PAGE12024屆高三10月大聯(lián)考（新課標(biāo)II卷）數(shù)學(xué)本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用集合的交集，補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意，知.又，所以，所以.故選：B.2.“角為第二象限角”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)角為第二象限角時(shí)，，所以，故充分；當(dāng)時(shí)，或，所以在第二象限或在第三象限，故不必要；故選：B3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號(hào)排除即可判斷；方法二：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及某個(gè)函數(shù)值的符號(hào)排除即可判斷.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除；當(dāng)時(shí)，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除；又，所以排除A.故選：D.4.已知圓的半徑為2，弦的長(zhǎng)為，若，則（）A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，可求出與的夾角，再利用平面向量的數(shù)量積，從而求解.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.由，，得，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：B.5.白色污染是人們對(duì)難降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染環(huán)境現(xiàn)象的一種形象稱(chēng)謂，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期研究，一種全生物可降解塑料（簡(jiǎn)稱(chēng)PBAT）逐漸被應(yīng)用于超市購(gòu)物袋?外賣(mài)包裝盒等產(chǎn)品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最終可被完全分解為二氧化碳和水進(jìn)入大自然，當(dāng)其分解率（）超過(guò)60%時(shí)，就會(huì)成為對(duì)環(huán)境無(wú)害的物質(zhì).為研究總質(zhì)量為的PBAT的已分解質(zhì)量（單位：）與時(shí)間（單位：月）之間的關(guān)系，某研究所人員每隔1個(gè)月測(cè)量1次PBAT的已分解質(zhì)量，對(duì)通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)做計(jì)算處理，研究得出已分解質(zhì)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為.據(jù)此研究結(jié)果可以推測(cè)，總質(zhì)量為的PBAT被分解為對(duì)環(huán)境無(wú)害的物質(zhì)的時(shí)間至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.8個(gè)月 B.9個(gè)月 C.10個(gè)月 D.11個(gè)月【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，令，求解即可.詳解】令，得，解得，故至少需要10個(gè)月，總質(zhì)量為的PBAT才會(huì)被分解為對(duì)環(huán)境無(wú)害的物質(zhì).故選：C.6.三角函數(shù)的發(fā)展過(guò)程中，托勒密做出了杰出的貢獻(xiàn)，托勒密的《天文學(xué)大成》中有一張弦表，被認(rèn)為是最早的正弦表．據(jù)書(shū)中記載，為了度量圓弧與弦長(zhǎng)，托勒密采用了巴比倫人的60進(jìn)位法，把圓周360等分，把圓的半徑60等分，即用半徑的作為單位來(lái)度量弦長(zhǎng)，其中圓心角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)表示為．建立了半徑與圓周的度量單位以后，托勒密先著手計(jì)算一些特殊角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，比如角所對(duì)的弦長(zhǎng)正好是正六邊形外接圓的半徑，則角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，即，由此可知，的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為正八邊形的邊長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】由題意，可得角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為正八邊形的邊長(zhǎng)，設(shè)正八邊形的外接圓半徑為，由余弦定理，，所以．故選：B．7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦公式和余弦公式，化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，，即，所?因?yàn)?，所以，所以，?又，所以，所以.故選：A.8.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A.. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性只需要考慮時(shí)的情況，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，即可由導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】易知是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?令，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增.構(gòu)造函數(shù)，則.令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以，所以，所以，所以，即故選:.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟:(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋裕蔅正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B..C.在上單調(diào)遞減 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判定即可.【詳解】由題圖，得，最小正周期,所以，故A正確；則，又的圖象過(guò)點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；，令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故C正確；顯然，故D正確.故選:ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)奇偶性判斷A，取特值判斷B，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷C，分類(lèi)討論判斷D.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是偶函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，所以，且，所以不是函?shù)的遞增區(qū)間，故B不正確；，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，同理，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且，判斷A，對(duì)求導(dǎo)，得出的對(duì)稱(chēng)性，從而判斷B，由對(duì)稱(chēng)性得出周期性判斷C，結(jié)合周期性求值判斷D．【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且，故A正確；由，兩邊求導(dǎo)，得，即.由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，得，因此，故B正確；因?yàn)闉楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以.又，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，，，所以是周期函數(shù)，4為它的一個(gè)周期，所以，故錯(cuò)誤；由，得.又，所以3，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則__________.【答案】8【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)過(guò)的點(diǎn)，求出其解析式，再代入數(shù)值求得答案.