遼寧葫蘆島高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-1,-∞)

D.(-∞,+∞)

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},則A∩B等于（）

A.(-∞,2)∪(3,+∞)

B.[2,3]

C.(2,3)

D.(-∞,2)∪(3,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0(a,b∈R),則a+b的值為（）

A.-2

B.0

C.2

D.-1

4.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=2,a?=10,則其前n項(xiàng)和S?等于（）

A.n2-n

B.n2+n

C.2n2-n

D.2n2+n

5.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.已知三角形ABC中,∠A=60°,∠B=45°,BC=2,則AB的長度為（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,則兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

8.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+(a+1)y+5=0平行,則a的值為（）

A.-3

B.3

C.-9

D.9

9.已知圓C?:x2+y2-4x+6y-3=0與圓C?:x2+y2+2x-4y+k=0相切,則k的值為（）

A.13

B.-13

C.3

D.-3

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,則方程f(x)=0在區(qū)間[-2,2]上的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=12,a?=96，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?等于（）

A.2^(n-1)

B.2^(n+1)

C.3^(n-1)

D.3^(n+1)

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?(a)>log?(b)

C.若sinα=sinβ，則α=β

D.若cosα=cosβ，則α=2kπ±β(k∈Z)

4.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則下列說法正確的有（）

A.線段AB的長度為√8

B.線段AB的垂直平分線的方程為x-y-1=0

C.過點(diǎn)A且與直線AB平行的直線方程為2x-y=0

D.過點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線方程為x+2y-5=0

5.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax+1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f(x)在x=1處取得極值，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a=e

B.f(x)在x=1處取得極大值

C.f(x)在x=1處取得極小值

D.f(1)=1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若直線y=kx+1與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切，則k的值為_______。

2.已知tanα=√3，且α在第二象限，則sinα的值為_______。

3.從6名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少包含1名女生的選法共有_______種。

4.已知函數(shù)f(x)=x2-mx+1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______。

5.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1.

(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解方程:2^(2x)-5*2^x+6=0.

3.已知向量a=(1,2),向量b=(-3,4).

(1)求向量a+b和向量a-b的坐標(biāo)；

(2)求向量a和向量b的夾角θ的余弦值（用反三角函數(shù)表示）。

4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。

(1)求邊c的長度；

(2)求角B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n-1.

(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式a?；

(2)求數(shù)列{a?}的前10項(xiàng)和S??。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)有意義需滿足x+1>0，解得x>-1，故定義域?yàn)?-1,+∞)。

2.C

解析：A={x|x≤2或x≥3},B={x|x>1/2}，則A∩B=(-∞,2)∪(3,+∞)。

3.B

解析：z2=(1+i)2=1+2i-1=2i，代入z2+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，故a+b=0，a+2=0，解得a=-2,b=2，a+b=0。

4.A

解析：由a?=a?+4d=10，得2+4d=10，解得d=2。則S?=na?+n(n-1)/2*d=n*2+n(n-1)/2*2=n2-n。

5.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

6.B

解析：由正弦定理sinA/BC=sinB/AB，得sin60°/2=sin45°/AB，解得AB=sin45°/(sin60°/2)=(√2/2)/(√3/4)=2√2/√3=2√6/3。由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，得cosC=(22+√62-√32)/(2*2*√6)=(4+6-3)/(4√6)=7/(4√6)，但此處直接用正弦定理已得解。

7.A

解析：基本事件總數(shù)為6*6=36。點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種。故概率P=4/36=1/9。此處原選項(xiàng)設(shè)置有誤，標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)為1/9。若按原題選項(xiàng)，(1/6)是兩次點(diǎn)數(shù)和為7的概率。

8.A

解析：l?與l?平行，則斜率k?=k?，即-a/3=-3/(a+1)。交叉相乘得-a(a+1)=-9，即a2+a=9，解得a2+a-9=0，因式分解(a+3)(a-3)=0，得a=-3或a=3。當(dāng)a=3時(shí)，l?:3x+3y-6=0與l?:3x+4y+5=0斜率相同，不平行。故a=-3。

9.D

解析：圓C?:(x-2)2+(y+3)2=16，圓心為C?(2,-3)，半徑r?=4。圓C?:(x+1)2+(y-2)2=-(k-3)，要相切需判別式Δ=0。即(-2)2+(2)2-4(1)(k-3)=0，4+4-4k+12=0，解得k=3。此時(shí)圓C?:(x+1)2+(y-2)2=0，半徑r?=0。圓C?退化為點(diǎn)(-1,2)，此點(diǎn)在圓C?上，故兩圓內(nèi)切，k=3。

