第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春十七中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，則(

)A.a=1，b=?3 B.a=?1，b=3

C.a=?1，b=?3 D.a=1，b=32.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin(A+B)=13，a=3，c=4，則sinA=A.23 B.14 C.343.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說法正確的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+22+24.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=4，若P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP?(A.2 B.4 C.8 D.05.如圖，有A，B，C三艘漁船在海島D附近作業(yè)，D在A的東北方向，D在B的東偏北60°方向，C在B的東偏北30°方向，B在A的正東方向，已知A，B相距(3?1)akm，B，C相距3A.D在C的北偏西60°方向 B.∠ADB=10°

C.D，C相距akm D.D，B相距26.下列命題正確的是(

)A.若a、b是兩條直線，α、β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a、b是異面直線

B.四邊形可以確定一個(gè)平面

C.已知兩條相交直線a、b，且a//平面α，則b與α的位置關(guān)系是相交

D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面7.已知正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4A.73 B.733 8.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分別為棱BC，CD，CA.53π B.83π C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.復(fù)數(shù)z=3?i的虛部為?i

C.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)?z=1+5i(i是虛數(shù)單位)，則10.已知四面體的四個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則以下正確的是(

)A.四面體的高63 B.四面體表面積為43

C.四面體體積為211.已知向量a=(2,?1)，b=(?4,?2)，則下列說法正確的是(

)A.cos<a，b>=?35 B.(2a+b)//(a+12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復(fù)數(shù)m?3+(m2?9)i≥0，則實(shí)數(shù)m13.一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)π4弧度，形成的幾何體的表面積為______．14.如圖甲，在梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，以AF為折痕把△ADF折起，使點(diǎn)D不落在平面ABCF內(nèi)(如圖乙)，那么在以下3個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論是______．

①CF//平面ABD；②BE//平面CDF；③CD//平面BEF．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

(1)計(jì)算：z=i(1?i)(2)已知復(fù)數(shù)z1=1?3i，z16.(本小題12分)

已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，點(diǎn)M，N分別是線段C1D1，CC1的中點(diǎn)．

(1)17.(本小題12分)

已知f(x)=a?b，其中a=(2cosx,?3sin2x)，b=(cosx,1)，x∈R．

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)=?1，a=7，且向量18.(本小題12分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足cosCc=cosB2a?b．

(1)求C；

(2)若a=2b=2，求△ABC外接圓的半徑；

(3)若c=219.(本小題12分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)．

(1)求證：BD1//平面AMC；

(2)若N為CC

答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的相等求解．【解答】

解：∵a+3i=(b+i)i=?1+bi，a，b∈R，

∴a=?1，b=3，

故選B．2.【答案】B

【解析】解：∵A+B+C=π，

∴sin(A+B)=sinC=13，

又∵a=3，c=4，

∴asinA=csinC，

即3sinA=4133.【答案】D

【解析】解：如圖過D′作DE⊥O′B′，

由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，

即A′D′=2A′E=12×(4?2)×2=2，即B錯(cuò)誤；

還原平面圖為下圖，

即AB=4=2CD,AD=22，即A錯(cuò)誤；

過C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23，

故四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：4+2+22+23=6+24.【答案】A

【解析】解：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接AO，

因?yàn)榈妊切蜛BC，所以BC⊥AO；

分別以BC，OA的正方向?yàn)閤，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則B(?2,0)，C(2,0)，由AB=AC=5，可得A(0,1)；

設(shè)P(t,0)，?2≤t≤2，則AP=(t,?1)，AB+AC=(?2,?1)+(2,?1)=(0,?2)；

所以AP?(AB+5.【答案】C

【解析】解：如圖所示，因?yàn)椤螪AB=45°，∠DBE=60°，∠DBC=∠CBE=30°，

所以∠ADB=15°，

又因?yàn)閟in15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=6?24，

所以在△ABD中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，解得BD=2a，

在△BDC中，由余弦定理得：DC2=BD2+BC2?2BD?BCcos∠DBC=a2，

所以6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，若a、b是兩條直線，α、β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，

則a/?/b或a、b是異面直線或a與b相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，空間四邊形不一定確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，兩條相交直線a、b，且a/?/平面α，則b與α相交或b/?/α，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，記兩兩相交的交點(diǎn)分別為A、B、C，

易知A、B、C三點(diǎn)不共線，故過該三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故D正確．

故選：D．

根據(jù)基本事實(shí)及空間中線線、線面的位置關(guān)系一一判斷即可．

本題主要考查空間中線線、線面的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)檎馀_(tái)ABC?A1B1C1的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，高為1，

所以正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的上底面積S1=8.【答案】A

【解析】解：以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，

C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，P(1,2,0)，Q(0,1,0)，R(0,2,1)，O(1,1,1)，

則PR=(?1,0,1)，PQ=(?1,?1,0)，

設(shè)正方體外接球的球心為O，則O(1,1,1)，則OP=(0,1,?1)，外接球的半徑為3，

設(shè)平面PQR的法向量為n=(x,y,z)，

則n?PR=0n?PQ=0，即?x+z=0?x?y=0，

令x=1，得n=(1,?1,1)，

設(shè)球心O到平面PQR的距離為d，

則d=|OP9.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于A，i+i2+i3+i4=i+(?1)+(?i)+1=0，故A正確；

