平面力偶系平衡《工程力學》平面力對點之矩的概念與計算力對剛體的作用效應使剛體的運動狀態(tài)發(fā)生改變(包括移動與轉動)，其中力對剛體的移動效應可用力矢來度量；而力對剛體的轉動效應可用力對點之矩(簡稱力矩)來度量，即力矩是度量力對剛體轉動效應的物理量。1.平面問題中力對點之矩用扳手擰螺母開門，關門。由上圖知，力F使物體繞O點轉動的效應，不僅與力的大小有關，而且與O點到力的作用線的垂直距離d有關，故用乘積F·d來度量力的轉動效應。

平面力對點之矩的概念與計算平面力對點之矩的概念與計算

平面力對點之矩的概念與計算2．力矩的性質(zhì)力F對O點之矩不僅取決于力的大小，同時還與矩心的位置即力臂h有關。力F對于任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變。力的大小等于零或力的作用線通過矩心，它對矩心的力矩等于零?；コ善胶獾膬蓚€力對同一點之矩的代數(shù)和為零。平面力對點之矩的概念與計算3．合力矩定理平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數(shù)和，即當力矩的力臂不易求出時，常將力分解為兩個易確定力臂的分力(通常是正交分解)，然后應用合力矩定理計算力矩。平面力對點之矩的概念與計算

直齒圓柱齒輪工作圖a)直接按力矩的定義求力F對點0的矩b)按合力矩定理求力F對點0的矩平面力對點之矩的概念與計算

例2.試計算圖中力對A點之矩。平面力對點之矩的概念與計算由力矩的定義計算力F對A點之矩。先求力臂d。由圖中幾何關系有：d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctgα)sinα=

(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα所以MA(F)=F?d=F(asinα-bcosα)平面力對點之矩的概念與計算根據(jù)合力矩定理計算力F對A點之矩。將力F在C點分解為兩個正交的分力和，由合力矩定理可得MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=-Fx?b+Fy?a=-F(bcosα-asinα)=F(asinα-bcosα)平面力對點之矩的概念與計算平面力偶1．力偶的概念把大小相等、方向相反、作用線平行的兩個力叫做力偶。并記作（F，F(xiàn)′）。力偶的工程實例a)水龍頭受力圖b)方向盤的受力圖c)絲錐受力圖平面力偶1．力偶的概念力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶使物體轉動的方向稱為力偶的轉向，力偶兩個力所決定的平面稱為力偶的作用面。力偶不能合成為一個力或用一個力來等效替換，力偶也不能用一個力來平衡，因此力和力偶是靜力學的兩個基本要素。力偶定義圖2.力偶的性質(zhì)

力偶對于剛體的效應如下：力偶在任意軸上投影的代數(shù)和是零，故力偶無合力，因此力偶只能與力偶等效。力偶中的兩力對作用面內(nèi)任一點的矩的代數(shù)和等于力偶矩，而與矩心位置無關。力偶對物體不產(chǎn)生移動效應，只產(chǎn)生轉動效應，即它可以也只能改變物體的轉動狀態(tài)。力偶在平面內(nèi)的轉向不同，其作用效應也不相同。平面力偶3.力偶矩力偶對剛體的轉動效應是用力偶矩度量，即用力偶中的兩個力對其作用面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和來度量。FFd

Ox例如：力偶使物體逆時針方向轉動時，力偶矩為正，反之為負。平面力偶平面力偶

力偶的力的大小和力偶臂的長短都不是力偶的特征量，只有力偶矩是力偶作用的唯一度量，且與力偶在作用面內(nèi)的作用位置無關。今后常用圖所示的符號表示力偶。M表示力偶的矩。平面力偶等效定理兩個重要推論：推論1力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉而不改變它對剛體的轉動效應。推論2在保持力偶矩的大小和轉向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對剛體的轉動效應。ABMABMC平面力偶5．平面力偶系的合成同一平面內(nèi)的任意個力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩等于各個力偶矩的代數(shù)和，可寫為M=M1+M2+…+Mn,或M=∑Mi平面力偶平面力偶6．平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即∑M=0利用這個平衡條件，可以求解一個未知量。例3兩力偶作用在板上，尺寸如圖。已知F1=F2=1.5kN,F3=F4=1kN,求作用在板上的合力偶矩。180mmF1F2F3F480mm解：M=M1+M2

==-F1·0.18–F3·0.08=-350N·m負號表明轉向為順時針。平面力偶解：作AB梁的受力圖。AB梁上作用有二個力偶組成的平面力偶系，在A、B

處的約束力也必須組成一個同平面的力偶（FA，F(xiàn)B）才能與之平衡。例4長為l=4m的簡支梁的兩端A、B

處作用有兩個力偶，大小各為M1=16N·m，M2=4N·m，轉向如圖。試求A、B支座的約束力。60

4mABM1M2M1M2ABdFAFB平面力偶由平衡方程∑M=0得-M1+

M2+FBlcos60o=0解得故FB=6NFA、FB為正值，說明圖中所設FA、FB的指向正確。FA=FB=6NM1M2ABdFAFB60

4mABM1M2－16+4+FB4cos60=0平面力偶例5如圖所示的鉸接四連桿機構OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機構在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，q=30°，不計各桿自重，試求M1和M2之間的關系。BODqM1M2A平面力偶

解：因為桿AB為二力桿，故其約束力FAB和FBA只能沿A，B的連線方向。

分別取桿OA和DB為研究對象。因為力偶只能與力偶平衡，所以支座O和D的約束力FO和FD只能分別平行于FAB和FBA

，且與其方向相反。BODqM1M2A平面力偶分別畫出受力圖。寫出桿OA和DB的平衡方程：∑M=0因為FAB=FBA

所以求得M2=2M1

平面力偶

平面力偶平面力偶練習1一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面內(nèi),另一力偶(F2，F(xiàn)2′)作用在Oyz平面內(nèi),它們的力偶矩大小相等(如圖)。試問此兩力偶是否等效，為什么？xyzF2F2′F1F1′O練習2

如圖所示，在物體上作用有兩力偶(F1,F1′)和(F2,F2′)其力多邊形封閉。問該物體是否平衡？為什么？F1F2F1′F2'F1F2F1′F2'練習3圖示圓盤由O點處的軸承支持，在力偶M和力F的作用下處于平衡。能不能說力偶被力F所平衡？為什么？FMO練習4

兩輪半徑同為r，一輪在輪緣上受一大小為F

的力作用，另一輪在輪緣上受兩個方向相反、大小都是F/2的力作用，各輪上的力對輪心的矩是否相同？(a)rO1FrO1F/2F/2(b)練習5圖中所示兩輪在圖示主動力作用下能否