第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)青苗國際學(xué)校常營校區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.AB=DC是四邊形ABCD構(gòu)成平行四邊形的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.對于非零向量a，b，下列命題中正確的是(

)A.a?b=0?a//b

B.a//b?a在b上的投影向量為?|3.已知a=(5,?2)，b=(?4,?3)，c=(x,y)，若a?2bA.(1,83) B.(133,4.若△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B=60°，b2=ac，則△ABC一定是(

)A.底邊和腰不相等的等腰三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.等邊三角形5.下列說法錯誤的是(

)A.矩形旋轉(zhuǎn)一周一定形成一個圓柱 B.任意n面體都可以分割成n個棱錐

C.棱臺的側(cè)棱的延長線必交于一點 D.一個八棱柱有10個面6.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，則這個三棱錐的體積為(

)A.13abc B.16abc C.7.設(shè)z1=3?4i，z2=?2+3i，則zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.設(shè)O是原點，OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2?3i，?3+2i，那么BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(

)A.?5+5i B.?5?5i C.5+5i D.5?5i9.若(1?i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，i是虛數(shù)單位，則a，b的值分別等于(

)A.3，?2 B.3，2 C.3，?3 D.?1，410.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=80，b=100，A=30°，則B的解的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.不確定二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.復(fù)數(shù)53+4i的共軛復(fù)數(shù)是______．12.正方體相鄰兩個面的兩條對角線所成角的大小是______．13.若長方體所有頂點都在一個球面上，長、寬、高分別是3，2，1，則這個球面的面積為______．14.若向量a=(6,?8)，則與a平行的單位向量是______．15.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b16.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b=503，c=150，B=30°，則邊長a=

(1)

或

(2)

．三、解答題：本題共4小題，共36分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

已知過O點的任意兩個不共線的非零向量a,b，若OA=a+b,OB=a+2b,OC18.(本小題10分)

已知a=3e1?2e2,b=4e1+e219.(本小題8分)

已知△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(a,3b)，n=(sinB,cosA)，且m⊥n．

(1)求角A；

(2)若20.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=sin(π4+x)sin(π4?x)+3sinxcosx．

(1)化簡函數(shù)f(x)為Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的形式，并求f(答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理、向量相等的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用平行四邊形的判定定理、向量相等的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【解答】

解：四邊形ABCD構(gòu)成平行四邊形?AB=DC，

反之不一定成立，A，B，C，D四點可能共線，

∴AB=DC是四邊形2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量垂直的充要條件可判斷A，C；利用向量的投影向量判斷B；取c=0可判斷【解答】

解：a?b=0?a⊥b，故A不正確；

若a與b同向時，a在b上的投影向量為：a?b|b|?e=|a|e(e是與b方向相同的單位向量)，故B3.【答案】D

【解析】解：由題意可得：a?2b+3c=(13+3x,4+3y)=0，

所以13+3x=0，并且4+3y=0，

所以x=?133，y=?43．4.【答案】D

【解析】解：由B=60°，b2=ac，可得b2=a2+c2?2accosB=a2+c2?ac=ac，

即5.【答案】A

【解析】解：對于選項A：矩形以一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成圓柱，故若以矩形對角線所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，不能形成圓柱；故A說法錯誤；

對于選項B：任意n面體，在n面體內(nèi)取一點為P，將點P與n面體的各個頂點連，即可構(gòu)成n個棱錐，故B說法正確；

對于選項C：根據(jù)棱臺的定義，其的側(cè)棱的延長線必交于一點，故C說法正確；

對于選項D：根據(jù)棱柱的定義，八棱柱有8個側(cè)面，2個底面，共10個面，故D說法正確；

故選：A．

根據(jù)幾何體的定義及特征，利用逐一檢驗法對各每一個選項依次檢驗。

本題考查了空間幾何體的定義及特征，掌握定義及幾何體的特征是本題的根本，屬于基礎(chǔ)題。6.【答案】B

【解析】解：∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，

則這個三棱錐的體積為：

V=13S?=13×12×abc=7.【答案】D

【解析】解：∵z1=3?4i，z2=?2+3i，

∴z1+z2=(3?4i)+(?2+3i)=1?i，

∴8.【答案】D

【解析】【分析】

直接利用復(fù)數(shù)的坐標運算及減法幾何意義求解．

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算，考查了復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，是基礎(chǔ)題．

【解答】

解：由OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2?3i，?3+2i，

所以BA=OA?OB=(2?3i)?(?3+2i)=5?5i9.【答案】B

【解析】解：(1?i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，

則3+2i=a+bi，

故a=3，b=2．

故選：B．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】C

【解析】解：因為a=80，b=100，A=30°，

由正弦定理得，8012=100sinB，

所以sinB=58，

因為a<b，

所以B>A，

故B有兩解．

11.【答案】35【解析】解：因為復(fù)數(shù)53+4i=5(3?4i)(3+4i)(3?4i)=5(3?4i)25=35?4512.【答案】60°

【解析】解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

①若相鄰兩個面上的對角線有公共點，比如圖中的AB1與AD1，

連接B1D1，根據(jù)AD1=B1D1=AB1，可得△AB1D1是等邊三角形，

所以∠B1AD1=60°，即直線AB1與AD1所成的角等于60°；

②若相鄰兩個面上的對角線沒有公共點，比如圖中的AD1與A1B，

13.【答案】14π

【解析】解：長方體所有頂點都在一個球面上，長、寬、高分別是3，2，1，

所以長方體的外接球的直徑為：9+4+1=14，

外接球的半徑為：142．

則這個球面的面積為：4×(14214.【答案】(35,?【解析】解：∵向量a=(6,?8)，則與a平行的單位向量是±a|a|=±(35,?45)，

即(35,?415.【答案】(?65【解析】解：設(shè)a=(x,y)，∵|a|=3，∴x2+y2=3，即x2+y2=9

①，

又a⊥b，∴x+2y=0

②，聯(lián)立①②得：x=?655y=316.【答案】50【解析】解：∵b=503，c=150，B=30°，

∴由余弦定理b2=a2+c2?2accosB，可得：(503)2=a2+(150)2?2×a×150×32，

17.【答案】猜想A，B，C三點共線．

證明見解析．

【解析】由OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b．

(1)猜想A，B，C三點共線．

證明：(2)因為AB=OB?OA=a+2b?(18.【答案】解：(1)∵e1=(1,0),e2=(0,1)，

∴|e1|=|e2|=1，又a=3e1?2e2,b=4e1+e【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查平面向量的坐標加減運算，考查計算能力，是中檔題．

(1)由已知向量的坐標求出向量e1,e2的模，展開數(shù)量積運算可求a?b；求出a+b的坐標，由模的公式計算；

19.【答案】解：(1)因為m⊥n，所以m?n=asinB+3bcosA=0，

由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0，

因為sinB≠0，所以sinA+3cosA=0，即：tanA=?3，

又因為0<A<π，所以A=23π；

(2)由余弦定理可得：【解析】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

(1)利用兩向量垂直得到m?n=asinB+3bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB