南充三診數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A，則a的取值集合為（）

A.{1}

B.{1,2}

C.{0,1}

D.{0,1,2}

3.不等式3x-7>2x+1的解集為（）

A.(-∞,-6)

B.(-6,+∞)

C.(-∞,8)

D.(8,+∞)

4.已知向量a=(3,4),b=(1,2)，則向量a·b的值為（）

A.11

B.10

C.9

D.8

5.拋物線y=x^2-4x+3的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(2,-1/4)

B.(2,1/4)

C.(1,-1/4)

D.(1,1/4)

6.已知三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，則該三角形的外接圓半徑為（）

A.2

B.2.5

C.3

D.4

7.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對(duì)稱？（）

A.(π/6,0)

B.(π/3,0)

C.(π/2,0)

D.(2π/3,0)

8.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1,a_n=2a_{n-1}+1，則a_5的值為（）

A.15

B.31

C.63

D.127

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到直線3x-4y+5=0的距離為d，若d=1，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+6=0

C.3x-4y=0

D.4x-3y=0

10.已知函數(shù)f(x)=e^x+bx+1在x=0處的切線斜率為2，則b的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=e^x

D.y=log_2(x)

2.若函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)在x=1處取得極值，則a和b的可能取值為（）

A.a=1,b≠1

B.a≠1,b=1

C.a=1,b=1

D.a≠1,b≠1

3.下列命題中，正確的有（）

A.若lim(x→a)f(x)=A，則lim(x→a)|f(x)|=|A|

B.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界

C.若f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界

D.若lim(x→a)f(x)=A，且A≠0，則存在δ>0，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，f(x)≠0

4.下列不等式成立的有（）

A.(1+1/2)^100>2

B.(1-1/3)^10>1/2

C.log_2(8)>log_3(9)

D.arcsin(1/2)>arctan(1)

5.已知空間直線l1:x/1=y/2=z/3和直線l2:x/2=y/1=z/-1，則直線l1和l2的位置關(guān)系為（）

A.平行

B.相交

C.異面

D.重合

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，且極值為0，則a的值為_______。

2.拋物線y=-x^2+4x-1的準(zhǔn)線方程為_______。

3.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，則圓C的圓心到直線x-y+5=0的距離為_______。

4.若lim(x→0)(sinx-x)/x^3=k，則k的值為_______。

5.已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=3，公比q=2，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.計(jì)算∫_0^π|sinx|dx。

3.求解微分方程y'-y=x。

4.計(jì)算極限lim(x→∞)(x^3+2x^2+1)/(x^4+3x+5)。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，求線段AB的長度及其中點(diǎn)坐標(biāo)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2,1處分段，分別計(jì)算：

x≤-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

-2<x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

最小值為3。

2.C

解析：A={1,2}，A∪B=A?B?A

若a=0，B=?，滿足

若a≠0，B={1/a}，需1/a∈{1,2}?a=1或a=1/2，但1/2不在A中，故a=1

綜上，a∈{0,1}

3.B

解析：3x-7>2x+1?x>8

4.A

解析：a·b=3×1+4×2=11

5.D

解析：y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，頂點(diǎn)(2,-1)，p=1/4，焦點(diǎn)(2,-1+1/4)=(2,3/4)

6.A

解析：三角形為直角三角形，外接圓半徑R=c/2=5/2=2.5

7.A

解析：sin(x+π/3)圖像中心為(π/6,0)

8.B

解析：a_n=2a_{n-1}+1?a_n+1=2(a_{n-1}+1)?{a_n+1}是首項(xiàng)2，公比2的等比數(shù)列

a_n+1=2^n?a_n=2^n-1

a_5=2^5-1=31

9.C

解析：點(diǎn)P到直線距離公式|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)=1

|3x-4y+5|/5=1?3x-4y=0

10.A

解析：f'(x)=e^x+b，f'(0)=1+b=2?b=1

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：y=2x+1是正比例函數(shù)，單調(diào)遞增；y=e^x單調(diào)遞增；y=log_2(x)單調(diào)遞增；y=x^2在(-∞,0)遞減，(0,+∞)遞增

