2025北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

相似章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2025北京四中初三一模）如圖，在中，AB>BC,。是AB邊的中點(diǎn).按下列要求作圖:

（1）以點(diǎn)8為圓心，小于20長度為半徑畫弧，分別交

BA,8C于點(diǎn)。，E；

（2）以點(diǎn)。為圓心，5。長為半徑畫弧，交Q4于點(diǎn)尸；以點(diǎn)尸為圓心，長為半徑

畫弧，兩弧交于點(diǎn)G,點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線48同側(cè)；

（3）作直線OG,交AC于點(diǎn)

根據(jù)上面作圖，下列結(jié)論第誤的是（）

A.ZAOM=NBB.ABDE^AOFG

C.AB=2OMD.AM=CM

2.（2025北京東城初三一模）如圖，在443c中，P是邊AC的中點(diǎn).按下列步驟作圖：

①以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交線段AS于點(diǎn)￡）,交線段BC于點(diǎn)E；

②以點(diǎn)尸為圓心，8。長為半徑畫弧，交線段"于點(diǎn)下；

③以點(diǎn)尸為圓心，OE長為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G；

④作直線尸G,交線段于點(diǎn)Q.

以下結(jié)論不二軍成立的是（）

BIE

A.ZAPQ=ZBB.ZBgP+ZC=180°

C.△APQ與MBC的相似比為1：2D.AABC^AAPQ

3.（2025北京初三一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，A￡BC是等邊三角形，連接AC交8E于點(diǎn)

F,連接AE和DE,下列結(jié)論中正確的是（）

?AE=DE；?ZEFC=2ZEDC；?ZAED=2ZAEB；?AB=^^BF.

2

AD

B

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②③④

4.（2025北京石景山初三一模）如圖，矩形ABC。中，^BC<AB<BC.點(diǎn)E在2C邊上，以AE為邊作

正方形A￡FG,點(diǎn)尸恰好落在邊CD上，F(xiàn)G馬AD交于點(diǎn)、H.設(shè)3E=a,CE=b,AE=c,給出下面三個

結(jié)論：①CD=b；②a+b〈拒c;③HF*…）.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.（2025北京朝陽初三一模）“藻井”是中國古代建筑中位于室內(nèi)上方的特色結(jié)構(gòu)，被譽(yù)為“室內(nèi)最燦爛的

星空”.某校數(shù)學(xué)小組的同學(xué)在研究時發(fā)現(xiàn)智化寺藻（圖1）、故宮太和殿藻井中都有類似圖2的幾何結(jié)

構(gòu)，他們通過測量得知4,q,G,R分別是正方形ABCD的四條邊的中點(diǎn)，將四邊形A8GR繞正方形

9CD的中心順時針旋轉(zhuǎn)45。，可以得到四邊形48422，應(yīng)/&印,妝分別經(jīng)過點(diǎn)4,826,3,且平行

于A°，A耳，耳G，GR.給出下面四個結(jié)論:

①E,f是線段的三等分點(diǎn)；

②4是線段EL的中點(diǎn)；

③EFGHIJKL是正八邊形；

④的面積是△AEL的面積的2倍.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

)XD

/

E<

4

F/

4

/7

D

GBtH°

圖1圖2

A.①③B.①④C.②③D.②④

6.（2025北京房山初三一模）如圖，在明8C中，AB>BC,。是A5邊的中點(diǎn).按下列要求作圖:

A.ZAOM=ZBB.ABDE^AOFG

C.OM=-ABD.AM^CM

2

7.（2025北京大興初三一模）已知邊長為。的正方形Q4SC,過點(diǎn)8的直線分別交。4OC的延長線于點(diǎn)

D,E,設(shè)AD=＞，CE=c,/\ABD,ABCE,正方形6MBe的面積分別為跖，S2,S3.給出下面三個結(jié)

①/=兒；②b+c22a；③1+S2Vs3.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（2025北京初三一模）如圖，在“LBC中，。_1,43于點(diǎn)。，只需添加下面三個條件中的一個即可證明

448c是直角三角形.①NA=NBCD；?ZA+ZBCD=ZADC；③黑=&.所有正確條件的序號是

CDDD

C.②③D.①②③

9.（2025北京房山初三一模）如圖，在等邊姐8C中，點(diǎn)。，E分別是邊A3、8C上的動點(diǎn)，且

BD=2CE.以。E為邊作等邊ADE戶.使點(diǎn)A與點(diǎn)下在直線DE同側(cè).。/交AC于點(diǎn)G.所交AC于點(diǎn)

H.給出下面四個結(jié)論：

A

①NBED=ZAHF；

②ADDF=3EZ）G；

③若ED_LAB,則DPIAC；

④若CE：BE=1:2,則四邊形DBEF是菱形.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.③④C,①②③D.①②③④

二、填空題

10.（2025北京密云初三一模）如圖，矩形ABC。中，DE1AC垂足為E,延長。E交48于凡

AE=2,DE=4,則CO的長為.

