第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年遼寧省五校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合{1,2}∩(1，2]=(

)A.2 B.{2} C.{1,2} D.(1,2]2.隨機(jī)變量ξ～B(5,12)，則D(2ξ+1)的值為A.52 B.72 C.5 3.運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法求函數(shù)y=xx(x>0)的導(dǎo)函數(shù)為A.x?xx?1 B.xxlnx 4.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1，2，3，且P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3)，又ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=3，則ab的值為(

)A.12 B.?23 C.15.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的_____條件是“對(duì)任意n∈NA.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.非充分非必要6.曲線y=ex+1和曲線y=exA.1 B.3 C.ln3 D.e7.高二學(xué)習(xí)小組自主探究三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性質(zhì)得出以下命題：

①無(wú)論系數(shù)如何變化，函數(shù)f(x)的圖象始終都是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

②過(guò)平面內(nèi)的任意一個(gè)定點(diǎn)至多能作出三條直線與函數(shù)f(x)圖象相切；

③任意三次函數(shù)f(x)都存在零點(diǎn)，至少有一個(gè)，至多有三個(gè)；

④當(dāng)函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)x1，x2時(shí)，中心點(diǎn)(A.4 B.3 C.2 D.18.已知數(shù)列{an}，若數(shù)列{an+1?anA.12 B.14 C.15二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則下列命題正確的有(

)A.a2+b+14的最小值為1 B.a+b的最大值為2210.已知無(wú)窮數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N?)，設(shè)其前nA.存在等差數(shù)列{an}，使得{bn}是遞增數(shù)列

B.存在等比數(shù)列{an}，使得{bn}是遞增數(shù)列

C.若{bn11.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx?xlnx,g(x)=13(x?c)3A.若c=1，則2a+b=1 B.x1+x2=2a+2c

C.c可能為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.《莊子?天下篇》中寫(xiě)到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”.其中隱含了關(guān)系式：12+14+13.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=1,x>00,x=0?1,x<0，f(x)=12[x?sgn(x)?(2x14.已知函數(shù)f(x)=eax+x，則①若對(duì)任意x∈R，有f(x)≥1，則a的值為_(kāi)_____.②若f(x)圖象上存在兩點(diǎn)P、Q，使得∠POQ=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

最近育才園舉行了乒乓球、羽毛球、足球等聯(lián)賽、激發(fā)起了同學(xué)們的運(yùn)動(dòng)熱情.調(diào)查小組為了解本校學(xué)生身體素質(zhì)情況，決定在全校500名男生和400名女生中，按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取45名學(xué)生，對(duì)他們課余參加體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將學(xué)生參加體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的情況分三類(lèi)：A類(lèi)(課余時(shí)間參加體育鍛煉且平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3小時(shí))，B類(lèi)(課余時(shí)間參加體育鍛煉但平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超3小時(shí))，C類(lèi)(課余時(shí)間不參加體育鍛煉)，調(diào)查結(jié)果如下表：類(lèi)別A類(lèi)B類(lèi)C類(lèi)男生18x3女生810y(1)求出表中x，y的值；

(2)根據(jù)表格統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，完成下表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為課余時(shí)間參加體育鍛煉且平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3小時(shí)與性別有關(guān)．性別男生女生A類(lèi)B類(lèi)和C類(lèi)附：K2=n(ad?bcP(0.100.050.10k2.7063.8416.63516.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=xex．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)g(x)的極值；

(3)數(shù)F(x)=min{f(x),g(x)}(x>1)，設(shè)x0是F(x)的極值點(diǎn)，且F(x1)=F(x2)，求證：x117.(本小題15分)

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽中甲勝乙的概率為35．

(1)采取五局三勝制(在不超過(guò)5局比賽中先累計(jì)勝3局者贏得比賽，比賽結(jié)束)

(ⅰ)求一場(chǎng)比賽中，甲以3：2的比分贏得比賽的概率；

(ⅱ)求一場(chǎng)比賽中(不一定打滿5局)，甲最終贏得比賽的概率；

(2)判斷“五局三勝制”和“三局兩勝制”哪一種賽制對(duì)乙贏得比賽更有利？說(shuō)明理由．18.(本小題17分)

