABfCD=AB,

?:M為CD的中點(diǎn)，

：.MD=MC=-CD,

2

,/MD\\AB,

：?4MDNS4ABN,

：.MN：AN=MD：AB=1：2,

：.AN=2MN,

?q—7v

??a&ADN-QADMN，

?S?MN=3,

:?S&ADN=2x3=6,

故選：A.

【典例21].如圖，融。中，點(diǎn)。、￡分別在A5、AC上，DE//BC,AD:DB=1:2,則ADOE與血9。

的面積的比為.

A

【答案】1：9

【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題

的關(guān)鍵.根據(jù)DE//BC得到△ADE^AABC,^DOE^/\COB,再結(jié)合相似比是AD:Afi=1:3,DE:CB=1:3

因而面積的比是1:9,問題得解.

【解析】解：〃臺(tái)C,

AADEsAABC,ADOE^/\COB,

'：AD:DB=｝：2,

：.AD:AB=1:3,

：.DE:CB=1:3

?Q?C—1.Q

?**ADOE-一上?7?

故答案為1：9.

【典例22].如圖所示，已知在梯形A3CD中，AD//BC,=則沁

、kBCD2八BCD

【答案】I

【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定與性質(zhì)，掌握同（等）底三角形

面積比等于高之比，同（等）高的三角形面積比等于底之比是解題的關(guān)鍵.

Ar）1

過。作。暇_LBC于過3作3N_LAD于N,由四邊形5MDN是矩形，可得DM=3N,——=-,根據(jù)

BC2

ODAD_1OB_2,即可得到臺(tái)2

AD//BC,可得

~OB~1SC~23,

【解析】解：過。作DM,5。于〃，過5作于N,如圖:

\-AD//BC,DMLBC,BN.LAD,

???四邊形3MDN是矩形，DM=BN,

q1

..3迦_二2_

?q），

^△BCD/

-AD.BN1

.2=1

.1?2，

—BC?DM2

2

?AD_1

,,—―,

BC2

.\AD//BC,

:.LAODsXcOB

.8_一。_1

"'OB~^C~2?

?OB_2

,,—―，

BD3

.SABOC_2

SABCD3

故答案為：—.

【典例23].如圖，在AABC中，D,尸是AB的三等分點(diǎn)，DE〃FG〃BC.

B

(1)若DE=2,貝U3C=；

(2)^AADE'S4AFG'S^ABC=-

【答案】61:4:9

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方.求出三個(gè)相似三角

形的相似比是解決本題的關(guān)鍵.

(1)由于DEG〃BC,那么根據(jù)AD=DF=FB及相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)

果.

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得SmE:^△AFG*^AABC結(jié)果.

【解析】解：(1)DE//FG//BC,

.'.^ADE^AAFG^^ABC,

.ADDE

??瓦一法’

???。，尸是A3的三等分點(diǎn),

.\AD=DF=FB,

12

?"?—一__，

3BC

BC=6,

故答案為：6；

(2)入ADEs^AFG^^ABC,

?「。，尸是A3的三等分點(diǎn)，

：.AD=DF=FB,

:.AD:AF:AB=1:2:3,

?qqq=1?4-Q

一^^ADE-LAFG,0hABC一人?冒?？,

故答案為：1:4:9.

【典例24].如圖，點(diǎn)G是AABC的重心，5G的延長線交AC于點(diǎn)，過點(diǎn)G作G石〃3C,交AC于點(diǎn)區(qū)

q

則孝—.

^AABD

【分析】此題主要考查三角形中線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)的理解及運(yùn)用.利用該定理時(shí)要注意

線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

由點(diǎn)G是AABC重心，得出BD是AABC的AC邊上的中線，確定工皿,=久加。，黑=彳，再由相

2DU5

S1

似三角形的判定和性質(zhì)得出產(chǎn)=6,即可求解.

，DBC/

【解析】解：：點(diǎn)G是AABC重心，

???8。是AABC的AC邊上的中線，黑=々，

DL)3

?V—V—J.V

?*a^ADB-^ABDC_2AADC，

，：GE〃BC,

:?ADEGS^DBC,

.SQEG_(DG2_(BD_BG2_1

??h(訪)-(F-)3

qi

◎△DGE_1

S/\ABD9

二.故答案為：

【典例25].如圖，在"IBC中，NACB=9（RAC=3IC=6,C。是邊AB上的中線，G為△ABC的重心,

過點(diǎn)G作GN||BC交于點(diǎn)N,那么^OGN的面積是.