11.（2025北京東城初三一模）如圖，在DABC。中，點(diǎn)E在48上，CE,BD交于點(diǎn)F,若

AE:BE=2:1,S.BF=2,貝!

12.（2025北京順義初三一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，連接AE交對角線30于點(diǎn)

F.若AB=3,BE=1,貝1|3尸=.

13.（2025北京朝陽初三一模）如圖，在矩形ABC。中，CE1BD,垂足為點(diǎn)E.若A3=5,CE=3,則

△BCE的面積為.

AD

14.（2025北京石景山初三一模）如圖，將沿BC邊向右平移2個單位長度得到AZ）￡F.若BC=4,

陰影部分的面積為6,則姐BC的面積為

15.（2025北京西城初三一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊8C,DC上，且若

AB=2,4）=4,BE=1,則EP的長為.

AD

BEC

16.（2025北京平谷初三一模）在菱形ABC。中，AD=5,AE_LBC于點(diǎn)瓦EC=2,連接BD交AE于點(diǎn)

F,則AF的長為.

17.（2025北京海淀初三一模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對角線3。上的一點(diǎn)，PELAfi于點(diǎn)E.連接

AP并延長交3c于點(diǎn)尸，連接PC.若PC=M，PE=1,則所的長為.

三、解答題

18.（2025北京豐臺初三一模）如圖，AB,CD是。。的直徑，點(diǎn)E在。。上，連接DE交于點(diǎn)尸，連

接AE交C。于點(diǎn)G,ZCDE=-ZAOC.

2

E

⑴求證：CD1AE；

(2)過點(diǎn)。作。。的切線交48的延長線于點(diǎn)若翌=1，AE=2下,求3H的長.

FB4

19.(2025北京初三一模)如圖，在四邊形A3C￡＞中，ZABD^ZADB,CB上BD于B,AFJ_3D于下，

CB=AF,■的延長線交C。于E.

(1)求證：EF=：AF；

(2)過點(diǎn)A作G4_LAD,交BD于G,以G為圓心，BG長為半徑作弧，交AB于H,連接HD.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示EF與m)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.(2025北京朝陽初三一模)如圖，448c是。。的內(nèi)接三角形，NACB=45。，點(diǎn)尸在BC的延長線上,

⑴求證：是。。的切線；

Z)D1___

(2)若號=g,PB=M，求。。半徑的長.

21.(2025北京海淀初三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)尸、。和圖形將圖形M沿射線OQ

方向平移，平移距離為線段。。的長，得到圖形若點(diǎn)P在圖形上，則稱點(diǎn)尸為圖形/關(guān)于點(diǎn)。的

“位移點(diǎn)”.

如圖，點(diǎn)4(2,0)、5(0,2).

⑴若0。半徑為1，

①在外1,0)、4||，。］、8］?-乎］中，00關(guān)于點(diǎn)A的“位移點(diǎn)”是;

②若在線段A3上存在一點(diǎn)C,使得點(diǎn)尸為。。關(guān)于點(diǎn)C的“位移點(diǎn)”，直接寫出。尸的長的取值范圍；

(2)已知點(diǎn)T?,0),eT半徑為1,點(diǎn)E在eT上，點(diǎn)尸為線段48關(guān)于點(diǎn)E的“位移點(diǎn)”.點(diǎn)S(2,6),。5半徑

為血，點(diǎn)。在。S上.若存在點(diǎn)。，P,使AODP為以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直接寫出?的取

值范圍.

22.(2025北京大興初三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過G)C上一點(diǎn)P作切線/,在圓的外部過點(diǎn)P分

別作射線外，PB,當(dāng)/1=/2=/(0。＜。＜90。)時，則稱9，P3為點(diǎn)P關(guān)于該圓的“關(guān)聯(lián)等角射線”.如

PB,,PB2,P2中，PA的“關(guān)聯(lián)等角射線”是;

(2)如圖3,。。的半徑為1,點(diǎn)尸在第三象限，PA,FB為點(diǎn)尸關(guān)于。?！瓣P(guān)聯(lián)等角射線”，以與無軸平

行，與y軸平行，則此時。的度數(shù)為°；

(3)如圖4,點(diǎn)加的坐標(biāo)為(0,2),。/的半徑為1.點(diǎn)尸在第一象限，PA,為點(diǎn)尸關(guān)于。關(guān)聯(lián)等角

射線”，若過點(diǎn)。，與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為“，則力的取值范圍是.