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：n2an+(2n+1)Sn=4n(n∈N?)．

(1)求Sn；

(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1=1,bn=19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax?lnx．

(1)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況，只要求寫(xiě)出結(jié)論即可；

(2)若對(duì)任意x>1，有f(x)>f(1x)，求a的取值范圍；

(3)求證：對(duì)在意n≥2且n∈N?，有答案解析1.【答案】B

【解析】解：{1,2}∩(1，2]={2}．

故選：B．

根據(jù)交集的定義即可求解．

本題考查了交集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B(5,12)，

所以D(ξ)=5×12×(1?12)=54，

3.【答案】C

【解析】解：由y=xx，得lny=xlnx，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得1y?y′=lnx+1，

所以y′=(lnx+1)y=(lnx+1)xx．

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式可得：

1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3，可得14a+6b=3，

根據(jù)隨機(jī)變量的頻率性質(zhì)可得：

(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1，可得6a+3b=1，

所以a=12,b=?23，則ab=?13．

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0，且an≠0，

若{an}為遞增數(shù)列，則an+2>an+1>an恒成立；

若對(duì)任意n∈N?有an+2>an恒成立，則an+2=anq2>an，所以an(q2?1)>0，

an<0時(shí)，?1<q<0或0<q<1，顯然?1<q<0時(shí)an+1=anq>0，不符；

6.【答案】B

【解析】解：由曲線y=ex+1和曲線y=ex+3，

可得y′=ex+1，y′=(ex+3)′=ex，

設(shè)y=ex+1的切點(diǎn)為(x1,ex1+1)，y=ex+3的切點(diǎn)為(x27.【答案】A

【解析】解：對(duì)于①：

設(shè)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為(?,k)，根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)，有f(?+x)+f(??x)=2k恒成立．

將f(x)=ax3+bx2+cx+d代入f(?+x)+f(??x)可得：

a(?+x)3+b(?+x)2+c(?+x)+d+a(??x)3+b(??x)2+c(??x)+d

=(6a?+2b)x2+2a?3+2b?2+2c?+2d，

因?yàn)閒(?+x)+f(??x)=2k對(duì)任意x恒成立，因此x2的系數(shù)都為0，

即6a?+2b=0，解得?=?b3a．

因?yàn)閒(?+x)+f(??x)=2k，即2a?3+2b?2+2c?+2d=2k?k=a?3+b?2+c?+d，

注意到f(?)=a?3+b?2+c?+d，可求得k=f(?b3a)．

因此無(wú)論系數(shù)如何變化，函數(shù)的圖象始終都是以(?b3a,f(?b3a))為對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)圖形，①正確；

對(duì)于②：

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2bx+c，設(shè)切點(diǎn)為(t,f(t))，

因此切線斜率為k=f′(t)=3at2+2bt+c．

設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，因此切線方程為y?y0=(3at2+2bt+c)(x?x0)，8.【答案】A

【解析】解：數(shù)列{an}，若數(shù)列{an+1?an}與數(shù)列{anan+1?an}都是公差不為零的等差數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列{an+1?an}的公差為d，且d≠0，則an+1?an=dn+c1，

∴an=a1+[d+2d+?+(n?1)d]+(n?1)c1=a1+n(n?1)d2+(n?1)c1，

∴anan+1?an=9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，

所以a2+b+14=a2+1?a+14=(a?12)2+1,0<a<1，

當(dāng)a=12時(shí)，上式取得最小值為1，故A正確；

對(duì)于B，a+b=(a+b)2=a+b+2ab≤a+b+a+b=2(a+b)=2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào)，故10.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng){an}為等差數(shù)列時(shí)，設(shè)首項(xiàng)和公差分別為a1，d，則d>0，a1>0，

