2.1

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1

兩實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)知識(shí)清單破依據(jù)a>b?a-b>0;a=b?a-b=0;a<b?a-b<0結(jié)論確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系等式與不等式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2

等式不等式對(duì)稱(chēng)性a=b?b=aa>b?b<a傳遞性a=b,b=c?a=ca>b,b>c?a>c加法a=b?a±c=b±ca>b?a+c>b+ca>b,c>d?a+c>b+d乘法a=b?ac=bc;

?

=

a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bca>b>0,c>d>0?ac>bda>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)知識(shí)辨析1.已知x∈R,比較x2與2x-3的大小.2.在應(yīng)用傳遞性時(shí),如果兩個(gè)同向不等式中有一個(gè)帶等號(hào),而另一個(gè)不帶等號(hào),如何傳遞?3.a,b,c為實(shí)數(shù),則a>b是ac2>bc2的什么條件?一語(yǔ)破的1.作差:x2-(2x-3)=(x-1)2+2>0,所以x2>2x-3.2.不等關(guān)系能傳遞,等號(hào)不能傳遞下去.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到a>c.3.必要不充分條件.ac2>bc2隱含了c≠0,因此可以得到c2>0,由ac2>bc2可以推出a>b,必要性成立;

但沒(méi)有“c≠0”這個(gè)條件時(shí),由a>b推不出ac2>bc2,充分性不成立,因此a>b是ac2>bc2的必要不

充分條件.定點(diǎn)1比較實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小關(guān)鍵能力定點(diǎn)破比較實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小常用的方法(1)作差法:適用于作差后可化為積或商的形式.步驟:①作差;②變形;③判斷符號(hào);④下結(jié)論.(2)作商法:適用于同號(hào)兩數(shù)(式)比較大小.步驟:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④下

結(jié)論.注意:同為正的數(shù)(式)依據(jù)

>1?a>b和

<1?a<b得結(jié)論,若同為負(fù),則結(jié)論相反.典例(1)已知x<1,試比較x3-1與2x2-2x的大小;(2)已知a,b為正實(shí)數(shù),試比較

+

與

+

的大小.解析

(1)(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)

,∵x<1,∴x-1<0,又

+

>0,∴(x-1)

<0,∴x3-1<2x2-2x.(2)解法一(作差法):

-(

+

)=

+

=

+

=

=

.∵a,b為正實(shí)數(shù),∴

+

>0,

>0,又(

-

)2≥0,∴

≥0,∴

+

≥

+

.解法二(作商法):∵a,b為正實(shí)數(shù),∴

+

>0,則

=

=

=

=

=1+

≥1,∴

+

≥

+

.

-(

+

)2=

+

+2

-(a+b+2

)=

.∵a>0,b>0,∴

≥0,∴

≥(

+

)2.又

+

>0,

+

>0,∴

+

≥

+

.解法三(平方后作差):名師點(diǎn)睛

作差法是比較大小最常見(jiàn)的方法,其關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是“變形”,整式的變形手段

有因式分解、配方(二次式),分式可進(jìn)行通分,根式可進(jìn)行有理化等;二是判斷符號(hào),要能利用

條件判斷出各個(gè)部分的符號(hào).

利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍?利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同向不等式相加(乘)進(jìn)行解答;(2)借助所給條件整體求解,切不可隨意拆分所給條件;(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解.定點(diǎn)2典例(1)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,則z=9x-y的取值范圍是

(

)A.-7≤z≤26

B.-1≤z≤20

C.4≤z≤15

D.1≤z≤15(2)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤

≤9,則

的取值范圍是

.2≤

≤27B解析

(1)令m=x-y,n=4x-y,則x=

,y=

,所以z=9x-y=

n-

m.因?yàn)?4≤m≤-1,所以

≤-

m≤

.因?yàn)?1≤n≤5,所以-

≤

n≤

,因此-1≤z≤20.故選B.(2)設(shè)

=

(xy2)n,則x3y-4=x2m+ny2n-m,所以

所以

所以

=

(xy2)-1.易得16≤

≤81,

≤(xy2)-1≤

,所以2≤

(xy2)-1≤27.故

的取值范圍是2≤

≤27.

利用不等式的性質(zhì)證明不等式

利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形,變形一要考慮已

知不等式與未知不等式在運(yùn)算結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系,二要考慮變形要等價(jià),三要注意性質(zhì)適用的前

提條件.定點(diǎn)3典例(1)已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc;(2)若bc-ad≥0,bd>0,求證:

≤

.證明

(1)∵a>b,c>0,∴-ac<-bc.又e>f,即f<e,∴f-ac<e-bc.(2)∵bc-ad≥0,∴bc≥ad