深圳新安街道永聯(lián)學(xué)校中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題易錯匯編一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．探究：如圖1和2,四邊形中,已知，，點(diǎn)，分別在、上，．（1）①如圖1,若、都是直角，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則能證得，請寫出推理過程；②如圖2，若、都不是直角，則當(dāng)與滿足數(shù)量關(guān)系_______時，仍有;（2）拓展：如圖3,在中，,，點(diǎn)、均在邊上,且．若，求的長．解析：（1）①見解析；②，理由見解析；（2）【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3?x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】（1）①如圖1，∵把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，∴，，∵，，∴，∴，即，在和中∴，∴，∵，∴；②，理由是：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，使和重合，則，，，∵，∴，∴，，在一條直線上，和①知求法類似，，在和中∴，∴，∵，∴；故答案為：（2）∵中，，∴，由勾股定理得：，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到,使和重合，連接．則，，，∵，∴，∴，在和中∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，，∴，由勾股定理得：，，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．2．問題背景（1）如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大小．嘗試應(yīng)用（2）如圖（2）．在中，，分別以AC，AB為邊，作等邊和等邊，連接ED，并延長交BC于點(diǎn)F，連接BD．若，求的值．拓展創(chuàng)新（3）如圖（3）．在中，，，將線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時針，旋轉(zhuǎn)角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可得；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，得出，由直角三角形性質(zhì)得，則可計(jì)算得答案；（3）過點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質(zhì)求出BE、PE的長即可得解．【詳解】解（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，，，，，可以由繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時針，旋轉(zhuǎn)角是；（2)和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)BF=x，則CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，，如圖，過點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值為+1．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．3．如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，延長到點(diǎn)G，使得，連接．（特例感知）（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______________．（結(jié)論探索）（2）圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接并延長到點(diǎn)G，使得，連接，此時與還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，請直接寫出的長．解析：(1)=，(2)存在，證明見解析，（3）或或16或4．【分析】(1)連接GC，證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(2)類似（1）的方法，先證△AFD≌△AEB，再證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(3)根據(jù)E、F是直角頂點(diǎn)分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案為：=；(2)存在，連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，與（1）同理，=；(3)當(dāng)∠FEG=90°時，如圖1，因?yàn)椤螰EA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一條直線上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如圖2，E在CA延長線上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；當(dāng)∠EFG=90°時，如圖3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一條直線上，作AM⊥EF，垂足為M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如圖4，同圖3，BE=DF=7，F(xiàn)G=14，EF=6，，綜上，的長為或或16或4．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪B接輔助線，構(gòu)造全等三角形；會分類討論，結(jié)合題目前后聯(lián)系，解決問題．4．問題背景如圖1，點(diǎn)E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求證：．嘗試應(yīng)用如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)F在DC邊上，將△ADF沿AF折疊得到△AEF，且點(diǎn)E恰好為BC邊的中點(diǎn)，求的值．拓展創(chuàng)新如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，F(xiàn)C＝2．EC＝6．請直接寫出cos∠AFE的值．解析：（1）見解析；（2）；（3）cos∠AFE=．【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理證△ABE∽△ECD即可；(2)在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，則∠B=∠BGE，證△AGE∽△ECF，列比例式即可；(3)作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，同（2）構(gòu)造△AMF∽△FCE，證△AEF∽△FHD，求出AM長即可．【詳解】解：（1）∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD∴．（2）在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，則∠B=∠BGE又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°∴∠AGE=∠C∵∠B=∠D=∠AEF又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC∴∠BAE=∠FEC，∴△AGE∽△ECF∴，即∵EF=FD，∴∵GE=BE，AE=BC=2BE，∴（3）cos∠AFE=如圖：作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，由（2）同理可證△AMF∽△FCE，∴設(shè)AM=，F(xiàn)M=FD=，則AD=CD=，MD=，ND=∵∠AEF=∠FND=90°，∠AFE＝∠D，∴△AEF∽△FND，∴，即，∵，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；∴cos∠AFE=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是依據(jù)已知條件構(gòu)造相似三角形，列比例式解決問題．5．定義：如圖（1），點(diǎn)P沿著直線l翻折到，P到的距離叫做點(diǎn)P關(guān)于l的“折距”．已知，如圖（2），矩形中，，等腰直角中，，點(diǎn)G在上，E、B在的兩側(cè)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線上的動點(diǎn)，把沿著直線翻折到，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為，理解：（1）當(dāng)時，①若點(diǎn)在邊上，則點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為______；②若點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為12，則______．應(yīng)用：（2）若，當(dāng)點(diǎn)、、C、D能構(gòu)成平行四邊形時，求出此時x的值拓展：（3）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為t，直接寫出當(dāng)射線與邊有公共點(diǎn)時t的范圍．