章末復習第23章

圖形的相似【2025-2026學年華東師大版】數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：第23章

圖形的相似章末復習副標題：梳理知識脈絡，強化應用能力幻燈片2：知識框架圖圖形的相似├─

相似圖形的概念│

├─

定義：形狀相同的圖形│

└─

相似比：對應邊的比├─

相似三角形│

├─

定義：三個角分別相等，三條邊成比例│

├─

判定定理│

│

├─

兩角分別相等│

│

├─

兩邊成比例且夾角相等│

│

└─

三邊成比例│

└─

性質(zhì)│

├─

對應角相等，對應邊成比例│

├─

對應線段（高、中線、角平分線）的比等于相似比│

├─

周長比等于相似比│

└─

面積比等于相似比的平方├─

中位線│

├─

三角形中位線：平行于第三邊，且等于第三邊的一半│

└─

梯形中位線：平行于兩底，且等于兩底和的一半├─

位似圖形│

├─

定義：相似且對應頂點連線交于一點，對應邊平行│

├─

性質(zhì)：對應點到位似中心的距離比等于位似比│

└─

作圖：確定位似中心、位似比，作出對應點└─

圖形與坐標

├─

用坐標確定位置：有序數(shù)對、平面直角坐標系

└─

圖形的變換與坐標

├─

平移：右加左減，上加下減

├─

軸對稱：關于x軸縱變號，關于y軸橫變號

├─

旋轉(zhuǎn)：繞原點旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°的坐標規(guī)律

└─

位似：以原點為中心，坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky)幻燈片3：核心知識點1——相似圖形的概念相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形，與大小無關。相似多邊形：對應角相等，對應邊成比例的多邊形。相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)），相似比為1時，兩個圖形全等。注意：判斷兩個圖形是否相似，需同時滿足對應角相等和對應邊成比例?；脽羝?：核心知識點2——相似三角形的判定判定定理1（兩角）：兩角分別相等的兩個三角形相似。示例：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，若\(\angleA=\angleD\)，\(\angleB=\angleE\)，則\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)。判定定理2（兩邊一夾角）：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。示例：若\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，且\(\angleA=\angleD\)，則\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)。判定定理3（三邊）：三邊成比例的兩個三角形相似。示例：若\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)，則\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)。直角三角形相似的特殊判定：斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似。幻燈片5：核心知識點3——相似三角形的性質(zhì)基本性質(zhì)：對應角相等，對應邊成比例。對應線段的比：對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比。周長比：周長的比等于相似比。面積比：面積的比等于相似比的平方。示例：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(2:3\)，則周長比為\(2:3\)，面積比為\(4:9\)，對應中線的比為\(2:3\)?；脽羝?：核心知識點4——中位線三角形中位線：定義：連接三角形兩邊中點的線段。定理：平行于第三邊，且等于第三邊的一半。示例：若\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(AC\)的中點，則\(DE\parallelBC\)，\(DE=\frac{1}{2}BC\)。梯形中位線：定義：連接梯形兩腰中點的線段。定理：平行于兩底，且等于兩底和的一半。示例：若\(E\)、\(F\)分別是梯形\(ABCD\)兩腰的中點，則\(EF\parallelAD\parallelBC\)，\(EF=\frac{1}{2}(AD+BC)\)?；脽羝?：核心知識點5——位似圖形定義：相似且對應頂點的連線交于一點，對應邊平行（或共線）的圖形。位似中心：對應頂點連線的交點。位似比：對應邊的比（與相似比相同）。坐標特征：以原點為位似中心，位似比為\(k\)時，對應點的坐標為\((kx,ky)\)（同向）或\((-kx,-ky)\)（反向）。作圖步驟：確定位似中心→連接頂點與中心→按位似比截取對應點→連接對應點?；脽羝?：核心知識點6——圖形的變換與坐標平移：向右（左）平移\(a\)個單位：橫坐標加（減）\(a\)。向上（下）平移\(b\)個單位：縱坐標加（減）\(b\)。示例：\((x,y)\to(x+2,y-3)\)表示向右平移2個單位，向下平移3個單位。軸對稱：關于\(x\)軸對稱：\((x,y)\to(x,-y)\)。關于\(y\)軸對稱：\((x,y)\to(-x,y)\)。旋轉(zhuǎn)（以原點為中心）：旋轉(zhuǎn)180°：\((x,y)\to(-x,-y)\)。順時針旋轉(zhuǎn)90°：\((x,y)\to(y,-x)\)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°：\((x,y)\to(-y,x)\)?；脽羝?：考點突破1——相似三角形的判定與性質(zhì)綜合應用例題：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(DE=4\)，求\(BC\)的長及\(\triangleADE\)與\(\triangleABC\)的面積比。解答：由\(DE\parallelBC\)，得\(\triangleADE\sim\triangleABC\)（兩角分別相等）。相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)。由\(\frac{DE}{BC}=k\)，得\(BC=\frac{DE}{k}=4\times\frac{5}{2}=10\)。