第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市安達(dá)高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(3?i)2A.3 B.2 C.232.△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，其中A′B′//x′軸，A′C′//y′軸，且A′B′=A′C′=2，則△ABC的面積為(

)A.22B.2

C.43.下列選項(xiàng)正確的是(

)A.空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等

C.如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行

D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米2020石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得255粒內(nèi)夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(

)A.222石 B.220石 C.230石 D.232石5.若D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，且AD=mAB+2nAC，則2A.4 B.6 C.8 D.126.在△ABC中，(AB|AB|+AC|A.30° B.60° C.90° D.120°7.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，O為底面圓心，母線SA，SB互相垂直且△SAB的面積為2，直線SA與圓錐底面所成角為π6，則二面角S?AB?O的大小為(

)A.π12

B.π6

C.π4

8.若正三棱柱ABC?A1B1C1既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為R1A.55 B.5 C.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面向量a=(1,cosθ)，b=(?2,sinθ)，則(

)A.?θ∈R，a，b不垂直

B.?θ∈R，使得a，b共線

C.當(dāng)θ=π4時(shí)，|a+b|=3

D.當(dāng)θ=010.在△ABC中，角A，B，C對邊分別是a，b，c，且cos2B+cos2A.∠A=2π3

B.若bcosB=ccosC，則△ABC是等邊三角形

C.若△ABC的面積為934，則△ABC的外接圓半徑的最小值為11.如圖，在多邊形ABPCD中(圖1).四邊形ABCD為長方形，△BPC為正三角形，AB=3，BC=32，現(xiàn)以BC為折痕將△BPC折起，使點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好是AD的中點(diǎn)(圖2).若點(diǎn)E在線段PB上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)在AD上運(yùn)動(dòng)，則(

)A.AB⊥平面PAD

B.平面PCD⊥平面PAB

C.Q到平面EBC的距離為2

D.當(dāng)PE=13PB時(shí)，三棱錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.有5人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，每人投籃12次.這5人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)為10，唯一眾數(shù)為11，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是______．13.已知i為虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|+|z?2i|=4，那么|z?1|的最小值是______．14.祖暅(gèng)(5世紀(jì)—6世紀(jì))，字景爍，祖沖之之子，范陽郡道縣(今河北省淶水縣)人，南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家.他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異”.這就是“祖暅原理”.用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，半徑為R的半球與底面半徑和高都為R的圓柱放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R，高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面α去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等.若球心到平面α的距離為23R，則平面α截半球所得的較小部分的幾何體的體積等于______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

中國AI大模型正處于一個(gè)技術(shù)進(jìn)步迅速、市場規(guī)模快速增長的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國AI大模型用戶的年齡分布，A公司調(diào)查了500名中國AI大模型用戶，統(tǒng)計(jì)他們的年齡(都在[15,65]內(nèi))，按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求m的值；

(2)估計(jì)這500名中國AI大模型用戶年齡的平均數(shù)(各組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)求這500名中國AI大模型用戶的年齡在[45,65]內(nèi)的人數(shù)．16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn)．

(1)求證：17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosC(acosB+bcosA)=32c.

(1)求角C的大??；

(2)點(diǎn)D在邊BC上，且CD=2，BD=AD=118.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，AD=PD=2，PD⊥底面ABCD，E是棱PB的中點(diǎn)．

(1)證明：平面ACE⊥平面PBD．

(2)求PB與平面PCD所成角的余弦值．

(3)記過點(diǎn)E且與平面PAD平行的平面為α，求α截四棱錐P?ABCD所得截面的面積．19.(本小題17分)

記斜△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(b2+c2?a2)sinBcosB=32bccos(B+C)，且B<3π4,b=3．

(1)求角B；

(2)E為邊AC的中點(diǎn)，若BE=22

參考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.C

6.A

7.C

8.A

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.9.5

13.1

14.88115.(1)由頻率分布直方圖得：

(0.01+0.03+0.04+m+0.005)×10=1，

解得m=0.015．

(2)由頻率分布直方圖得：

(20×0.01+30×0.03+40×0.04+50×0.015+60×0.005)×10=37.5，

∴估計(jì)這500名中國AI大模型用戶年齡的平均數(shù)(各組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)為37.5歲；

(3)由頻率分布直方圖可知中國AI大模型用戶的年齡在[45,65]內(nèi)的頻率為：

0.15+0.05=0.2，

則這500名中國AI大模型用戶的年齡在[45,65]內(nèi)的人數(shù)為500×0.2=100．16.證明：(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，則O為BD的中點(diǎn)，

∵E為DD1的中點(diǎn)，∴OE//BD1，

又OE?平面AEC，BD1?平面AEC，

∴BD1//平面AEC；

(2)連接EF，則EF//AB，且EF=AB，

∴四邊形AEFB為平行四邊形，

∴BF//AE，又BF?平面AEC，AE?平面AEC，

∴BF//平面AEC，

由(1)可知BD1//平面AEC，且BF?平面BFD117.(1)由射影定理得acosB+bcosA=c，所以c?cosC=32c，

所以cosC=32，所以C=π6；

(2)在△ADC中，32=cosC=b2+4?118.解：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC⊥BD，

又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以AC⊥PD，

因?yàn)锽D∩PD=D，BD，PD?平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，又AC?平面ACE，

所以平面ACE⊥平面PBD；

(2)取CD的中點(diǎn)O，連接BO，PO，

在菱形ABCD中，由∠BAD=60°，可得BO⊥CD，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，

所以PD⊥BO，又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，

所以BO⊥平面PCD，

則∠BPO即為PB與平面PCD所成的角，

因?yàn)锳D=PD=2，所以PO=5，BO=3，BP=PO2+BO2=22，

則cos∠BPO=POBP=104，

即PB與平面PCD所成角的余弦值為104；

(3)分別取AB，PC的中點(diǎn)F，G，連接EF，F(xiàn)O，OG，EG，

因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn)，所以EG//BC//OF//AD，則E，F(xiàn)，O，G四點(diǎn)共面，

又EG?平面PAD，AD?平面PAD，

所以EG//平面PAD，

同理可得EF//平面PAD，則平面EFOG//平面PAD，

故α截四棱錐P?ABCD所得截面為四邊形EFOG，

所以O(shè)G//PD，從而OG⊥OF，

則四邊形EFOG19.(1)由(b2+c2?a2)sinBcosB=32bccos(B+C)，

結(jié)合余弦定理，得2bccosAsinBcosB=32bccos(B+C)=?32bccosA，