對(duì)于B，復(fù)數(shù)z=3?i的虛部為?1，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，∵(1+i)?z=1+5i，∴z=1+5i1+i=(1+5i)(1?i)(1+i)(1?i)=3+2i，

∴z?=3?2i，∴z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,?2)位于第四象限，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，

則|z?1|=|a+bi?1|=(a?1)2+b2，

|z+1|=|a+bi+1|=(a+1)2+b2，

∵復(fù)數(shù)z滿足10.【答案】BCD

【解析】解：由題意可得，該四面體的表面積為4×34×4=43，故B正確；

由正四面體的高和側(cè)棱與側(cè)棱在底面的射影組成一個(gè)直角三角形，

則四面體的高?=22?(233)2=263，故A錯(cuò)誤；

正四面體的體積為V=11.【答案】ABD

【解析】解：已知向量a=(2,?1)，b=(?4,?2)，

則a?b=2×(?4)+(?1)×(?2)=?6，|a|=5，|b|=25，

對(duì)于選項(xiàng)A，cos<a,b>=a?b|a||b|=?65×25=?35，即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，2a+b=(0,?4)，a+12.【答案】3

【解析】解：∵m?3+(m2?9)i≥0，

∴m2?9=0m?3≥0，解得m=3．

故答案為：313.【答案】4+【解析】解：由題意一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)π4弧度，

所得幾何體為一個(gè)圓錐切割18的幾何體，

由題意可知，圓錐的底面半徑為2，高為2，則母線長(zhǎng)為22，

由圓錐的表面積公式可得圓錐表面積為S1=π×2×22+2π×2=4(2+1)π，

S△SOA=S△SOB=1214.【答案】①③

【解析】解：對(duì)于①，∵CF/?/AB，CF?平面ABD，AB?平面ABD，

∴CF/?/平面ABD，故①正確，

對(duì)于②，延長(zhǎng)AB到G，使AB=BG，連接DG，如圖，

∵E為AD的中點(diǎn)，∴BE//DG，

∵DG與平面CDF交于點(diǎn)D，∴BE與平面CDF不平行，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，連接AC交BE于O，連接OE，如圖，

∵CD=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AB=CF，

∵AB/?/CD，∴四邊形ABCF為平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)，

∵E為AD的中點(diǎn)，∴OE/?/CD，又OE?平面BEF，CD?平面BEF，

∴CD/?/平面BEF，故③正確．

故答案為：①③．

結(jié)合已知條件，利用線面平行的判定方法逐個(gè)分析判斷即可．

本題考查線面平行的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15.【答案】2；

25【解析】(1)由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則得：

z=i(1?i)2=i(1?2i+i2)=i×(?2i)=?2i2=2．

(2)z1=1?3i，z2=3+i，

由復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則得z1+16.【答案】23；

證明見解析．【解析】(1)因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1D1中，AB=2，M，N分別是線段C1D1，CC1的中點(diǎn)，

所以三棱錐M?A1C1B的體積為VM?A1C1B=VB?A1C1M=13×12×1×2×2=23；

(2)證明：因?yàn)锳1B1//MC1，A1B1=2MC1，

所以直線A1M，B1C1相交，設(shè)交于O，

則B117.【答案】[kπ?2π3,kπ?π6](k∈Z)；

【解析】(1)f(x)=2cos2x?3sin2x=1+cos2x?3sin2x

=1+2cos(2x+π3)，

令2kπ?π≤2x+π3≤2kπ(k∈Z)，

解得kπ?2π3≤x≤kπ?π6(k∈Z)，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ?2π3,kπ?π6](k∈Z)．

(2)因?yàn)閒(A)=1+2cos(2A+π3)=?1，

所以cos(2A+π3)=?1，又π3<2A+π3<7π3，

所以2A+π3=π，即A=π3．

因?yàn)?8.【答案】π3；

1；

(4【解析】(1)因?yàn)閏osCc=cosB2a?b，

所以由正弦定理得cosCsinC=cosB2sinA?sinB，

所以2sinAcosC?sinBcosC=sinCcosB，

所以2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

因?yàn)?<A<π，所以sinA≠0，所以cosC=12，

因?yàn)?<C<π，所以∠C=π3；

(2)因?yàn)閍=2b=2，且cosC=12，

所以由余弦定理得：c2=a2+b2?2abcosC=4+1?2×2×1×12=3，所以c=3，

所以2R=csinc=3sinπ3=332=2，所以△ABC外接圓半徑R=1；

(3)19.【答案】證明見解析．

證明見解析．

32【解析】(1)證明：在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)，

連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，

∴O為BD的中點(diǎn)，

又M為DD1中點(diǎn)，∴OM//BD1，

又OM?平面AMC，BD1?平面AMC，

∴BD1/?/平面AMC；

(2)證明：連接BN，ND1，MN，由(1)有BD1//平面AMC，

∵N為CC1中點(diǎn)，M為DD1中點(diǎn)，

∴MN//D