第六章壓桿的穩(wěn)定性計算本章主要討論壓桿穩(wěn)定性的概念，三類壓桿的臨界力與臨界應(yīng)力的計算公式，壓桿穩(wěn)定性的計算方法以及提高壓桿穩(wěn)定性的措施?！?-1壓桿穩(wěn)定性的概念§6-2壓桿的臨界力與臨界應(yīng)力§6-3壓桿的穩(wěn)定性計算問題：§6-1

壓桿穩(wěn)定性的概念取一根長為300mm的矩形截面鋼尺，橫截面尺寸為20mm

1mm，材料的屈服應(yīng)力為

s=235MPa,承受軸向壓力作用。實際上，當(dāng)壓力不足40N時，鋼尺就沿厚度方向突然彎曲而喪失承載能力。按照強(qiáng)度條件，此壓桿的屈服壓力為

Fs＝

s

A＝23520

1=4700N細(xì)長壓桿之所以喪失承載能力，不是因為壓縮強(qiáng)度不夠，而是因為不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。？FF減小壓桿的長度，其能承受的壓力也相應(yīng)提高，當(dāng)壓桿很短時，受壓后不再發(fā)生彎曲變形，能承受的壓力才接近于屈服壓力Fs的大小。F一、壓桿失穩(wěn)的概念對于細(xì)長桿件，受壓開始時軸線為直線，接著被壓彎，發(fā)生大的彎曲變形,最后折斷。壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)而突然變彎的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。構(gòu)件的承載能力穩(wěn)定性強(qiáng)度

剛度工程實例工程實例工程實例工程實例搖臂氣閥挺桿

桁架結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定性工程實例工程實例工程實際中一些受壓力的薄壁構(gòu)件，如果外力過大，也會發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。工程實例點擊動畫平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性：物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾并保持原平衡狀態(tài)的能力。小球平衡的三種狀態(tài)：二、平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性：穩(wěn)定平衡隨遇平衡（臨界狀態(tài)）不穩(wěn)定平衡外界的微小干擾消除后，若能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，則平衡是穩(wěn)定的；否則，平衡是不穩(wěn)定。(小球穩(wěn)定性)穩(wěn)定平衡FF<Fcr不穩(wěn)定平衡FF>FcrF<Fcr臨界平衡F=Fcr2.壓桿的穩(wěn)定性F>Fcr直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定取決于軸向壓力的大小。結(jié)論：—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

關(guān)鍵確定壓桿的臨界力Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界力:Fcr過度對應(yīng)的壓力臨界力（臨界載荷）是壓桿保持直線平衡狀態(tài)所能承受的最大載荷，臨界力的大小標(biāo)志著壓桿穩(wěn)定性的強(qiáng)弱，臨界力越大，壓桿的穩(wěn)定性越強(qiáng)，越不容易失穩(wěn)。§6-2壓桿的臨界力與臨界應(yīng)力一、細(xì)長壓桿的臨界力1.兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力圖示兩端鉸支（球鉸）的細(xì)長壓桿，當(dāng)壓力F達(dá)到臨界力FCr時，壓桿在FCr作用下處于微彎的平衡狀態(tài)，考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡根據(jù)桿端邊界條件，求解上述微分方程可得兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力——?dú)W拉公式

兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力:在臨界力作用下的撓曲線方程:

——兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷的歐拉公式臨界力FCr

是微彎下的最小壓力，當(dāng)壓桿失穩(wěn)時，桿將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲，所以式中I應(yīng)為橫截面的最小二次軸矩,即I=Imin?！氩ㄕ仪€，A為桿中點處的位移。

——?dú)W拉公式

2.其它約束情況下細(xì)長壓桿的臨界力公式類比法：認(rèn)為具有相同撓曲線形狀的壓桿，其臨界力亦相同。

將其它桿端約束情況下壓桿的撓曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀對比，從而得到相應(yīng)桿端約束下壓桿的臨界力表達(dá)式。細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式寫成統(tǒng)一形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7

兩端固定:

＝0.5

兩端鉸支:

＝1.0式中，ml稱為相當(dāng)長度，表示桿端約束條件不同的壓桿長度l折算成兩端鉸支壓桿的長度，m稱為長度因數(shù)。

在垂直于軸銷的平面（xz面）內(nèi)，柱銷對桿的約束相當(dāng)于鉸支；而在軸銷平面（xy面）內(nèi)，柱銷對桿的約束接近于固定端。柱狀鉸：討論：（１）細(xì)長壓桿的臨界載荷（２）從強(qiáng)度分析討論：試比較圖示細(xì)長圓截面連桿的臨界載荷FCr