10.B

解析：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(0)=2,f(2)=-4。由f(0)>0,f(2)<0，且f'(x)在(-∞,0)和(2,+∞)為正，在(0,2)為負(fù)，知x=0處為極大值點(diǎn)，x=2處為極小值點(diǎn)。又f(-2)=-17<0,f(2)=-4<0，且在(-∞,0)單調(diào)遞增，在(0,2)單調(diào)遞減，故在(-2,0)和(2,+∞)各有一個(gè)根。綜上，共有2個(gè)實(shí)根。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：f(x)是奇函數(shù)需滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-(x2+1)=-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

2.B,C

解析：設(shè)公比為q。由a?=a?*q3，得96=12*q3，解得q3=96/12=8，故q=2。通項(xiàng)公式a?=a?*q^(n-1)。因a?=a?*q2=12，得a?*22=12，即a?*4=12，解得a?=3。故a?=3*2^(n-1)。若選B，a?=2^(n+1)，則a?=2^2=4,a?=2^4=16≠12。若選D，a?=3^(n+1)，則a?=3^2=9,a?=3^4=81≠12。只有B和C符合。

3.B,D

解析：

A.反例：a=1,b=-2，則a>b但a2=1<(-2)2=4，故錯(cuò)誤。

B.若a>b>0，則log?(a)>log?(b)成立。若0<a<b<1，則log?(a)<log?(b)<0，此時(shí)a>b但log?(a)<log?(b)，故錯(cuò)誤。若a>1>b>0，則log?(a)>0>log?(b)，此時(shí)a>b且log?(a)>log?(b)，正確。若0<a<1<b<1，則log?(a)<0<log?(b)，此時(shí)a>b但log?(a)<log?(b)，故錯(cuò)誤。綜上，該命題在a,b同正且a>b時(shí)成立。在高考階段，通常默認(rèn)a,b為正數(shù)，故此題可能認(rèn)為正確。

C.反例：sin30°=sin150°=1/2，但30°≠150°，故錯(cuò)誤。

D.若cosα=cosβ，則|α-β|=kπ(k∈Z)。又cos函數(shù)是偶函數(shù)，故α=2kπ±β(k∈Z)。若k為奇數(shù)，則α=-2(2k-1)π±β=-4kπ+2π±β=2π±β-4kπ，可寫成2k'π±β(k'=-2k+1)，仍是2kπ±β的形式。故正確。

4.A,B,D

解析：

A.AB=√[(3-1)2+(0-2)2]=√[22+(-2)2]=√(4+4)=√8。

B.線段AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。AB斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。垂直平分線斜率為k=-1/(-1)=1。方程為y-1=1(x-2)，即y-1=x-2，整理得x-y-1=0。

C.直線AB斜率k_AB=-1。過A(1,2)且平行的直線斜率也為-1。方程為y-2=-1(x-1)，即y-2=-x+1，整理得x+y-3=0。選項(xiàng)2x-y=0與該方程不同。

D.直線AB斜率k_AB=-1。過A(1,2)且垂直的直線斜率k=-1/(-1)=1。方程為y-2=1(x-1)，即y-2=x-1，整理得x-y+1=0。選項(xiàng)x+2y-5=0與該方程不同。此處選項(xiàng)設(shè)置有誤，標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)為x-y+1=0。

5.A,C

解析：

(1)f'(x)=e^x-a。由題意，x=1處為極值點(diǎn)，則f'(1)=0。代入得e^1-a=0，即e-a=0，解得a=e。

(2)當(dāng)a=e時(shí)，f'(x)=e^x-e。令f'(x)=0，得e^x=e，即x=1。此時(shí)x=1為駐點(diǎn)。

判斷極值類型：考察f'(x)在x=1左右的符號(hào)。

當(dāng)x<1時(shí)，e^x<e，故f'(x)=e^x-e<0。

當(dāng)x>1時(shí)，e^x>e，故f'(x)=e^x-e>0。

由f'(x)在x=1左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，知f(x)在x=1處取得極小值。故B錯(cuò)誤，C正確。

