平面匯交力系平衡《工程力學》F2F1FnO平面匯交力系的定義：各力的作用線在同一平面內且相交于一點的力系。

本章研究的問題：平面匯交力系的合成（簡化）和平面匯交力系的平衡。研究方法：幾何法和解析法。平面匯交力系平衡問題-幾何法1．平面匯交力系合成的幾何法設在某剛體上作用有由力F1、F2、F3、F4組成的平面匯交力系，各力的作用線交于點A。由力的可傳性，將力的作用線移至匯交點A;然后由力的合成三角形法則將各力依次合成，即從任意點a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再從點C作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FR1和F3的合力FR2；最后從點d作de代表力矢F4，則ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即力F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖（b），其作用線通過匯交點A。1．平面匯交力系合成的幾何法作圖（b）時，虛線ac和ad不必畫出，只需把各力矢首尾相連，得折線abcd，則第一個力矢F1的起點a向最后一個力矢F4的終點e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構成的多邊形稱為力的多邊形，表示合力矢的邊ae稱為力的多邊形的逆封邊。這種求合力的方法稱為力的多邊形法則。平面匯交力系平衡問題-幾何法1．平面匯交力系合成的幾何法若改變各力矢的作圖順序，所得的力的多邊形的形狀則不同，但是這并不影響最后所得的逆封邊的大小和方向。但應注意，各分力矢必須首尾相連，而環(huán)繞力多邊形周邊的同一方向，而合力矢則把向封閉力多邊形。平面匯交力系平衡問題-幾何法1．平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的結果是一個合力，合力的作用線過力系的匯交點，合力等于原力系中所有各力的矢量和。FR=F1+F2+F3FR=F1+F2+…+Fn平面匯交力系平衡問題-幾何法7例2-1同一平面的三根鋼索邊連結在一固定環(huán)上，如圖所示，已知三鋼索的拉力分別為：F1＝500N，F(xiàn)2＝1000N，F(xiàn)3＝2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。

先定力的比例尺如圖。作力多邊形先將各分力乘以比例尺得到各力的長度，然后作出力多邊形圖（b），量得代表合力矢的長度為，則FR的實際值為FR＝2700NFR的方向可由力的多邊形圖直接量出，F(xiàn)R與F1的夾角為71o31＇。平面匯交力系平衡問題-幾何法2.平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的充要條件是合力為零，即(1)

FR=0;(2)在幾何法中，合力為零即為力多邊形自行封閉。平面匯交力系平衡問題-幾何法例2-2試指出圖示各力多邊形中，哪些是自行封閉的？哪些不是自行封閉的？如果不是自行封閉，哪個矢量代表合力？哪些矢量代表分力？平面匯交力系平衡問題-幾何法10例2-3所求一支架，A、B為鉸鏈支座，C為圓柱鉸鏈。斜撐桿BC與水平桿AC的夾角為30o。在支架的C處用繩子吊著重G＝20kN的重物。不計桿件的自重，試求各桿所受的力。(自己作圖)根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，F(xiàn)T、FCA和FCB應組成閉合的力三角形。選取比例尺如圖，先畫已知力FT＝ab，過a、b兩點分別作直線平行于FCA和FCB得交點c，于是得力三角形abc，順著abc的方向標出箭頭，使其首尾相連，則矢量ca和bc就分別表示力FCA和FCB的大小和方向。用同樣的比例尺量得FCA＝34.6kNFCB＝40kN平面匯交力系平衡問題-幾何法3、三力平衡匯交定理若剛體受三個力作用而平衡，且其中兩個力的作用線相交于一點，則三個力的作用線必匯交于同一點，而且共面。F1F2F12F3OF12=F1+F2

平面匯交力系平衡問題-幾何法12例2-4利用三力平衡匯交定理確定鉸A處約束力的方位。FAB2m3mCFCBFRAFRBA平面匯交力系平衡問題-幾何法13例2-5水平梁AB中點C作用著力F，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成60o角，支承情況如圖所示，試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B的約束力。梁的自重不計。A60oFB30oaaC平面匯交力系平衡問題-幾何法EFFBFA60o30oHK