解析：（1）①；②3；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)計(jì)算即可；②設(shè)和相交于M，證明，即可得解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)在BC上時為最小值，當(dāng)在BC上時為最大值，通過相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）當(dāng)時，①若在BC上時，則，此時四邊形為正方形，在中，，∵點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為，∴點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為；②由題意可知，設(shè)和相較于M，則，且，在與中，，∴，∴，又，即，解得；（2）當(dāng)點(diǎn)、、C、D能構(gòu)成平行四邊形時，則與平行且相等，在中，，又，∴，即；（3）當(dāng)時，點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為t，且射線與邊的公共點(diǎn)范圍如圖所示，當(dāng)在BC上時為最小值，當(dāng)在BC上時為最大值，∴，∴，∴為等腰直角三角形，E到BP的距離為，當(dāng)在BC上時，，設(shè)與交于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)N，∴，又，∴，∴，∴，當(dāng)在BC上時，∵為EG中點(diǎn)，如圖于M，∴，，∴，∴t的取值范圍為；【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，結(jié)合勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個動點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．解析：（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，AM即可．（3）①證明△BCM∽△BAC，推出由此即可解決問題．②證明△PFA′∽△MFC，推出，因?yàn)镃M=5，推出即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，∴MN垂直平分線段BC，∴CN＝BN，∵∠MNB＝∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∵CN＝BN，∴AM＝BM．故答案為：AM＝BM．（2）如圖②中，∵CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B，由題意MN垂直平分線段BC，∴BM＝CM，∴∠B＝∠MCB，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴，∴，∴BM＝，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，∴；（3）①如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴∴，∴BM＝4，∴AM＝CM＝5，∴，∴AC＝．②如圖③﹣1中，∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，∴△PFA′∽△MFC，∴，∵CM＝5，∴，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，∴≤PA′≤，∴≤≤．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．7．平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點(diǎn)O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時針方向形如旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)α＝0°，即初始位置時，點(diǎn)P____直線AB上．（填“在”或“不在”）求當(dāng)α是多少時，OQ經(jīng)過點(diǎn)B？（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過程中．簡要說明α是多少時，點(diǎn)P，A間的距離最??？并指出這個最小值：（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時．求α及S陰影．拓展如圖．當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時，設(shè)BM＝x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍．探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．解析：發(fā)現(xiàn)：（1）在，15°；（2）當(dāng)α=60°時，最小距離為1；（3）30°，．拓展：x的范圍是；探究：sinα的值為或或．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)（1）在；當(dāng)OQ過點(diǎn)B時，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°．（2）如圖3．連AP，有OA＋AP≥OP，當(dāng)OP過點(diǎn)A，即α＝60°時等號成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1．∴當(dāng)α＝60°時．P，A間的距離最小．∴PA的最小值為1．（3）如圖3，設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E．在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°，∴α＝60°－30°＝30°．由AD//BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°．∴∠RKQ＝2×30°＝60°．，在Rt△RKE中，，，；拓展如圖5，∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，所以△AON∽△BMN．∴，即，∴．如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F．．∴x的范圍是．【注：如果考生答“或”均不扣分】探究半圓與矩形相切，分三種情況：①如圖5，半圓K與BC切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點(diǎn)G．Rt△OSK中，．Rt△OSO′中，，．Rt△KGO′中，∠O′=30°，KG=Rt△OGK中，②半圓K與AD切于點(diǎn)T，如圖6，同理可得．③當(dāng)半圓K與CD相切時，成Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)．∴α＝60°，∴．綜上述，sinα的值為或或．考點(diǎn)：圓，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，相似，三角形法則求最值8．如圖，分別為中上的動點(diǎn)（點(diǎn)除外），連接交于點(diǎn)P，.我們約定：線段所對的，稱為線段的張角.情景發(fā)現(xiàn)（1）已知三角形是等邊三角形，，①求線段的張角的度數(shù)；②求點(diǎn)P到的最大距離；③若點(diǎn)P的運(yùn)動路線的長度稱為點(diǎn)P的路徑長，求點(diǎn)P的路徑長.拓展探究（2）在（1）中，已知是圓P的外切三角形，若點(diǎn)的運(yùn)動路線的長度稱為點(diǎn)的路徑長，試探究點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長之間有何關(guān)系？請通過計(jì)算說明.解析：（1）①120°，②點(diǎn)P到的最大距離，③；（2）點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍）.【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)證△AEB與△BCF全等，得到∠EBA＝∠BCF，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠CPB的度數(shù)；②由題意可知當(dāng)PO⊥BC于點(diǎn)N時，點(diǎn)P到BC的距離最大，根據(jù)垂徑定理及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)P到BC的最大距離；③由題意知點(diǎn)P的路徑長為弧BC的長，在②的基礎(chǔ)上直接利用公式即可求出結(jié)果；（2）由題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP＋∠BCP＝60°，因?yàn)閳AP是△A'BC的內(nèi)切圓，由此可推出A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動點(diǎn)，其半徑為2，圓心角240°，根據(jù)弧長公式可直接求出其長度，并計(jì)算出點(diǎn)A'的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍．【詳解】解：（1）①∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴.∵，∴，.②（2）如圖所示，由于始終為，故過點(diǎn)作圓O,∴.當(dāng)于點(diǎn)N時，點(diǎn)P到的距離最大.∵，∴，∴，∴點(diǎn)P到的最大距離.③由②可知點(diǎn)P的路徑為的長度，即（2）點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是（或點(diǎn)的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍），理由：由（1）中題意可知張角的度數(shù)始終為，可得，又因?yàn)閳AP是的內(nèi)切圓，所以，所以，所以是等邊三角形外接圓上優(yōu)弧上的一動點(diǎn)，由題意可得等邊三角形外接圓的半徑為，點(diǎn)的路徑是優(yōu)弧的長度，即以的圓心角，半徑為的弧長，如圖，所以點(diǎn)的路徑長=，點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是：，所以點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍）.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形.9．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長線上，且，如圖，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時，如圖1，確定線段與的大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：_____（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：如圖2，題目中，與的大小關(guān)系是：____（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且．