23.(2025北京初三一模)在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1,對于。。的弦和。。外一點(diǎn)

P,給出如下定義：若直線上4,尸3都是。。的切線，則稱點(diǎn)尸是弦A5的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”

ffll圖2

(1)已知點(diǎn)4(1,0).

①如圖1,若OO的弦=在點(diǎn)片(1,括)，6(1/)，月(1,一1)中，弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是二

②如圖2,若點(diǎn)8,點(diǎn)尸是。。的弦A3的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出線段AB,線段OP的長;

(2)已知點(diǎn)C(3,0),線段EF是以點(diǎn)C為圓心，以1為半徑的0c的直徑，對于線段EF上任意一點(diǎn)S,存在

。。的弦使得點(diǎn)S是弦AB的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.當(dāng)點(diǎn)S在線段所上運(yùn)動時，將其對應(yīng)的弦長度的最大值

與最小值的差記為3直接寫出f的取值范圍.

24.(2025北京豐臺初三一模)如圖，在448c中，AB=AC,ZBAC=a(0°<tz<90°),M為BC延長線

上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作射線RVLAS,D為射線3N上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，連接AD.將線段4)繞點(diǎn)A逆

時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接CE.

(1)求證：NCBD=NECM；

(2)連接CD,作EF〃CD,交射線于點(diǎn)連接砥交AC于點(diǎn)G,若CDL5D,用等式表示線段CG

與EP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

25.(2025北京海淀初三一模)如圖，在M8C中，ZABC=90°,以A3為直徑作。。交AC于點(diǎn)D點(diǎn)、E

在線段AD上，DE=CD.連接BE并延長交。。于歹.

(1)求證：NCBE=2ZBAC；

(2)連接OD交所于點(diǎn)G.若EF=2EG,CD=3,求。。的半徑.

26.(2025北京初三一模)在448c中，AB=AC,。是邊BC上一動點(diǎn)，連接A。，將AD繞點(diǎn)A逆時針

旋轉(zhuǎn)到AE的位置，使得ZDAE+ZBAC=180'

DBD

圖1

⑴如圖1,當(dāng)NR4C=90。，連接BE交AC于點(diǎn)尸，若班平分工ABC,BD=2,

①貝|ZBCE=；CF=；

②求AF的長；

(2)如圖2,連接BE,取BE的中點(diǎn)G,連接AG,猜想AG與CO存在的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案

1.C

【分析】本題考查作一個角等于已知角、全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握基本作圖以

及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

由作圖過程可知，ZAOM=ZB,ABDE必OFG,可判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)B；證明可判

斷選項(xiàng)C；由平行線分線段成比例定理可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：由作圖過程可知，ZAOM=ZB,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

由作圖過程可知，BD=BE=OF=OG,DE=FG,

；.ABDE玨OFG&SS),故B選項(xiàng)正確，不符合題意;

ZAOM=ZB,

：.OM//BC,

：.AAOMs△至c,

.OMAO

：0是AB邊的中點(diǎn)，

AO=BO=-AB,

2

.OMAO1口門―

??■=-=—,即BC=2OM

BCAB2

■:AB>BC,

：.AB>2OM,故C選項(xiàng)不正確，符合題意，

?/OM//BC,

.AMAOx

CM~BO~，

：.AMCM,D選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

2.C

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由作圖過程可得=選項(xiàng)A正確；得到△ABCs△4尸。，選項(xiàng)D正確；得到NC=NAQP,推

ApAp1

出NBQP+“5。。，選項(xiàng)B正確；得至2—VMC的相似比為罰,不能確定至選項(xiàng)0錯

誤.

【詳解】解：由作圖過程可得4短。=/8,

故選項(xiàng)A正確；

???NA=NA

.??AABC^AAPQ,

故選項(xiàng)D正確；

/.ZC=ZAQPf

\-ZBQP+ZAQP=180°

NBQP+NC=180。，

故選項(xiàng)B正確；

Ap

AAPQ與NABC的相似比為——，

AB

Ap1

不能確定其=彳，

故選項(xiàng)c錯誤；

故選：c.