則Sn=na1+n(n?1)d2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn?bn?1=Sn2n?Sn?12n?1=Sn?2Sn?12n=an?Sn?12n，

由于an?Sn?1=a1+(n?1)d?(n?1)a1?(n?1)(n?2)d2=(2?n)a1+(n?1)(4?n)d2，

由于d>0，a1>0，因此當(dāng)n>4時(shí)，an?Sn?1=(2?n)a1+(n?1)(4?n)d2<0，

因此bn?bn?1=an?Sn?1211.【答案】ABD

【解析】解：∵f(x)=ax2+bx?xlnx,g(x)=13(x?c)3+x?xlnx，

∴f′(x)=2ax?lnx+b?1，g′(x)=(x?c)2?lnx，

∵函數(shù)f(x)，g(x)的極值點(diǎn)均為x1，x2，

∴x1，x2是f′(x)，g′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，即y=2ax+b?1，y=(x?c)2，y=lnx兩兩相交且交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正實(shí)數(shù)x1，x2，

∴y=2ax+b?1，y=(x?c)2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，即x1，x2是2ax+b?1=(x?c)2的兩個(gè)根，

∴x2?(2a+2c)x+c2?b+1=0的兩個(gè)根為x1，x2，故Δ=4(a+c)2?4(c2?b+1)>0，

∴x1+x2=2a+2c>0，x1x2=c2?b+1>0，且a2+2ac>1?b，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)c=1，即(x?1)2?lnx=0，顯然存在一個(gè)根為1，故f′(1)=2a?ln1+b?1=0，則2a+b=1，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若c=34，則(x?34)2?lnx=0在(0,+∞)上存在兩個(gè)根，

對(duì)于y=(x?34)2?x+1=x2?52x+2516=(x?54)2≥0，即(x?34)2≥x?1，僅當(dāng)x=54時(shí)取等號(hào)，

對(duì)于y=x?1?lnx，則y′=1?1x，顯然y′>0有x∈(0,1)，y′<0有x∈(1,+∞)，

∴y=x?1?lnx在(0,1)12.【答案】211【解析】解：12+14+18+…+12n?1+…=12+12(12)+12(12)2+…+13.【答案】(?∞,【解析】解：f(x)=12[x?sgn(x)?(2x2+x)]=?x2,x>00,x=0x2+x,x<0，

若f[f(a)]≤2(?)，由分段函數(shù)可知：

當(dāng)f(a)<0時(shí)，由(?)可得f2(a)+f(a)≤2，即[f(a)+2][f(a)?1]≤0，解得f(a)≥?2；

當(dāng)f(a)=0時(shí)，由(?)可得0≤2恒成立；

當(dāng)f(a)>0時(shí)，由(?)可得?f2(a)≤2恒成立．

綜上可得f(a)≥?2．

若a<0，則有a2+a≥?2，即(a+12)2≥?74恒成立；

a=0，則有0≥?2恒成立；

若a>0，則有?14.【答案】?1

(?2【解析】解：①由題意得eax+x?1≥0，令g(x)=eax+x?1，則g′(x)=aeax+1，

當(dāng)a≥0時(shí)，g′(x)=aeax+1>0恒成立，因此g(x)=eax+x?1在R上單調(diào)遞增，

其中g(shù)(0)=0，因此當(dāng)x<0時(shí)，g(x)<0，不合要求，舍去；

當(dāng)a<0時(shí)，令g′(x)=0得x=1aln(?1a)，

令g′(x)>0得x>1aln(?1a)，令g′(x)<0得x<1aln(?1a)，

因此g(x)在(1aln(?1a),+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,1aln(?1a))上單調(diào)遞減，