若的邊長為1，，求的長（請你直接寫出結(jié)果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，為等邊三角形，，∠A=60°，∴為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）如圖1，過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．（3）CD=1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖2過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM和△EBN中，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN=BM=，∴CN=1+=，CD=2CN=3；②如圖3，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴，∴，∴MN=1，∴CN=1-=，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解啊．10．（感知）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，易知，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．（探究）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的代數(shù)式表示）（2）求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式．（拓展）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，將線段繞著點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，連結(jié)、，則的最小值為_______．解析：【探究】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）；【拓展】．【分析】探究:（1）證明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，即可求解．【詳解】解：探究：（1）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．，．線段繞著點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，．．．，，．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)為（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)C為（0，m），設(shè)直線BC為：y=kx+b，，解得：，∴；則BC所在的直線為：；拓展：如圖作BH⊥OH于H．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，則點(diǎn)B（m，1+m），則：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，相當(dāng)于在直線y=x上尋找一點(diǎn)P（m，m），使得點(diǎn)P到M（0，-1），到N（1，-1）的距離和最小，作M關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=，故：BO+BA的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查的是三角形全等的思維拓展，其中拓展，將BO+BA的值轉(zhuǎn)化點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，是本題的新穎點(diǎn)11．（知識再現(xiàn)）學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（簡單應(yīng)用）如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．（2）若點(diǎn)E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．解析：【簡單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣），理由見解析【分析】簡單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長線于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點(diǎn)C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．【詳解】簡單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案為：AE＝AD．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．理由：如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長線于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．理由：在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點(diǎn)C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC?cos（180°﹣）＝m?cos（180°﹣），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cos（180°﹣）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.12．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn).（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：(1)已知點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)（方法可類比（1）的方法）可得PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形；（3）把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長，由（2）可知PM=PN，，所以面積的最大值為.試題解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE，且,同理可證PN=BD，且∴PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.13．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時，；②當(dāng)時，（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BD的長.解析：（1）①,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），.【分析】（1）①當(dāng)α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據(jù)，求出的值是多少即可．（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可．（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時；②點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．【詳解】（1）①當(dāng)α=0°時，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴,BD=8÷2=4，∴．②如圖1，，當(dāng)α=180°時，可得AB∥DE，∵，∴（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=．②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，，∵AC=，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD=．綜上所述，BD的長為或．14．問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上，（1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長交邊AD于點(diǎn)F．求∠AEF的度數(shù)；（2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處．若正方形ABCD的邊長為4，AD的中點(diǎn)為S，求P'S的最小值．問題拓展：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)A，C'N交AD于點(diǎn)F．分別過點(diǎn)A、F作AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，垂足分別為G、H．若AG＝，請直接寫出FH的長．解析：問題情境：.理由見解析；問題探究：（1）；（2）的最小值為；問題拓展：.【分析】問題情境：過點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F，證出四邊形MBFN為平行四邊形，得出NF＝MB，證明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出結(jié)論；問題探究：（1）連接AQ，過點(diǎn)Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)H、I，證出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動時，過點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長線于點(diǎn)H，連接PC，證明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性質(zhì)得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動；過點(diǎn)S作SK⊥DO'，垂足為K，即可得出結(jié)果；問題拓展：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，則EG＝AG＝，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，證明△ABE∽△QCE，得出QE＝AE＝，AQ＝AE+QE＝，證明△AGM∽△ABE，得出AM＝，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝，AC'＝1，證明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝，證明△DFP∽△DAQ，得出FP＝，得出FH＝FP＝．