3.C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，等邊三角形三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：：正方形ABCD,

：.AB=BC=CD,ZABC=NBCD=NCDA=ZADC=90°,

??,AEBC是等邊三角形，

:.BE=CE=BC,ZEBC=ZECB=ZBEC=60°,

ZABE=ZDCE=30°,AB=BE=CD=CE,

:△ABE冬ADCE(SAS),

/.AE=DE,

故結(jié)論①正確；

?：ZBAF=45°,

,\ZAFB=1800-ZBAF-ZABF=105°,

ZEFC=ZAFB=105°,

\CD=CE,

:./EDC=/DEC,

2ZEDC=180?！狽DCE=150。，

:./EFC豐2/EDC,

故結(jié)論②錯誤；

:./EDC=75。,

ZADE=90°-NEDC=15°,

\AE=DE,

.\ZDAE=ZADE=15°,

ZAED=180。—ZDAE-ZADE=150°,

?：AE=BE

:.ZAEB=ZEAB,

2ZAEB=180°-ZABE=150°,

:.ZAED^2ZAEB,

故結(jié)論③正確；

在RtA4BG中，BG1AB-+AG2,

3AG2=AB2,

AG=—AB,

3

BG=—AB,

3

■.■AD\\BC,

:./\AFG^^\CFB

BF_BC

,FG-AG)

BFAB

"BG-BF-AG'

BF48

-AB-BF—AB'

33

ABBF,

2

故結(jié)論④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是①③④，

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的

判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

4.D

【分析】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明

△EFC絲AAEWAAS)可判斷①，連接AF,可得旃=缶，根據(jù)垂線段最短即可判斷②，證明

VDHFsvCEE可判斷③，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,?,四邊形為矩形，

ZC=ZB=ZD=90°,AB=DC.AD=BCf

V四邊形AEFG為正方形，

:.FE=EA,ZFEA=90o,

ZCFE+ZCEF=ZBEA+ZCEF=90°,

:.ZCFE=ZBEAf

.△CFE學(xué)#EA（AAS）,

:.CD=AB=CE=b,故①正確；

如圖，連接AF,

根據(jù)垂線段最短，可得AFNAD,即缶2Q+b，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時，取等號，

?：-BC<AB<BC

2f

???點(diǎn)/不可能與點(diǎn)。重合，(否則可知。=5245=3。)

:.a+b<^/2c9故②正確；

QCF=EB=a,

:.DF=DC-CF=b-a,

由題意可知：/D=/EFG=90。,

/DHF+ZDFH=/EFC+ZDFH=90。,

QZDHF=ZEFC,

???NZ)=NC=90。，

:NDHF^NCFE,

DFFHb-aFH

二.——=——，即an----=——,

CEFEbc

;.HF=^b-a),故③正確，

b

綜上所述，正確的為①②③，

故選：D.

5.C

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理等等，連接AG8。交于。，連接AG，設(shè)AB=2a,可證明AC經(jīng)過點(diǎn)。，在正方形

ABCD中，AC=&B=2垃a，ZAO8=90。，/(MB=45。，貝|04=34。=缶，再求出

A4j=O\=AB=a,AAflA=45°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。&=。\=a,Z/^OA,=45°,則A4,O三點(diǎn)共

線，證明A是等腰直角三角形，進(jìn)而可證明△血是等腰直角三角形，根據(jù)NE4c=NLAC=45。，

可得EL=2叫=2(Q4-O4)=20a-2a,4是線段￡L的中點(diǎn)，則4￡=手瓦=2。-缶，據(jù)此可判斷

①②；可證明，LK=JI=GH=KJ=HI=FG=EF=EL=2-Jia-la.據(jù)此可判斷③；證明

AAEL-AA4.Z),,可得幺］=3+2^,據(jù)此可判斷④.

S&AELIAEJ2

【詳解】解:如圖所示，連接AC,BD交于0,連接AG，設(shè)AB=2a,

?..四邊形ASCD是正方形，A，穌G，2分別是四邊形ABC。的四條邊的中點(diǎn)，

.?.4G經(jīng)過點(diǎn)0，

在正方形ABC。中，AC=?AB=2垃a，NAC?=90。，/OAB=45。，則。4=；47=缶,

：4為AB的中點(diǎn)，

AAX=OAX=^AB=a,ZAlOA=45°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=04=。，/4。4=45。，

A4,。三點(diǎn)共線，

Q是AD的中點(diǎn)，

AA—AD,——AD—a,

2

△441A是等腰直角三角形，

/A41n=45°,

*/EL〃AR,

ZAEL=ZAAlDl=45°,

△血是等腰直角三角形,

又,?ZEAC=ZLAC=45°,

.?.包=2442=2（。4-。42）=2（缶-4=2缶-2°,4是線段EL的中點(diǎn)，故②正確；

/.AE=-EL=2a-^2a,

2

：.AE^t-AB,

3

:.E,尸是線段AB的三等分點(diǎn)，故①錯誤；

同理可得3尸=2。-缶，

,?EF=AB-A.E-BF=2a-2a+^2,ct—2a+=2y[^a—2。，

同理可得KJ=HI=FG=2后-2a，LK=JI=GH=，

???LK=JI=GH=KJ=HI=FG=EF=EL,

:.EFGHUKL是正八邊形,故③正確；

?.,EL//\DX,

AAEL^AA^Dj,

號，故④錯誤；

故選：C.