與屈服載荷。已知：長度l=800mm，直徑d=20mm,材料為Q235鋼，E＝200GPa?？梢?，連桿的破壞主要是失穩(wěn)問題。二、臨界應(yīng)力與柔度壓桿在臨界力Fcr作用下處于直線平衡狀態(tài)時，其橫截面上的平均正應(yīng)力，即1.壓桿的臨界應(yīng)力（criticalstress）i—截面對失穩(wěn)時轉(zhuǎn)動軸的慣性半徑，其大小取決于截面的形狀和尺寸，計算公式為表示壓桿的長度、橫截面形狀和尺寸、桿端的約束情況對壓桿穩(wěn)定性的綜合影響。

2.柔度（長細(xì)比）三、三類壓桿的劃分及其臨界應(yīng)力1.大柔度桿（細(xì)長壓桿）及其臨界應(yīng)力——截面對失穩(wěn)時轉(zhuǎn)動軸的慣性半徑?！硎緣簵U的長度、橫截面形狀和尺寸、桿端的約束情況對壓桿穩(wěn)定性的綜合影響。

柔度（長細(xì)比）：——臨界應(yīng)力的歐拉公式歐拉公式的適用范圍：例：Q235鋼，歐拉公式的適用范圍:

，稱大柔度桿（細(xì)長壓桿）。（細(xì)長壓桿臨界柔度）彈性穩(wěn)定問題。

2.中柔度桿（中長壓桿）及其臨界應(yīng)力——直線型經(jīng)驗公式式中，a、b為與材料有關(guān)的常數(shù)，單位為MPa。

由于當(dāng)應(yīng)力達(dá)到壓縮極限應(yīng)力時，壓桿已因強(qiáng)度問題而失效，因此上述直線經(jīng)驗公式的使用條件是：工程實際中常見壓桿的柔度往往小于lp，其臨界應(yīng)力超過材料的比例極限，屬于非彈性穩(wěn)定問題。這類壓桿的臨界應(yīng)力通常采用直線經(jīng)驗公式計算，即令可得式中su材料的壓縮極限應(yīng)力。對塑性材料，其壓縮極限應(yīng)力為屈服極限ss；對脆性材料，其極限應(yīng)力為壓縮強(qiáng)度極限sbc。

柔度的壓桿稱為中柔度桿或中長壓桿，其臨界應(yīng)力由直線經(jīng)驗公式計算。3.小柔度桿（短粗壓桿）及其臨界應(yīng)力小柔度桿不存在失穩(wěn)問題，主要是由于應(yīng)力達(dá)到材料的壓縮極限應(yīng)力

u時因壓縮強(qiáng)度不足而失效，若在形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮，則將材料壓縮的極限應(yīng)力

u看作臨界應(yīng)力柔度的壓桿，稱為小柔度桿或粗短桿。

☆臨界應(yīng)力一般公式:表：直線公式的系數(shù)a、b及柔度值

p、

u值材料a/MPab/MPa

p

uQ235鋼、10鋼、25鋼3041.121006035鋼4612.5681006045鋼、55鋼5783.74410060鑄鐵332.11.45480硬鋁3722.1450松木28.70.1911040——?dú)W拉公式——直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿lsbacr-=4.臨界應(yīng)力總圖：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系圖。臨界應(yīng)力總圖：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系圖。細(xì)長桿—發(fā)生彈性失穩(wěn)(

p)中長桿—發(fā)生彈塑性失穩(wěn)(

u≤<p)粗短桿—不發(fā)生失穩(wěn)，而發(fā)生強(qiáng)度失效(<u)例7-1

計算如圖所示三種不同桿端約束壓桿的臨界力。已知壓桿的材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa，桿長l=300mm，截面為b×h=12mm×20mm的矩形。故此桿屬于大柔度桿，應(yīng)采用歐拉公式計算其臨界應(yīng)力，其臨界力為由表查得Q235鋼的lp=100，lu=60，a=304MPa，b=1.12MPa(1)一端固定，一端自由的壓桿