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)中線分出的兩個(gè)三角形的面積相等得到S.。"=gs“Bc，

然后根據(jù)平行得到AONGS—BC,進(jìn)而得到黑也=（竺]計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

S.OBCVOC）

【解析】解：：CO是邊A3上的中線，

S^OBC=：S@c=：x；8CxAC=gxgx6x3=g,

又：G為AABC的重心，GN\\BC,

:,QNGSQBC,

/IJ_

S.OBCVOC)3J9

1191

=g=X

??'AONG92~2

故答案為：—■

題型5：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

【典例26].如圖，河對(duì)岸有一燈桿A2,在燈光下，小明在點(diǎn)。處測(cè)得自己的影長。尸=3m,沿BD方向

前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)尸處測(cè)得自己的影長FG=4m.已知小明的身高為1.6m,則燈桿AB的高度是.

A

后

W,一

產(chǎn)力'。

GFDB

【答案】6.4m

【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出即的長是解題關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)

3+DB7+DB

分別得出比例式，進(jìn)而得出飛一二^^,求出BD=9m,即可得到答案.

【解析】解：?.?AB〃CD,

:.八ABFS&CDF,

AB//EF,

/.^ABGs^EFG,

.ABBGAB7+DB

.?--------,即Rn----=-------

EFFG1.64

.3+DB7+DB

??一，

34

解得：BD=9m,

解得：AB=6.4m,

故答案為：6.4m.

【典例27].圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，AD和CB相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

A、B之間的距離為1.2米，CD,根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、。之間的距離為米.

0.8米

1.2米B

圖①圖②

【答案】0.96

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即可求解.

【解析】解：：筋〃。。，

:.NDCO=ZABO,ZCDO=ZBAO,

△CDMABAO,

.CD0.8

??一,

AB1

???AB=1.2,

mnQ

冷哈解得：CD=0.96,

故答案為：0.96.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.

【典例28】.如圖是一個(gè)零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm,為求出它的厚度尤，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗

（AC和瓦）的長相等）去測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑如果要=旦==，且量得。的長是3cm,那么零件

OAOB3

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得A3的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm,即可求得x的

值.

【解析】解：；/空=：，NCOD=ZAOB,

OAOD3

△COD0°AAOB,

?CD

??—―，

AB3

?「CO的長是3cm,

AB=9cm,

；零件的外徑為10cm,

in_oi

零件的厚度為：x=UU=]（cm）,

故答案為：■

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出的值.

題型6：網(wǎng)格問題

【典例29].如圖，在5x6的網(wǎng)格中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求在方格紙上畫格點(diǎn)三角形（各

頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

圖1

(1)在圖1中畫出△3EF,使它由AABC繞著點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得到;

(2)在圖2中找到格點(diǎn)M,N,使得ABMN與AABC相似，且相似比為血：1.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖-相似變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)：

(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比為后：1，構(gòu)造相似三角形即可.

【解析】(1)解：如圖，△3EF即為所作：

【典例30].如圖在4x1的方格中，每一個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以其中三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為

格點(diǎn)三角形，AABC就是一個(gè)格點(diǎn)三角形，現(xiàn)從URC的三個(gè)頂點(diǎn)中選取兩個(gè)格點(diǎn)，再從余下的格點(diǎn)中選取

一個(gè)格點(diǎn)聯(lián)結(jié)成格點(diǎn)三角形，其中與AABC相似的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似進(jìn)行求解即可.

【解析】解：如圖所示，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知AB=2,BC=Vl2+12=V2,AC=Vl2+32=yJw>

CE=1,3C=a+fBE=Jf+2。=5

,BCABAC

'?五一菽一標(biāo)'

：?△ABC00△/Cfi1,

同理可證明人鉆8484,AABCskBF,

.??從AABC的三個(gè)頂點(diǎn)中選取兩個(gè)格點(diǎn)，再從余下的格點(diǎn)中選取一個(gè)格點(diǎn)聯(lián)結(jié)成格點(diǎn)三角形，其中與AABC

相似的有3個(gè)，

故選C.

【典例31].如圖，在由小正方形組成的方格紙中，AABC和△￡?尸的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABCSAEDP,

則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為（）

產(chǎn)

E

A.點(diǎn)々B.點(diǎn)鳥C.點(diǎn)鳥D.點(diǎn)B

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定.利用相似三角形的判定定理（兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等

的兩個(gè)三角形相似）即可判斷.