解：1.取梁AB作為研究對象。

FA

=17.0kN

FB=10kN2.畫出受力圖。3.作出相應的力三角形。FBFADC60o30oFBA4.由力三角形中量出：平面匯交力系平衡問題-幾何法即力在某個軸上的投影等于力的模乘以力與該軸的正向間夾角的余弦。當a、b為銳角時，F(xiàn)x、Fy均為正值；當a、b為鈍角時，F(xiàn)x、Fy為負值。故力在坐標軸上的投影是個代數(shù)量。正負號規(guī)定：力的投影由始到末端與坐標軸正向一致其投影取正號，反之取負號。

b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab平面匯交力系平衡問題-解析法

而如將力F沿正交的x、y坐標軸方向分解，則所得分力Fx、F

y

的大小與力F在相應軸上的投影Fx、Fy的絕對值相等。但是當Ox、Oy兩軸不正交時，則沒有這個關系。b1a1OyxBAabFFxFyFxFy平面匯交力系平衡問題-解析法

試分析在圖示的非直角坐標系中，力F

沿x、y軸方向的分力的大小與力F在x、y軸上的投影的大小是否相等？OxyF平面匯交力系平衡問題-解析法式中cosa

和cosb

稱為力F

的方向余弦。

注意:力的投影是代數(shù)量，而力的分量是矢量；投影無所謂作用點，而分力作用在原力的作用點。b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab平面匯交力系平衡問題-解析法同理：OxyF1F2FRabcABC1.合力投影定理合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。平面匯交力系平衡問題-解析法xOyFRxFRyFRF1F2Fna2.合成平面匯交力系平衡問題-解析法即平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個坐標軸中每一軸上的投影之代數(shù)和均等于零。由于提供的獨立的方程有兩個，故可以求解兩個未知量。xOyFRxFRyFRF1F2Fna3.平衡平面匯交力系平衡問題-解析法yxBmgFCB30。FAB45。例2-6重物質量m

=10

kg,懸掛在支架鉸接點B處，A、C為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時，AB、BC桿所受的力。ABC6045。。平面匯交力系平衡問題-解析法∑Fx=0,-FCB

cos30o+FABcos45o=0∑Fy=0,-mg+FCB

sin30o+FABsin45o=0FAB=88.0N，

FCB=71.8N。

解：取鉸B為研究對象，其上作用有三個力：重力mg；BC桿的約束力FCB（設為拉力）及AB桿的約束力FAB（設為壓力），列出平衡方程聯(lián)立上述兩方程，解得：yxBmgFCB30。FAB45。平面匯交力系平衡問題-解析法平面匯交力系平衡問題-解析法例2-7如圖所示，重物W=20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端纏繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A、C與墻連接。如兩桿和滑輪的自重不計，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。平面匯交力系平衡問題-解析法取研究對象由于AB和BC兩桿都是二力桿，假設桿AB受拉力、桿BC受壓力，如圖b所示。為了求出這兩個未知力，可通過求兩桿對滑輪的約束反力來解決。因此選取滑輪B為研究對象。畫受力圖

滑輪受到鋼絲繩的拉力F1和F2(已知F1=F2=W)。此外，桿AB和BC對滑輪的約束反力為FBA和FBC。由于滑輪的大小可忽略不計，故這些力可看作是匯交力系，如圖c所示。平面匯交力系平衡問題-解析法列平衡方程選取坐標軸如圖c所示。為使每個未知力只在一個軸上有投影，在另一軸上的投影為零，坐標軸應盡量取在與未知力作用線相垂直的方向。這樣在一個平衡方程中只有一個未知數(shù)，不必解聯(lián)立方程，即平面匯交力系平衡問題-解析法求解方程得

FBA=-0.366W=-7.321kNFBC=1.366W=27.32kN所求結果，F(xiàn)BC為正值，表示此力的假設方向與實際方向相同，即桿BC受壓。FBA為負值，表示此力的假設方向與實際方向相反，即桿AB也受壓。練習1某剛體受平面匯交力系作用。問這些圖中哪一個圖是平衡力系?哪一個圖是有合力的?其合力又是哪一個力?練習2如圖所示，固定在墻壁上的圓環(huán)受三條繩索的拉力作用，力F1沿水平方向，力F3沿鉛直方向，力F2與水平線成40°角。三力的大小分別為F1=2000N，F(xiàn)2=2500N，F(xiàn)3=1500N，求三力的合力。練習3物體重W=20kN，用繩子掛在支架的