計(jì)算極小值：f(1)=e^1-e*1+1=e-e+1=1。故D錯(cuò)誤。

綜上，A和C正確。

三、填空題答案及解析

1.-5±√19/3

解析：圓心(2,3)，半徑r=2。直線y=kx+1到圓心(2,3)的距離d=|k*2+1-3|/√(k2+1)=|2k-2|/√(k2+1)。由相切條件d=r，得|2k-2|/√(k2+1)=2。兩邊平方得(2k-2)2=4(k2+1)。展開得4k2-8k+4=4k2+4。消去4k2得-8k=0，解得k=0。代入原式檢驗(yàn)，d=|0-2|/√(02+1)=2/1=2=r，符合。另解：直線方程可寫為kx-y+1=0。距離d=|k*2-3+1|/√(k2+1)=|2k-2|/√(k2+1)。同上，|2k-2|/√(k2+1)=2。兩邊平方得(2k-2)2=4(k2+1)。解得k=0或k=4/3。當(dāng)k=4/3時(shí)，直線方程為4x/3-y+1=0，即4x-3y+3=0。直線方程可寫為4x-3y+3=0。距離d=|4*2-3*3+3|/√(42+(-3)2)=|8-9+3|/√(16+9)=|2|/√25=2/5≠2。故k=4/3不滿足。最終k=0。直線方程為y=0。此時(shí)與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切于(2,0)。重新審視原解法，k=0時(shí)，d=2=r，確實(shí)相切。若要求斜率存在，則k=0。若允許k不存在，即垂直于x軸的直線y=1，到圓心(2,3)距離d=|3-1|=2=r，也相切。但通常選擇題默認(rèn)斜率存在，故k=0。根據(jù)原題選項(xiàng)格式，可能需要填寫計(jì)算過程中的值。d=|2k-2|/√(k2+1)=2=>|2k-2|2=4(k2+1)=>4k2-8k+4=4k2+4=>-8k=0=>k=0。此過程涉及絕對(duì)值和分母不為零的條件k≠-1。計(jì)算無誤。但最終k=0。題目可能要求填寫k=0。若題目意圖是求切線方程，則答案應(yīng)為y=0。若題目意圖是求k值，則答案為k=0。根據(jù)選擇題選項(xiàng)，填寫k=0。若必須填寫計(jì)算相關(guān)值，則為0。重新核對(duì)，k=0是唯一解。題目表述"直線y=kx+1"，暗示斜率k存在。故k=0?？赡苓x項(xiàng)有誤。

2.-√3/2

解析：由tanα=√3，得sinα/cosα=√3。在第二象限，sinα>0,cosα<0。cosα=sinα/√3。sin2α+cos2α=1。代入得sin2α+(sinα/√3)2=1。即sin2α+sin2α/3=1。4sin2α/3=1。sin2α=3/4。sinα=√3/2或sinα=-√3/2。因α在第二象限，sinα>0，故sinα=√3/2。但此處tanα為正，α應(yīng)在第一或第三象限。題目給定α在第二象限，矛盾。此題條件有誤。若題目意圖是tanα=-√3，則sinα=-√3/2。

3.16

解析：包含至少1名女生的情況有：

1名女生+2名男生：C(4,1)*C(6,2)=4*(15)=60種。

2名女生+1名男生：C(4,2)*C(6,1)=6*6=36種。

3名女生：C(4,3)*C(6,0)=4*1=4種。

總計(jì)：60+36+4=100種。原題選項(xiàng)可能有誤。

若題目意圖是至少1名男生，則：

1名男生+2名女生：C(6,1)*C(4,2)=6*6=36種。

2名男生+1名女生：C(6,2)*C(4,1)=15*4=60種。

3名男生：C(6,3)*C(4,0)=20*1=20種。

總計(jì)：36+60+20=116種。原題選項(xiàng)可能有誤。

題目條件"至少包含1名女生"最可能對(duì)應(yīng)的是總數(shù)減去全是男生的情況。4名男生中選3人，C(4,3)=4?？倲?shù)C(10,3)=120。至少1名女生=120-4=116。此解法與上一條目沖突。選擇題答案應(yīng)唯一。題目條件或選項(xiàng)存在模糊或錯(cuò)誤。若必須給出一個(gè)答案，可按"至少1名女生"的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算：C(4,1)*C(6,2)+C(4,2)*C(6,1)+C(4,3)*C(6,0)=60+36+4=100。選擇100。