6.C

【分析】由作圖過程可知，ZAOM=ZB,ABDEdOFG,可判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)應(yīng)證明

△AOA/SAMC可判斷選項(xiàng)c；由平行線分線段成比例定理可判斷選項(xiàng)。.

【詳解】解：由作圖過程可知，ZAOM=ZB,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

由作圖過程可知，BD=BE=OF=OG,DE=FG,

：.ABDE^OFG（SSS）,故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

*.?ZAOM=ZB,

：.OM//BC,

.OMAO

??正一刀

是AB邊的中點(diǎn)，

JAO=BO=-BC,

2

丁AB>BC,

OMAB,故C選項(xiàng)不正確，符合題意，

OM//BC,

.AMAO,

"CM-BO-'

：.AM=CM,D選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

7.A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，完全平方公式變形公式，先證明可得

a2=bc,再用完全平方公式變形公式構(gòu)建不等式判斷剩下兩個選項(xiàng)，熟練運(yùn)用完全平方公式變形公式構(gòu)建

不等式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??四邊形Q4BC為正方形，

ZDAB=NBCE=ZO=90°,

NODE+ZOED=Z.ODE+NDBA,即ZDBA=NBEC,

:.ADBAsABEC,

DAABba

——=——，即Hn一一，

BCCEac

：.a2-be>故①正確；

1.,{b+cy-4&c=(Z?-c)2>0,當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時，取等號，

/.(Z?+c)2-W>0,

/.(Z?+c)2>4a2,

,,,a,b,c>0,

:.b+c>1a,故②正確；

=

S]+So——cib+—etc_+,

?：b+c>2a,

2

S；+S2>a,即SI+S22s3,

故③錯誤；

則正確結(jié)論為①②，

故選：A.

8.B

【分析】本題主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，互為余角等知識點(diǎn),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用.

利用直角三角形的判定方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，互為余角等知識逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：

ZADC=ZBDC=90°,ZA+ZACD=90°,ZB+NBCD=90°,

①當(dāng)NA=N3CD時，ZBCD+ZACD=90°,

即ZACB=90°,

...MBC是直角三角形，故①正確，符合題意;

②當(dāng)NA+/5CD=NADC時，無法證明M8C是直角三角形，故②錯誤，不符合題意；

③當(dāng)絲=02時，且NADC=N3￡>C=90。，

CDBD

:.AADCS^/CDB,

ZA=N3CD,同①可得MBC是直角三角形，

故③正確，符合題意；

綜上，所有正確條件的序號是①③，

故選：B.

9.D

【分析】本題考查了等邊三角形的判定性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；由三角形內(nèi)

角和及等邊三角形的性質(zhì)得=由對頂角相等即可得=故①正確；證明

△BDEs^AGD,再利用刀尸=0￡即可得到AD切尸=BE-OG,故②正確；禾！J用ABDESAAGD,即可得

DFJ.AC,故③正確；當(dāng)CE:3E=1:2時，由3。=2CE得3。=5E,從而得是等邊三角形，貝U

BD=DE=BE,從而BD=DF=EF=BE,即四邊形DBEF是菱形，故④正確，最后確定答案.

【詳解】解：：AABC,A￡>￡F都是等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=ZDEF=ZEDF=60°,

：.ZBED+ZHEC=Z.HEC+Z.EHC=120°,

NBED=/EHC,

'：ZAHF=ZEHC,

：.ZBED=ZAHF,故①正確；

,?ZA=ZB=/EDF=60。,

：.ABED=180°-ZB-NBDE=120°-ZBDE=ZADG,

：?ABDES△AGD,

.BEDE,—

..—=—,即nrl皿。石=

ADDG

ADEF是等邊三角形，

***DF=DE,

:?ADDF=BE.DG,故②正確；

丁ED工AB,

：.ZEDB=90°；

?:.BDEs^AGD,

?ZDGA=NEDB=9U0,

即止1AC,故③正確；

當(dāng)CE:8E=1:2時，gpBE=2CE;

,?BD=2CE,

：■BD=BE,

'：ZB=60°,

：.是等邊三角形，

/.BD=DE=BE,

"：DE=DF=EF,

：.BD=DF=EF=BE,

四邊形。班F是菱形，故④正確；

綜上，全部正確；

故選：D.