解

截面的最小慣性半徑為（2）兩端鉸支的壓桿

故此桿屬于中柔度桿，應(yīng)采用直線公式計算其臨界應(yīng)力，其臨界力為（3）兩端固定的壓桿

故此桿屬于小柔度桿，其臨界應(yīng)力為材料的壓縮極限應(yīng)力，其臨界力為一、壓桿穩(wěn)定條件

nst

——穩(wěn)定安全因數(shù),

工作安全因數(shù)nst：臨界力Fcr與壓桿工作壓力F的比值。壓桿的穩(wěn)定條件：為使壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，工作安全因數(shù)必須大于等于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)

nst

，因此壓桿的穩(wěn)定條件為

壓桿的穩(wěn)定性條件可以解決穩(wěn)定性校核、設(shè)計截面和確定許可載荷三類問題。

sst

——穩(wěn)定許用應(yīng)力。§6-３壓桿的穩(wěn)定性計算②計算臨界力、臨界應(yīng)力時，先計算柔度，判斷所用公式。③對局部面積有削弱的壓桿，計算臨界力、臨界應(yīng)力時，其截面面積和慣性矩按未削弱的尺寸計算。但進(jìn)行強(qiáng)度計算時需按削弱后的尺寸計算。①考慮到實際壓桿的初曲率、載荷偏心、材料不均勻等因素的影響，都會使壓桿的臨界應(yīng)力下降，因此，穩(wěn)定安全因數(shù)

nst

的取值一般比強(qiáng)度安全因數(shù)要大一些。在靜載下，對于鋼材

nst

＝1.8～3.0；對于鑄鐵

nst

＝4.5～5.5；對于木材

nst

＝2.5～3.5。一般地，中柔度桿的穩(wěn)定安全因數(shù)

nst

可取小些，大柔度桿取大些。④強(qiáng)度的許用應(yīng)力只與材料有關(guān)；穩(wěn)定的許用應(yīng)力不僅與材料有關(guān)，還與壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關(guān)。說明：例6-2

一螺旋千斤頂如圖所示，最大承重為F＝80kN，螺紋內(nèi)徑d＝40mm，螺桿旋出的最大長度l＝375mm，材料為Q235鋼，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)[nst]＝3，試校核螺桿的穩(wěn)定性。解(1)計算螺桿的柔度l螺桿可簡化為下端固定，上端自由的壓桿，長度因數(shù)

＝2,慣性半徑為ll柔度為（2）計算螺桿的臨界力由表查得Q235鋼的

p＝100，

u＝60。由于

u

p

，因此螺桿屬于中柔度桿，應(yīng)采用直線公式計算其臨界應(yīng)力。由表查得，a＝304MPa,b=1.12MPa，故臨界力為ll（3）校核螺桿的穩(wěn)定性所以此千斤頂螺桿滿足穩(wěn)定性要求。

例6-3

如圖所示一壓縮機(jī)連桿，材料為Q235鋼，兩端為柱鉸支承。已知l=2300mm,b=40mm,h=60mm,E=200GPa,lp=100，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)為[nst]＝4。試確定該壓桿的許可壓力。解（1）計算壓桿的柔度在xy平面內(nèi)，壓桿兩端鉸支，m=1，則（2）計算壓桿的許可壓力由于l=lz=133>lp，故應(yīng)由歐拉公式計算連桿的臨界應(yīng)力，壓桿的臨界力為許可壓力[F]=67kN。因為lz＞ly，連桿將在xy平面內(nèi)失穩(wěn)（繞z軸彎曲），因此應(yīng)按l=lz=133計算連桿的臨界應(yīng)力。在xz平面內(nèi)，壓桿兩端為固定端，m=0.5，則例6-4

一壓桿長l=1.5m，由兩根56566

等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力F=150kN，角鋼為Q235鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗公式求臨界壓力和安全因數(shù)（scr=304-1.12l

）。解

查表：一個角鋼：兩根角鋼圖示組合之后yz所以，應(yīng)由經(jīng)驗公式求臨界壓力臨界壓力安全因數(shù)例6-5

如圖所示桿AB的直徑d=40mm，長l=800mm，兩端可視為鉸支。材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa，比例極限

P=200MPa，屈服極限

s=240MPa，由AB桿的穩(wěn)定條件求[F].（若用直線公式a=304MPa，b=1.12MPa

）ABCF0.60.3