【解析】解：AABC中，8c是正方形的對(duì)角線，

AZABC=135°,MBC=VF+F=V2>AB=2,

即些="

AB2

要使

則/EDP=/ABC=135。，

觀察圖形，只有6。是正方形的對(duì)角線，即/皮花=135。，

且期="+2?=2&,L>E=4,

即四=逑=變，

DE42

???點(diǎn)6符合題意，

故選：A.

題型7：根據(jù)相似求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例32].在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(6,0),3(0,8),點(diǎn)C為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上，當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

時(shí)，使得△ACDS4AO3.

【答案】

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，畫出圖形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成

比例，進(jìn)行求解即可.

【解析】解：???4(6,0)1(0,8),

.?.04=6,08=8，AB=762+82=10>

為A3的中點(diǎn)，

/.AC=-AB=5,

2

7

OD=AD-OA=-,

3

故答案為：

b

【典例33].己知點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(b,0)(b>2),點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為耳，若APOA

和APAB相似，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為.

【答案】p,g1(2,3±6)

【分析】如圖，分類討論：(1)APA*APAB；(2)APAO^BAP,根據(jù)相似三角形的相似比列式計(jì)算出

b的值，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

b

【解析】由題意可得：OA=2,OB=b,AP=j,

如圖：(1)當(dāng)時(shí)，

PAOA

PA-AB?

OA=AB=2,

0=4,

4

，P(2,-);

(2)當(dāng)時(shí)，

PAAO

AB-AP?

b

.J_=2

"b-2一，

3

解得：b=9土3下,

P(2,3土石)；

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，分類討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)邊的長度進(jìn)而寫出

點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

題型8：動(dòng)點(diǎn)問題（分類討論；求參數(shù)范圍）

【典例34].如圖，在A/RC中，AB=AC=8,3c=6,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)以1個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)點(diǎn)0從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).當(dāng)以8,P,。為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為（）

Q

A..24sB.|9sC..24s或9?D.以上均不對(duì)

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確分四種情況討論是解題關(guān)鍵.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,先分別求出

BP=t,BQ=6-2t,0<t<3,再分四種情況：①ABPQSABAC,②ABQPMBAC,③ABP-ACAB,

④ABQPS￡AB,利用相似三角形的性質(zhì)分別建立方程，解方程即可得.

【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為塞，

由題意得：BP=t,CQ=2t,

??,AB=8,BC=6,

Q

.?.BQ=5C-CQ=6-2人點(diǎn)尸從點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需時(shí)間為：=8s,點(diǎn)。從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5所需時(shí)間為

—=3s,

2

/.0<r<3,

?<,AB=ACwBC,

.?.ZB=NCwZA,

①當(dāng)△BPQs-AC時(shí)，

24

解得f=A,符合題意;

②當(dāng)ABQPsABAC時(shí),

箸箝"7

9

解得f=]，符合題意;

③當(dāng)ABPOSACXB時(shí)，

6-2zt

貝嘿嘿，即

6-8

解得/=[,符合題意;

④當(dāng)ABQPSAC4B時(shí)，

何［BQBP6-2tt

貝lj*=一，即nn----二一，

ACBC86

9

解得r=（,符合題意；

綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2三4s或9卜

故選：C.

【典例35].如圖，在直角梯形ABQ）中，AD//BC,ZABC=90°,AB=7,AD=3,3c=4,點(diǎn)尸為AB

邊上一動(dòng)點(diǎn)，若人7^￡＞與AP3c是相似三角形，則滿足條件的AP=.

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，難度適中，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論.由于/PAD=ZPBC=90°,

故要使與APBC相似，分兩種情況討論：①八APDs盤PC,②△APDs^BCP,這兩種情況都可

以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求出川的長.

【解析】解：：AZ）〃BC,ZABC=90°,

ZA=180°-ZABC=90°,

\?PAD?PBC90?.

設(shè)4°的長為x,則3尸長為7-x.

若A3邊上存在尸點(diǎn)，使與APBC相似，那么分兩種情況:

①若△APDS^BPC,則AP:3P=?1D:3C,

即x:（7-x）=3:4,

解得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=3是分式方程的解且符合題意，

②若則AP:5c=4￡）:踮，

即x:4=3:（7-x）,

解得x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=4是分式方程的解且符合題意，

二.AP=3或4，

故答案為：3或4.

【典例36].如圖，矩形ABC。中，AB=4,5C=加（機(jī)>2）,點(diǎn)E在池邊上，DE=1,過點(diǎn)E作即〃AB

交BC于點(diǎn)F,若線段石尸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得△￡/?與尸尸相似，則加的取值范圍為.

【答案】2<zn<5且