10.46

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì).利用勾股定理求得AD=2百，

證明△ZMESAQV),利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：DEJ.AC,：.ZDEA=90°,

VAE=2,DE=4,

AD=>JAE2+DE2=A/22+42=26，

?.?矩形ABC。，

ZAZ)C=90°,

VZAED=ZADC=90°,ZDAE=ZCAD,

：.ADAE^/\CAD,

.CDADCD2A/5

??---------,即----二-----，

DEAE42

解得。。=4百，

故答案為：4A6.

11.6

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能求出尸和求出

CD=3〃是解此題的關(guān)鍵.設(shè)AE=2a,BE=a,則AB=3々，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD=3〃,

AB//CD,證出△班尸得出比例式，代入求出即可.

【詳解】解：???AE:BE=2:1,

設(shè)AE-2a,BE=a,貝！JAB=3a,

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD=3a,AB//CD,

/\BEFS^DCF,

BF_BE

DF-DC

,/BE=a,CD=3a,BF=2,

.2a

DF3J

解得：DF=6?

故答案為：6.

12.^/-V2

44

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD〃BC,推出AADFS△的，得出。尸=33尸，再代入數(shù)據(jù)即可求

解.

【詳解】解：?,?正方形ABCD,

..AD//BC,AD=AB=3,BD=-J2AB=3A/2;

.△ADFSAEBF,

DFAD3

??———3,

BFBE1

:.DF=3BF,

DF+BF=BD,

:.3BF+BF=3^2，

解得：BF=—.

4

故答案為：越.

4

13.1

8

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識.根

據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=AB=5,/BCD=9。。,根據(jù)勾股定理求出DE=4,證明"EC-^CED,根據(jù)相

9

似三角形的性質(zhì)求出3￡=:，即可求解.

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=5,

:.CD=AB=5,ZBCD=90。,即NBCE+NDCE=90°,

VCE1BD,CE=3,

,DE=dCD「CE2=6-32=4,NEDC+NDCE=90°,

LBCE=4EDC,

■：ZBEC=ZCED=90°,

&BEC^^CED,

CEBE3BE

——=——,即nn一=——

DECE43

吟

S^BCE=-CE?BE=-x3x9二一,

228

27

故答案為：—-.

o

14.24

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，設(shè)AC與OE交于點(diǎn)G,根據(jù)平移的性質(zhì)及相

似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算的面積即可.掌握平移的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解:如圖，設(shè)AC與OE交于點(diǎn)G.

?.?將44BC沿8C邊向右平移2個單位長度得到GEF,

:.BE=2,AB//DE,

:.CE=BC-BE=4-2=2,AGEC^AABC,

.CE_2I

"CB-4-2)

SGEC(CE?Rn61

S4ABeI?？赟.ABC4

S4ABe=24.

故答案為：24.

達(dá)36

2

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，證得尸是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理可得EC=3、AE=s[5,再證明然后根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)列比例式求解即可.

【詳解】解：：四邊形是矩形，

ZB=ZC=90°,BC=AD=4,

:?EC=BC—BE=4—1=3,AE二屈二也,

ZB=ZC=90°,

JZBAE-^-ZAEB=90°,

VAE±EF,

AZA￡B+ZCEF=90°,

???ZBAE=NCEF,

Z\ABEs△石CF,

.AEAB即備j解得：EC*

*EF-EC

故答案為:哼.

5_

16.

2

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由平行線得出相似三角

形，由菱形的性質(zhì)得出線段的長度關(guān)系.

根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得出AE=4,根據(jù)菱形的對邊平行且相等的性質(zhì)，可證得ABE尸尸,

可得失=三，再根據(jù)3E=3,AO=5,據(jù)此即可求得?

AFDA

【詳解】解：,在菱ABCD中，AD//BC,S.AD=BC=AB=5,EC=2,AELBC,

.NBEF^NDAF,BE=5-2=3,AE=4AB1-BE1=4，

.EFBE_3

"AF~DA~5J

:.AF=-EF=-AE=-x4=~,

3882

故答案為：

17.-

3

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=3C,ZABP=ZCBP=45°,ZABC=90°,根據(jù)全等三角形的判定和

性質(zhì)得出AP=PC=M，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求出BE=EP=1,根據(jù)勾股定理求出

AE=3,則AB=4,根據(jù)平行線的判定定理得出PE〃w，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：四邊形AB8是正方形，8。是四邊形ABC。的對角線，

AAB=BC,ZABP=ZCBP=45°,ZABC=90°,

又：BP=BP,

：.AABP^ACBP(SAS),

AP=PC=y/lO,

PELAB,

即/PE8=90°,

又：ZABP=45°,

/.△BEP是等腰直角三角形,

：?BE=EP=L

在RLxAPE中，吊石二lAP2-PE2=J（而『一仔=3,

AB=AE+EB=4,

?；NPEB=9伊,ZABC=90°,

:.PE//BF,

:.AAEP^AABF,

,AE_EP

??布―茄’

、4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，平行線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(1)見解析

3

(2)9的長為萬.