【詳解】問題情境：因?yàn)樗倪呅问钦叫危?過點(diǎn)作分別交于點(diǎn).所以四邊形為平行四邊形.所以.所以，所以，又因?yàn)?，所?，所以.因?yàn)?，所以，所?問題探究：（1）連接，過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn).易得四邊形矩形.所以且.因?yàn)槭钦叫蔚膶蔷€，所以.所以是等腰直角三角形，.所以.因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以.所以.所以.所以.所以.所以是等腰直角三角形，，即.（2）如圖所示，連接交于點(diǎn)，由題意易得的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的落點(diǎn)為.易知.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).易證：，所以，因?yàn)槭钦叫蔚膶蔷€，所以，易得，所以.所以.所以，故.所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動.過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則的最小值為.問題拓展：解：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，如圖4：則EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴，即，解得：，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，∴△AFC'∽△MAB'，∴，解得：∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴，即，解得：FP＝，∴FH＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．15．(1)方法選擇如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，．求證：.小穎認(rèn)為可用截長法證明：在上截取，連接…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長至點(diǎn)，使得…請你選擇一種方法證明．(2)類比探究（探究1）如圖②，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（探究2）如圖③，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．(3)拓展猜想如圖④，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．解析：(1)方法選擇：證明見解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.【分析】（1）方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，過A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，DM=AD，于是得到結(jié)論．【詳解】(1)方法選擇：∵，∴，如圖①，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴；(2)類比探究：如圖②，∵是的直徑，∴，∵，∴，過作交于，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，∴，，過作交于，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為；(3)拓展猜想：；理由：如圖④，∵若是的直徑，∴，過作交于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點(diǎn)在上，，，求五邊形的面積．解析：（1）；（2）結(jié)論成立，證明看解析；（3）【分析】（1）由題目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均為直角三角形，又因?yàn)椋瑒t有∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，找到從而找到面積之間的關(guān)系；（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，從而找到面積之間的關(guān)系；（3）將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形，過點(diǎn)A作AHBP于點(diǎn)H，連接PD，BD，由此可知，，即可計(jì)算出，根據(jù)△ABP∽△EDP∽△CBD，從而有，由（2）結(jié)論有，最后即可計(jì)算出四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）∵△ABC是直角三角形，∴，∵△ABD、△ACE、△BCF均為直角三角形，且，∴∽∽，∴，，∴∴得證．（2）成立，理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴，∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，∴∽∽，∴，，∴∴得證．（3）過點(diǎn)A作AHBP于點(diǎn)H，連接PD，BD，∵，，∴，，∵，∴，∴PH=AH=，∴，，∴，∵，ED=2，∴，，∴，∵，∴△ABP∽△EDP，∴，，∴，，∴，，∵，∴∵，∴∵∴△ABP∽△EDP∽△CBD∴故最后答案為．【點(diǎn)睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性質(zhì)，若兩三角形相似，則有面積的比值為邊長的平方，根據(jù)此性質(zhì)找到面積與邊長的關(guān)系即可；（3）主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算以及（2）的結(jié)論，其中合理正確利用前面得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．17．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩要互相垂直的線段做了如下探究：（觀察與猜想）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為__________；（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，且，則的值為__________；（類比探究）（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：；（拓展延伸）（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，且．①求的值；②連接，若，直接寫出的長度．解析：（1）1；（2）；（3）證明見解析；（4）①；②．【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，由此即可得出答案；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、對頂角相等可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，由此即可得證；（4）①如圖（見解析），先證出，從而可得，再分別在和中，解直角三角形可得，，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，最后利用的面積公式求出的長，由此即可得出答案；②先根據(jù)（4）①中，相似三角形的性質(zhì)可得，可求出，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，；（2）四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，，，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴；（4）①過作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在中，，，∴，在中，，設(shè)，則，∴，即，∴或（舍去），∴，，由翻折的性質(zhì)得：，，∴，解得，∴；②由（4）①已證：，，，，，解得，由翻折的性質(zhì)得：，在中，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn)，較難的是題（4）①，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．18．在中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)，落在直線上時，①求證：；②填空：的值為______；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)，與邊相交時，在上取一點(diǎn)，使，交于點(diǎn)．探究的值（用含的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運(yùn)用：在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時，若，求的長．解析：（1）①見解析；②1；（2），見解析；（3）【分析】（1）①根據(jù)折疊性質(zhì)證明即可；②當(dāng)，證明，即可得出的值；（2）延長交于點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，設(shè)，則，，，可得，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：（1）①證明：延長交于點(diǎn)．由折疊得．∴．∵，∴．②當(dāng)，即時，可知AC=BC，在和中，，∴(AAS)，∴，∴．故答案為：1；（2）解：．理由：延長交于點(diǎn)，由折疊得．∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：由折疊得，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，，，由（2）知，∴，，是的中點(diǎn)，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題為