【詳解】設(shè)，由，得，所以，所以，所以，故答案為：8.14.已知向量的夾角為，則__________.【答案】1【解析】【分析】用向量的模長(zhǎng)和夾角計(jì)算即可.【詳解】由，得.由，得，整理，得，解得或（舍去）.故答案為：.15.若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】##0.8【解析】【分析】用“”代換和基本不等式求出即可.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.16.當(dāng)時(shí)，恒有成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義可得在上恒成立.，進(jìn)而可得：由可得，構(gòu)造函數(shù)可得，進(jìn)而可得，從而可得答案.【詳解】由題意，得.又恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以①.由，得，即.構(gòu)造函數(shù)，則因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，所以.令，則.構(gòu)造函數(shù),時(shí)，遞減：時(shí)，遞增，所以，即恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以②.由①②知.故答案為：.【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，且.（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理，余弦定理，三角形面積公式可求出；（2）用三角恒等變換和余弦定理可求.【小問(wèn)1詳解】方法一：由題意及三角形的面積公式，得，所以.由正弦定理，得.由余弦定理的推論，得，整理得.因?yàn)?，所以，所?由余弦定理的推論，得.方法二：（1）由已知及三角形的面積公式，得，所以.由，得，所以.在中，因?yàn)?，所?又為銳角，所以也為銳角，所以.【小問(wèn)2詳解】方法一：由（1）知.又，所以，解得，所以.在中，由余弦定理，得.方法二：由（1），知.由，得①.由題意，知，所以，所以②.由（1）知，所以③.由①②③，得.中，由余弦定理，得18.某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：時(shí)間月1234浮萍的面積35917現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型可供選擇：①，②，③，其中均為常數(shù)，且.（1）直接選出你認(rèn)為最符合題意的函數(shù)模型，并求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，寫(xiě)出一種滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，并說(shuō)明理由.【答案】（1）模型②，（2），理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型，然后求解析式；（2）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算公式計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】應(yīng)選擇函數(shù)模型②.依題意，得，解得，所以關(guān)于的函數(shù)解析式為.【小問(wèn)2詳解】.理由：依題意，得，，，所以，，，所以，所以，所以.19.在通用課實(shí)踐活動(dòng)中，某興趣小組在以為圓心，1為半徑的半圓形模板上，設(shè)計(jì)一個(gè)以直徑的端點(diǎn)為頂點(diǎn)，邊在直徑上，點(diǎn)均在半圓上的四邊形，且滿(mǎn)足，如圖所示.設(shè)，四邊形的周長(zhǎng)為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷是否有最大值，若有，求出最大值，并求出此時(shí)的正弦值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）.（2）有最大值，最大值為，此時(shí)【解析】【分析】（1）方法一：建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；方法二：過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為，連接，結(jié)合弧長(zhǎng)的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）中的結(jié)論，換元，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】方法一：由，得四邊形為平行四邊形.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，連接，則，，所以，所以，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為.方法二：由，得四邊形為平行四邊形，如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為，連接，則四邊形為矩形.由，得.因?yàn)榛〉拈L(zhǎng)為，所以弧的長(zhǎng)為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為.【小問(wèn)2詳解】有最大值，最大值為，此時(shí).由（1）得.令，當(dāng)時(shí)，，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，有最大值，故的最大值為，此時(shí).20.已知函數(shù).（1）若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值；（2）若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再次求導(dǎo)，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計(jì)算極值即可.（2）確定，變換得到，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，故，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無(wú)極大值，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】顯然，要使方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，只需當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)根.當(dāng)時(shí)，由方程，得，令，則直線(xiàn)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以作出的大致圖象如圖所示.由圖象知要使直線(xiàn)與圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，只需或，綜上所述：若有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了求函數(shù)極值，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用參數(shù)分離的思想，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，便于理解，是解題的關(guān)鍵.21.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若為的內(nèi)心，求的取值范圍.【答案】21.22.【解析】【分析】（1）由正弦定理與正余弦兩角和差公式得，從而求解.（2）結(jié)合（1）及的內(nèi)心作出圖像，求得，并利用正弦定理得，從而求解.【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理，得：即：，所以：，又：，所以：，又：，所以：，所以：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，如圖，連接，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以：，所以：，設(shè)，則.在中，由正弦定理得:，所以：，所以：，其中：，因?yàn)?，所以不妨取，又，所以，其中，?dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)?，所以，又，所以，綜上，的取值范圍是.22.已知函數(shù).（1）若，求的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；（2）方法一：求導(dǎo)，根據(jù)題意分析可得當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解；方法二：求導(dǎo)，根據(jù)題意分析可得在上恒成立，分類(lèi)討論運(yùn)用參變分離法結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，