2.A,B

解析：f'(x)=2x-a-b，f'(1)=2-a-b=0?a+b=2

若a=1，b=1，f'(x)=1≠0，非極值

若a≠1且b≠1，則a,b為1的解，且a≠1,b≠1

3.A,B,C

解析：A成立，|f(x)|在x→a時(shí)趨近|A|

B成立，連續(xù)函數(shù)必有界

C成立，可積函數(shù)必有界

D不成立，例如f(x)=xsin(1/x)在x→0時(shí)趨近0，但f(x)≠0

4.A,B,C

解析：A成立，(1+1/2)^100>2^100/100>2

B成立，(1-1/3)^10>(2/3)^10>1/2

C成立，log_2(8)=3>log_3(9)=2

D不成立，arcsin(1/2)=π/6，arctan(1)=π/4，π/6<π/4

5.C

解析：l1方向(1,2,3)，l2方向(2,1,-1)

取l1上點(diǎn)(1,2,3)，l2上點(diǎn)(0,0,0)，向量(1,2,3)

向量(1,2,3)與(2,1,-1)的點(diǎn)積1×2+2×1+3×(-1)=0，垂直

故l1⊥l2，且方向向量不成比例，異面

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f'(x)=3ax^2-3，f'(1)=3a-3=0?a=1

f''(x)=6ax，f''(1)=6a=6?a=1

f'(x)=0只有一個(gè)解x=1，是極值點(diǎn)

2.y=x-3

解析：焦點(diǎn)F(2,1)，p=1/4，準(zhǔn)線為y=1-1/4=y=3/4

準(zhǔn)線與焦點(diǎn)距離等于p，故拋物線開口向下，頂點(diǎn)(2,0)

方程為(x-2)^2=-(y-0)

3.√10

解析：圓心(2,-3)，直線x-y+5=0的法向量為(1,-1)

距離d=|2-(-3)+5|/√(1^2+(-1)^2)=10/√2=√10

4.-1/6

解析：利用泰勒展開sinx=x-1/6x^3+o(x^3)

原式=(x-1/6x^3+o(x^3))-x)/x^3=-1/6+o(1)→-1/6

5.3(2^n-1)/2

解析：S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=3(1-2^n)/(1-2)=3(2^n-1)/2

四、計(jì)算題答案及解析

1.x^2/2+x+3ln|x|+C

解析：∫(x^2/2+x+3/x)dx=∫x^2/2dx+∫xdx+∫3/xdx

=x^3/6+x^2/2+3ln|x|+C

2.2

解析：|sinx|在[0,π]分段為sinx(0-π/2)和-sinx(π/2-π)

∫_0^π|sinx|dx=∫_0^π/2sinxdx-∫_π/2^πsinxdx

=[-cosx]_0^π/2-[-cosx]_π/2^π=(1-0)-(0-1)=2

3.y=e^x(x+C)

解析：y'-y=x?y'=y+x

令z=y/x，z'x+xz=x?z'=z+1/x

z'-z=1/x?∫dz/1-z=∫dx/x

-ln|1-z|=ln|x|+C

1-z=Cx?z=1-Cx

y/x=1-Cx?y=e^x(1-Cx)

4.0

解析：原式=(x^3/x^4)(x^2/x^2+3/x^2+5/x^4)

=1/(x^2+3/x^2+5/x^4)→0(x→∞)

5.AB=2√2，中點(diǎn)(2,1)

解析：AB=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(4+4)=2√2

中點(diǎn)坐標(biāo)((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)

知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)

一、函數(shù)與方程

1.函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性

2.函數(shù)求值：定義域、值域、反函數(shù)

3.方程求解：一元二次、高次、指數(shù)對(duì)數(shù)方程

4.函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)

二、極限與連續(xù)

1.極限計(jì)算：代入法、洛必達(dá)、泰勒展開

2.極限性質(zhì)：保號(hào)性、夾逼定理

3.連續(xù)性：連續(xù)函數(shù)性質(zhì)、介值定理

三、導(dǎo)數(shù)與微分

1.導(dǎo)數(shù)計(jì)算：基本公式、求導(dǎo)法則

2.微分應(yīng)用：函數(shù)增量、線性近似

3.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：?jiǎn)握{(diào)性、極值、最值、曲率

四、積分計(jì)算

1.不定積分：基本公式、換元、分部

2.定積分：計(jì)算方法、幾何意義

3.積分應(yīng)用：面積、體積、平均值

五、空間解析幾何

1.向量運(yùn)算：線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積

2.平面方程：點(diǎn)法式、截距式

3.空間直線：對(duì)稱式、參數(shù)式

4.