面積比\(=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)。結論：\(BC=10\)，面積比為\(\frac{4}{25}\)?；脽羝?0：考點突破2——位似圖形的應用例題：以原點為位似中心，將點\(A(4,6)\)按位似比\(\frac{1}{2}\)縮小，求對應點\(A'\)的坐標。解答：同向位似：\(A'(4\times\frac{1}{2},6\times\frac{1}{2})=(2,3)\)。反向位似：\(A'(4\times(-\frac{1}{2}),6\times(-\frac{1}{2}))=(-2,-3)\)。結論：\(A'\)的坐標為\((2,3)\)或\((-2,-3)\)。幻燈片11：考點突破3——圖形變換與坐標計算例題：點\(P(3,-2)\)經(jīng)過如下變換后得到點\(P'\)，求\(P'\)的坐標：（1）向左平移5個單位，再向上平移4個單位；（2）關于\(y\)軸對稱；（3）繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°。解答：（1）\((3-5,-2+4)=(-2,2)\)；（2）\((-3,-2)\)；（3）\((2,3)\)（根據(jù)規(guī)律\((-y,x)\)）。結論：（1）\((-2,2)\)；（2）\((-3,-2)\)；（3）\((2,3)\)。幻燈片12：易錯點警示相似與全等的混淆：全等是相似的特殊情況（相似比為1），但相似不一定全等。反例：邊長為2和4的等邊三角形相似但不全等。相似三角形判定中“夾角”的忽略：誤用“兩邊成比例且任意角相等”判定相似，必須是夾角。反例：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，\(\angleB=\angleE\)（非夾角），兩三角形不一定相似。面積比與相似比的關系錯誤：誤將面積比等于相似比，實際應為相似比的平方。糾正：相似比為\(1:2\)時，面積比為\(1:4\)。位似中心的位置誤解：位似中心可在圖形內(nèi)、外或邊上，并非一定在圖形外?；脽羝?3：綜合練習1——幾何證明題目：如圖，\(AB\parallelCD\)，\(AC\)與\(BD\)交于點\(O\)，求證：\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\)。證明：由\(AB\parallelCD\)，得\(\angleOAB=\angleOCD\)，\(\angleOBA=\angleODC\)（內(nèi)錯角相等）。故\(\triangleOAB\sim\triangleOCD\)（兩角分別相等）。由相似三角形性質(zhì)，\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\)?；脽羝?4：綜合練習2——動態(tài)問題題目：在\(\triangleABC\)中，\(AB=8\)，\(AC=6\)，\(BC=10\)，點\(P\)從\(B\)出發(fā)沿\(BC\)向\(C\)運動，速度為1單位/秒，設運動時間為\(t\)秒，過\(P\)作\(PE\parallelAB\)交\(AC\)于\(E\)，求\(t\)為何值時，\(\trianglePEC\)的面積為\(\triangleABC\)面積的\(\frac{1}{4}\)。解答：由\(AB^2+AC^2=BC^2\)，得\(\triangleABC\)是直角三角形，面積為\(24\)。由\(PE\parallelAB\)，得\(\trianglePEC\sim\triangleBAC\)，相似比\(k=\frac{PC}{BC}=\frac{10-t}{10}\)。面積比\(k^2=\frac{1}{4}\)，即\(\frac{10-t}{10}=\frac{1}{2}\)，解得\(t=5\)。結論：\(t=5\)秒?；脽羝?5：章末總結知識體系：從相似圖形的概念到相似三角形的判定與性質(zhì)，再到中位線、位似及坐標變換，形成完整的知識鏈。核心思想：轉(zhuǎn)化思想（將復雜問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題）、數(shù)形結合思想（通過坐標描述圖形變換）。學習建議：熟練掌握判定定理和性質(zhì)的條件與結論。多做綜合題，強化“找相似→用性質(zhì)→解問題”的邏輯鏈。注意細節(jié)，避免混淆相似比、面積比等易混概念。幻燈片16：作業(yè)布置基礎題：教材復習題第1-8題（鞏固概念與基本應用）。提升題：教材復習題第9-12題（綜合應用與動態(tài)問題）。拓展題：已知四邊形\(ABCD\)中，\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)分別是各邊中點，求證：四邊形\(EFGH\)與原四邊形相似（提示：利用中位線定理）。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解相似圖形坐標表示物體的位置相似多邊形相似三角形圖形的變換與坐標相似三角形的性質(zhì)和判定方法相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等；對應邊成比例、對應角相等的兩個多邊形是相似多邊形位似圖形三角形中位線三角形重心知識結構要點鞏固相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等.1.相似三角形的性質(zhì)①對應邊成比例.②對應角相等.③對應線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.2.相似三角形的判定（1）定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似.（2）平行法：平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似.2.相似三角形的判定（3）判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.（4）判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.（5）判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.3.相似三角形的應用構造相似三角形，建立數(shù)學模型，利用相似的有關知識解決實際問題.4.圖形與坐標（1）用坐標確定位置.①建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用坐標來確定物體的位置.②用“角度（方向）、距離”刻畫物體的位置.（2）圖形變換與坐標關于x軸對稱關于y