因此g(x)在x=1aln(?1a)處取得極小值，也是最小值，

因此只需g(1aln(?1a))=ea?1aln(?1a)+1aln(?1a)?1=1aln(?1a)?1a?1≥0，

即ln(?1a)?1?a≤0，

令?(a)=ln(?1a)?1?a，a<0，

則?′(a)=?a?(?1a)′?1=?1a?1=?1+aa，

令?′(a)=?1+aa>0得?1<a<0，令?′(a)=?1+aa<0得a<?1，

因此?(a)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，

因此?(a)在a=?1處取得極小值，也是最小值，其中?(?1)=ln1?1+1=0，

因此ln(?1a)?1?a≤0的解集為a=?1，因此a的值為?1；

②當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1+x，不妨取P(?1,0)，Q(0,1)，滿足∠POQ=90°，滿足要求；

當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=aeax+1>1恒成立，因此f(x)=eax+x在R上單調(diào)遞增，

其中f(?1)=e?a?1<0，且f(0)=1，

由零點(diǎn)存在性定理得?x1∈(?1,0)，使得f(x1)=0，

因此可取P(x1,0)，Q(0,1)，滿足∠POQ=90°，滿足要求；

當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)=0得x=1aln(?1a)，

令f′(x)>0得x>1aln(?1a)，令f′(x)<0得x<1aln(?1a)，

因此f(x)在(115.【答案】x=4y=2；

表格見(jiàn)解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)超3小時(shí)與性別有關(guān)．【解析】(1)由題意可知，21+x18+y=5421+x+18+y=45，

解得性別男生女生A類(lèi)188B類(lèi)和C類(lèi)712零假設(shè)H0：課余時(shí)間參加體育鍛煉且平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3小時(shí)與性別無(wú)關(guān)，

則K2=45(18×12?7×8)225×20×26×19=1152247≈4.6640>3.841，

依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，

故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)超3小時(shí)與性別有關(guān)．16.【答案】單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1e)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1e,+∞)；

極大值為【解析】(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且f′(x)=lnx+1，

令f′(x)<0，解得0<x<1e，令f′(x)>0，解得x>1e，

故f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1e)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1e,+∞)，

(2)g(x)=xex，則g′(x)=1?xex，

令g′(x)>0，解得x<1，令g′(x)<0，解得x>1，

所以g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，在(?∞,1)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取極大值g(1)=1e，無(wú)極小值，

(3)證明：由(1)(2)可知f(x)在(0,1e)單調(diào)遞減，在(1e,+∞)單調(diào)遞增，

g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，在(?∞,1)單調(diào)遞增，

且當(dāng)0<x?1，f(x)?0，x?1，f(x)?0，x?0，g(x)?0，x?0，g(x)?0，f(1)=0，g(1)=1e，

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：故存在x0，1<x0，使得f(x0)=g(x0)，

F(x)=f(x)(1<x<x0)g(x)(x≥x0)，則圖中實(shí)線為F(x)的圖象，

當(dāng)1<x<x0時(shí)，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，x>x0時(shí)，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，

則x0是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)，所以x0lnx0=x0ex0，即ex0lnx0=1．

因?yàn)镕(x1)=F(x2)，所以不妨設(shè)1<x1<x0<x2，即f(x1)=g(x17.【答案】(ⅰ)6483125；(ⅱ)21333125【解析】(1)甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽中甲勝乙的概率為35，采取五局三勝制，

(ⅰ)一場(chǎng)比賽中，甲以3：2的比分贏得比賽，

則前4局甲乙各勝2局，最后1局甲勝，

∴一場(chǎng)比賽中，甲以3：2的比分贏得比賽為P=C42×(35)2×(1?35)2×35=6483125；

(ii)一場(chǎng)比賽中(不一定打滿5局)，甲最終贏得比賽分三種情況：

①3：0，概率為p1=(35)3=27125，

②3：1，概率為p2=C32×(35)2×(1?35)×35=162625，

③3：218.【答案】Sn=2nn+1；

(i)【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，由n2an+(2n+1)Sn=4n(n∈N?)，可得a1+3a1=4，解得a1=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，n2an+(2n+1)Sn=4n(n∈N?)，即為n2(Sn?Sn?1)+(2n+1)Sn=4n，

即(n+1)2Sn?n2Sn?1=4n，

記An=(n+1)2Sn，則A1=4，An?An?1=4n，

由An=A1+(A2