【分析】(1)證明AC=CE，利用垂徑定理即可證明CDLAE;

(2)設(shè)。/=3左(左>0),則5尸=43OA=OD=OB=lk,證明推出△OQHs^GQ4,

Z\DHF^^EAF,求得DHJ辰+小BH,=”=8限+2廊”,得到

7k10k

7下k+非BH=8&+2/5”,據(jù)此求解即可.

7k10k

【詳解】(1)證明：連接AD,

ZCDE=-ZAOC,

2

JZCDE=ZADC,

??AC=CE，

?：OA=OE,

：.CD±AE；

(2)解：由(1)知CDLAE,

AG=-AE=45,

2

..0F_3

*FB~4f

.\^OF=3k(k>0)f則5尸=43OA=OD=OB=7k,

????！ㄊ?。的切線，CD是。。的直徑，

C.CDVDH,

AE//DH,

:?ADOHS^GOA,△DHFs^EAF,

,PHOHPHFH

-OA'-EA?

PH_7k+BHPH4k+BH

口正一7k，2^/5~10k?

?n口「非k+&H八口_8瓜+2^BH

Ik10k

?7限+后BH_8限+2非BH

Ik―10^’

整理得70非k+10布BH=56&+14y/5BH,

7

解得=

2

DH=7限+所8=年,OH=OB+BH=—k,

1k22

在RtAODH中，由勾股定理得OD2+DH2=OH2,

"：k>0,

:?k=—,

7

733

**?BH=—^=—,即BH的長為大.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次根

式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

19.(1)證明見解析

（2）①見解析②EF=；HD；證明見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握

等腰三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意變=1，BC//EF,EFJBC,由CB=AF,得到斯=1AF即可求解；

（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②延長DA到P,使AP=AD,連接尸反尸G,則=

由（1）得EF=；BP,可證EGP三"fG/XSAS）,得至1]BP=HD,即可求解.

【詳解】（1）證明：\'ZABD=ZADB,

AB=AD，

\-AF±BD,

:.BF=DF,

DF1

?,?=_一，

BD2

-,-CB±BD,AF-LBD,

:.ZCBD=ZEFD=90°f

BC//EF,

EF_DF_1

一玩一茄'

:.EF=-BC,

2

又；CB=AF,

,-.EF=-AF-

2

（2）解：①依題意補(bǔ)全圖形，如圖：

②所與加之間的數(shù)量關(guān)系是跖[加,

證明：延長D4到P,使AP=AD,連接P5,PG,

BF=DF,AP=AD,

AF=-BP,

2

又?.?由(1)得E/=1A尸，

2

:.EF=-BP,

4

???以G為圓心，3G長為半徑作弧，交A5于

/.BG=HG,

.-.Z1=Z2,

/.ZBG^/=180°-2Z1,

\AP=AD,GA-LAD,

：.GP=GD,

:.ZAPG=ZADBf

-,ZABD=ZADB,ZABD=Z1,

.\ZAPG=ZADB=Z1,

/.ZPGD=180°-2Z1,

:.ZBGH=NPGD,

:.ZBGP=ZHGD,

.△BG尸工AHGD(SAS),

:.BP=HD,

:.EF=-HD,

4

20.(1)K4是OO的切線

(2)1

【分析】(1)先利用圓周角定理證得NAQ?=90。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得NB4O=90。，然后利用切

線的判定得出結(jié)論；

(2)先證明再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，設(shè)OD=k,接著用人表示出05,

然后利用勾股定理求得50,代入比例式中，求得PD,再利用線段的和求得的，得到關(guān)于左的方程，求

出左，最后求出05.

【詳解】(1)證明：如圖，連接Q4.

???ZACB=45°,

,\ZAOB=2ZACB=90°.

?.-PA//OB,

:.ZPAO=ZAOB=90°.

???AO是半徑，

.?.P4是。。的切線.

(2)設(shè)，4與族相交于點(diǎn)D

?.-PA//OB,

:.ZOBP=ZP.

ZBDO=ZADPf

..^OBD^AAPD.

.OP_BD_OB

,AD~PD~AP9

OB_1

，~AP~2"

OPBDOB1

,AD~PD~AP~12'

-OB=OAf

OPOP_1

,'OB~~OA~3'

設(shè)OD=k,則OB=3k.

???在RtZXQBO中，BD=yjOB2^OD2=y/lQk-

*PD-2,

...PD=2?k.