4.m≤-2或m≥2

解析：f(x)=x2-mx+1。f'(x)=2x-m。函數(shù)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，需滿足f'(x)≥0對(duì)所有x∈[1,+∞)恒成立。即2x-m≥0對(duì)所有x≥1恒成立。m≤2x對(duì)所有x≥1恒成立。取x=1，得m≤2*1，即m≤2。需此不等式對(duì)[1,+∞)上所有x都成立。由于2x是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，在x=1時(shí)取得最小值2。因此，m≤2x的最小值2對(duì)所有x≥1成立。即m≤2。故m的取值范圍是(-∞,2]。

5.15π

解析：圓錐側(cè)面積S=πrl，其中r=3，l=5。S=π*3*5=15π。

四、計(jì)算題答案及解析

1.

(1)f'(x)=3x2-6x+2x=3x2-4x。令f'(x)=0，得3x(x-4/3)=0。解得x?=0,x?=4/3。列表分析：

x(-∞,0)0(0,4/3)4/3(4/3,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)↗極大值↘極小值↗

極值點(diǎn)為x=0（極大值點(diǎn)），x=4/3（極小值點(diǎn)）。

(2)計(jì)算端點(diǎn)值：f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2(-2)+2=-8-12-4+2=-22。f(3)=33-3*32+2*3+1=27-27+6+1=7。計(jì)算極值點(diǎn)處的函數(shù)值：

f(0)=03-3*02+2*0+1=1。

f(4/3)=(4/3)3-3*(4/3)2+2*(4/3)+1=64/27-3*16/9+8/3+1=64/27-48/9+72/27+27/27=64/27-144/27+72/27+27/27=19/27。

比較f(-2),f(3),f(0),f(4/3)的值：-22<19/27<7。故最大值為7，最小值為-22。

2.令t=2^x，則原方程變?yōu)閠2-5t+6=0。因式分解得(t-2)(t-3)=0。解得t?=2,t?=3。即2^x=2或2^x=3。解得x?=1,x?=log?3。

3.

(1)a+b=(1,2)+(-3,4)=(1-3,2+4)=(-2,6)。a-b=(1,2)-(-3,4)=(1+3,2-4)=(4,-2)。

(2)cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=1*(-3)+2*4=-3+8=5。|a|=√(12+22)=√5。|b|=√((-3)2+42)=√(9+16)=√25=5。cosθ=5/(√5*5)=5/(5√5)=1/√5。θ=arccos(1/√5)。

4.

(1)由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。代入a=3,b=√7,C=60°，得c2=32+(√7)2-2*3*√7*cos60°=9+7-6√7*(1/2)=16-3√7。故c=√(16-3√7)。

(2)由正弦定理sinA/a=sinB/b。sinA/3=sin60°/√7。sinA/3=(√3/2)/√7。sinA=3*(√3/2)/√7=3√3/(2√7)。因a<b，故A<B。sinA為銳角sin值。B=arcsin(3√3/(2√7))。

5.

(1)當(dāng)n=1時(shí)，a?=S?=12+1-1=1。當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=n2+n-1-(n2-2n+1+n-1-1)=n2+n-1-(n2-n-1)=2n。檢驗(yàn)n=1時(shí)，a?=2*1=2，與S?=1矛盾。故通項(xiàng)公式為a?=2n(n≥2)。若要統(tǒng)一n=1的情形，則需修正S?，使得a?=1。但按題設(shè)S?=1，故a?=1，a?=4。此時(shí)a?=n2(n≥1)。

(2)S??=102+10-1=100+10-1=109。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

**一、集合與常用邏輯用語**

-集合的表示法（列舉法、描述法）

-集合間的基本關(guān)系（包含、相等）

-集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）

-命題及其關(guān)系（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）

-充分條件、必要條件、充要條件的判斷

**二、函數(shù)概念與性質(zhì)**

-函數(shù)的定義域、值域

-函數(shù)的表示法（解析法、列表法、圖像法）

-函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）

-基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)

**三、數(shù)列**

-數(shù)列的概念（通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和）

-等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

-等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

-數(shù)列的遞推關(guān)系

**四、不等式**

-不等式的性質(zhì)

-一元二次不等式的解法

-基本不等式（均值不等式）及其應(yīng)用

**五、三角函數(shù)**

-任意角的概念、弧度制

-任意角的三角函數(shù)定義（定義域、值域）

-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）

-誘導(dǎo)公式

-函數(shù)y=Asin