軸對稱關于原點對稱沿x

軸向右平移a

個單位沿y

軸向上平移b

個單位圖形以原點為位似中心縮放k

倍圖形變換變換后點的坐標變換前點的坐標(x，y)(x，-y)(-x，y)(-x，-y)(x+a，y)(x，y+b)(kx，ky)或(-kx，-ky)典例精析如圖，D

是AC

上的點，BE∥AC，BE=AD，AE

分別交BD、BC

于F、G，∠1=∠2.（1）圖中哪個三角形與△FAD

全等？證明你的結論.（2）求證：BF2=FG·EF.例1（1）BE∥AC，BE=

AD，易證△ADF≌△EBF.（2）把BF2=FG·EF

化為等比式，易猜想△BFG∽△EFB.由（1）知△ADF≌△EBF，∴∠E=∠1，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.∵∠EFB=∠BFG，∴△BFG∽△EFB，易得BF2=FG·EF.分析

已知：如圖所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN

于點E，交BC

于點D.（1）當AP:PB=1:2，S△ABC

=18cm2

時，S△APN

=_______；例2（2）若S△APN:S四邊形PBCN

=1:2，求AE:AD

的值；（3）若BC=15cm，AD=10cm，且PN=ED=x，求x

的值.（1）易證△APN∽△ABC，∴S△APN=2cm2.分析（2）∵△APN∽△ABC，（3）∵PN∥BC，解得x=6.隨堂演練1.若如圖所示的兩個四邊形相似，則α

的度數(shù)是（）A.97°B.87°C.77°D.90°A2.如圖，在正方形網(wǎng)格中，有△ABC、△DEF、△GHP，則下列說法正確的是（）A.△ABC∽△DEFB.△DEF∽△PGHC.△ABC∽△GHPD.△ABC∽△PGHD3.如圖，AB=8，AC=6，點D

在AB

上，點E

在AC

上，且AD=2，若△ADE

與△ABC

相似，則AE=_______.4.點A（-2，3）先向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到B

點的坐標為__________，B

點關于x

軸對稱點的坐標為___________.（-4，5）（-4，-5）5.如圖，在6×8網(wǎng)格中，每個小正方形邊長均為1，點O

和△ABC

的頂點均為小正方形的頂點.（1）以O

為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC

位似，且相似比為1∶2.（2）連接（1）中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長（結果保留根號）.A′B′C′解：（1）如圖所畫△A′B′C′.（2）四邊形AA′C′C的周長為6.如圖，Rt△AB′C′是由Rt△ABC

繞點A

順時針旋轉(zhuǎn)而得到的，連接CC′交斜邊于點E，CC′的延長線交BB′于點F.（1）證明：△ACE∽△FBE

；（2）設∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關系時△ACE與△FBE全等，并說明理由.（1）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A

順時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′

.∴∠CAC′=∠BAB′，∴△CAC′∽△BAB′，∴∠ACC′=∠ABB′，又∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE.（2）解：當β

=

2α

時，△ACE≌△FBE.在△ACC′中，∵AC=AC′，在Rt△ABC

中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α

+∠BCE=90°，∴∠BCE=α

.∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，∴CE=BE.由（1）知△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE.A返回一、基礎考點演練

1.若線段a∶b＝c∶d，其中b＝2cm，c＝2cm，d＝4cm，則線段a的長為(

)A．1cm

B．2cmC．3cmD．12cm返回10∶6∶15返回3．[2025鶴壁月考]已知a∶b＝5∶3，b∶c＝2∶5，則a∶b∶c＝________．返回返回甲和丁返回6.[2025三明期中]下列網(wǎng)格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似圖形的為________．返回2∶17．[2025平頂山期中]如圖，取一張長為a，寬為b的矩形紙片，將它對折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與原矩形紙片相似，則a∶b＝________．返回65°8.如圖，點P在△ABC的邊AB上，∠A＝70°，∠B＝45°，若△ABC∽△ACP，則∠APC＝________.609．△ABC的三邊長分別為4，5，6，△A′B′C′與△ABC相似且△A′B′C′的最長邊是24，則△A′B′C′的周長為________．返回返回9∶16返回③11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，下列3個三角形：①△CEB，②△CDB，③△DEB中，與△ABC相似的是________．(填序號)12．如圖，在正方形ABCD中，取邊BC的中點E，連結DE，過點E作EF⊥ED，交DA的延長線于點F.(1)求證：△ECD∽△DEF；證明：∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥ED，∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠CED＝∠EDF，∴△ECD∽△DEF.(2)若CD＝4，求AF的長．返回13.如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使三角形紙板的斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知三角形紙板的兩條邊DE＝0.4m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，則樹高AB為________m.16.5返回返回14．[2025新鄉(xiāng)期末]如圖所示，某品牌汽車左右兩個參照點A和F的距離為1.8m，這兩個參照點到地面BE的距離AC＝FD＝1.2m，若駕駛員的眼睛點P到地面BE的距離PG＝1.5m，則駕駛員的視野盲區(qū)BE的長度為________m.915.[2024浙江中考]如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連結BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長為________．4返回16.[2024重慶模擬]如圖，已知△A′B′C′與△ABC是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2∶3，下列結論錯誤的是(

)A．AC∥A′