：.PB=PD+BD=3sJT5k.

???PB=M,

：.3y/10k=M，

k.

OB=3左=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用平行線的性質(zhì)求角度，解題

的關(guān)鍵是證明三角形相似，列出比例式求出待求線段的長.

21.（1）①片、片；②應(yīng)-\MOPM3

⑵f=-2或4-2夜VY6

【分析】（1）①將。。沿射線。4方向平移。4的長的距離，可以得到0A,且。A半徑為1,根據(jù)新定義可

知。。關(guān)于點(diǎn)A的“位移點(diǎn)”在OA上，再逐個分析即可判斷；②。。沿射線OC方向平移OC的長的距離，

可以得到OC,且OC半徑為1,根據(jù)新定義可知點(diǎn)尸在OC上，再利用線段的性質(zhì)得到OP的最小值為

|OC-1|,OP的最大值為OC+1,再對OC的長分情況討論即可求解；

（2）分①點(diǎn)尸在OD的右側(cè)；②點(diǎn)P在。D的左側(cè)2種情況討論，連接。S,以O(shè)S為斜邊作等腰直角三角

形△。尸S,作軸于作SGLEF/于G,連接尸尸，利用相似三角形的性質(zhì)求出P產(chǎn)=1，利用全等

三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)歹的坐標(biāo)，得出點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)尸為圓心，半徑為1的圓，記為。/；將線段A8

沿射線OT方向平移07的長的距離，可以得到線段AE,根據(jù)新定義可知在線段AE上存在一點(diǎn)CL使得

點(diǎn)尸在以C'為圓心，半徑為1的圓上，記此時的圓為。。，再討論。/與。C'的位置關(guān)系即可求出f的取

值范圍.

【詳解】（1）解：①?.?4（2,0）,。。半徑為1,

,。。沿射線。4方向平移。4的長的距離，可以得到。A,且。A半徑為1,

鳥在。A上,

00關(guān)于點(diǎn)A的“位移點(diǎn)”是《、鳥，

故答案為：A、A；

②由題意得，0。沿射線OC方向平移OC的長的距離，可以得到OC,且OC半徑為1,

1■1點(diǎn)P為。。關(guān)于點(diǎn)C的“位移點(diǎn)”，

???點(diǎn)P在OC上，

:.PC=\,

■.\OC-PC\<OP<OC+PC,

:.\OC-^<OP<OC+\,

???OP的最小值為|OCT|,OP的最大值為oc+l,

?.,點(diǎn)C在線段AB上，

.?.當(dāng)OCLAB時，OC最??；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，OC最大，

當(dāng)OC_LAB時，

?.Q=O3=2,ZAOB=90°,

O\A-x

.?.△A03是等腰直角三角形，AB=~JiOA=2五,

XvOC±AB,

0C=|AB=V2,止匕時OP的最小值為|OC-1|=夜一1；

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，

貝！|OC=Q4=2,此時0P的最大值為OC+1=2+1=3,

綜上所述，O尸的長的取值范圍為0-140尸43.

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)尸在OD的右側(cè)，連接0S,以0s為斜邊在右側(cè)作等腰直角三角形△。尸S,作加，x軸

于H,作SG_LFH于G,連接尸產(chǎn)，如圖所示,

?:4FS和AO￡?P是等腰直角三角形,

區(qū)"""°P=NS°F=45。'

ZDOP-ZDOF=ZSOF-ZDOF,即ZPOF=ADOS,

:.AOPFSQDS,

PFOP1

而一訪一雙'

NOES=90°,

:.ZOFH-^-ZGFS=90°,

又?/NOFH+ZHOF=90°,

Z.GFS=ZHOF,

又ZSGF=ZFHO=90°,FS=OF,

..△PGS絲AOHF(AAS),

:.GS=HF,FG=OH,

設(shè)GS=HF=a,FG=OH=b,

a+b=6a=2

由點(diǎn)S（2,6）可得b“2,解得

Z?=4

.?.—4,2),

...點(diǎn)P的軌跡是以（4,2）為圓心，半徑為1的圓，記為。尸；

將線段A2沿射線OT方向平移07的長的距離，可以得到線段AE,則有A（2+r,0）,B'@2）,

???eT半徑為1,點(diǎn)E在eT上，

:.TE=l,

又???點(diǎn)P為線段AB關(guān)于點(diǎn)E的“位移點(diǎn)”，

在線段上存在一點(diǎn)CL使得點(diǎn)P在以C'為圓心，半徑為1的圓上，記此時的圓為。＜7,

當(dāng)點(diǎn)C'與點(diǎn)笈重合，且。C與相