第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰四中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如果隨機變量X～N(4,1)，則P(X≤2)等于(注：P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.9545)(

)A.0.210 B.0.02275 C.0.0456 D.0.02152.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如表所示，由最小二乘法求得回歸方程為y=0.85x+2.1，則表中看不清的數(shù)據(jù)為x0134y■3.34.65.7A.2.1 B.1.4 C.1.6 D.1.83.在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a7，12A.2 B.2或?1 C.3 D.3或?14.函數(shù)f(x)=13x3A.?1 B.2 C.?133 5.下列關(guān)于回歸分析的說法錯誤的是(

)A.經(jīng)驗回歸直線一定過點(x?,y?)

B.在殘差圖中，殘差比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適

C.若甲、乙兩個模型的R2分別約為6.已知(1x+my)(2x?y)5的展開式中x2y4A.?2 B.?1 C.1 D.27.有6名志愿者，分配到甲、乙、丙三所學(xué)校支教，每個學(xué)校至少一名志愿者，每個志愿者只能到一所學(xué)校支教.分配到甲學(xué)校志愿者的人數(shù)不少于乙、丙學(xué)校.則不同的分配方法種數(shù)為(

)A.150 B.240 C.690 D.1808.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)>f(x)，且f(x+5)為偶函數(shù)，f(10)=1，則不等式f(x)<ex的解集為(

)A.(0,+∞) B.(?∞,0) C.(?∞,5) D.(10,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題中，正確的有(

)A.E(2X+1)=2E(X)+1；D(2X+1)=4D(X)+1

B.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，則P(?1<ξ≤0)=12?p

C.已知隨機變量X服從二項分布B(n,p)，若E(X)=20，D(X)=10，則p=12

D.從裝有大小、形狀都相同的5個紅球和3個白球的袋子中一次抽出10.已知二項式(x?2x)n的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為A.第5項的二項式系數(shù)最大 B.有理項共4項

C.第6、7項的系數(shù)絕對值最大 D.所有項的系數(shù)和為111.已知函數(shù)f(x)=ax?xa(x>0,a>0A.當a=e時，f(x)≥0恒成立

B.若f(x)有且僅有一個零點，則0<a<1

C.當a>e時，f(x)有兩個零點

D.存在a>1，使得f(x)有三個極值點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線f(x)=e2?x過點(2,1)的切線方程為______．13.由0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)是______(用數(shù)字作答)．14.玻璃杯成箱出售，每箱10只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購一箱玻璃杯，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看2只，若無殘次品，則買下該箱，否則退回.試求顧客買下該箱的概率______.在顧客買下的一箱中，求無殘次品的概率______(用數(shù)字作答)．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某5G科技公司對某款5G產(chǎn)品在2020年1月至6月的月銷售量及月銷售單價進行了調(diào)查，月銷售單價x和月銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份123456月銷售單價x(百元)98.88.68.48.28月銷售量y(萬件)687580838490(1)由散點圖可知變量y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)1月至6月的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程y?=b?x+a?；

(2)預(yù)計在今后的銷售中，月銷售量與月銷售單價仍然服從(1)中的關(guān)系，若該種產(chǎn)品的成本是350元/件，則該產(chǎn)品的月銷售單價應(yīng)定為多少元才能獲得最大月利潤？(注：利潤=銷售收入?成本)

附參考公式和數(shù)據(jù)：16.(本小題15分)

某校從高三年級選拔一個班級代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定選手回答1道相關(guān)題目.根據(jù)最后的評判選擇由哪個班級代表學(xué)校參加大賽.每個班級有6名選手.現(xiàn)從每個班級的6名選手中隨機抽取4人回答這道題目.已知甲班的6名選手中只有4人可以正確回答這道題目，乙班的6名選手能正確回答這道題目的概率均為23，甲、乙兩個班每名學(xué)生題目的回答是否正確都是相互獨立的．

(1)設(shè)甲班被抽取的選手能正確回答的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)并利用所學(xué)的知識分析由哪個班級代表學(xué)校參加大賽更好．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=3lnx?ax3+4．

(1)當a=1時，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)≤0對任意的x>0恒成立，求a18.(本小題17分)

{an}為等差數(shù)列，bn=an?4,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}19.(本小題17分)

體育課上，甲、乙兩名同學(xué)向丙發(fā)起乒乓球挑戰(zhàn).挑戰(zhàn)規(guī)則如下：

①第一局甲挑戰(zhàn)丙；

②若一人挑戰(zhàn)成功，則下一局繼續(xù)由該同學(xué)挑戰(zhàn)，否則換另一名同學(xué)挑戰(zhàn).已知每一局甲挑戰(zhàn)成功的概率為14，乙挑戰(zhàn)成功的概率為13，每一局甲、乙是否能挑戰(zhàn)成功相互獨立．

(1)求前4局甲、乙兩人恰好各挑戰(zhàn)成功1次的概率．

(2)求第n(n∈N?)局比賽是甲挑戰(zhàn)丙的概率pn，并判斷當比賽局數(shù)n答案解析1.【答案】B

【解析】解：因為X～N(4,1)，

所以μ=4，σ=1，

所以P(2<X≤6)=P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，

所以P(X≤2)=1?P(2<X≤6)2=1?0.95452=0.02275．

故選：2.【答案】C

【解析】解：設(shè)看不清的數(shù)據(jù)為m，

由題意可知，x?=0+1+3+44=2，y?=m+3.3+4.6+5.74=m+13.64，

因為回歸方程y=0.85x+2.1過樣本中心(2,m+13.64)3.【答案】A

【解析】解：由等比數(shù)列{an}中，an>0，且a7，12a6，?2a5成等差數(shù)列，

可得2×12a6=a7?2a5，即a5q=a5q24.【答案】D

【解析】解：已知函數(shù)f(x)=13x3?12x2?2x+13，

則f′(x)=x2?x?2=(x+1)(x?2)，

令f′(x)=(x+1)(x?2)>0?x<?1或x>2，f′(x)=(x+1)(x?2)<0??1<x<2，

所以f(x)在(?∞,?1)，(2,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)在(?1,2)5.【答案】C

【解析】解：對于A，由經(jīng)驗回歸直線方程的性質(zhì)可知，經(jīng)驗回歸直線一定過樣本中心點(x?,y?)，故A正確；

對于B，在殘差圖中，殘差比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，故B正確；

對于C，因為R2的值越大，擬合效果越好，而0.98>0.80，

所以模型甲的擬合效果更好，故C錯誤；

對于D，兩個模型的殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故D正確．

故選：C．

根據(jù)經(jīng)驗回歸直線方程的性質(zhì)可判斷A6.【答案】B

【解析】解：x2y4項的系數(shù)為：mC5322×(?1)37.【答案】B

【解析】解：當甲學(xué)校安排4名志愿者時，從6名志愿者中選4名安排到甲學(xué)校，有C64=15種選法；

剩下2名志愿者安排到乙、丙兩所學(xué)校，有A22=2種排法．

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，此時的分配方法種數(shù)為15×2=30種．

當甲學(xué)校安排3名志愿者時，從6名志愿者中選3名安排到甲學(xué)校，有C63=20種選法；

剩下3名志愿者安排到乙、丙兩所學(xué)校，可分為(2,1)和(1,2)兩種情況，有C32+C31=3+3=6種排法．

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，此時的分配方法種數(shù)為20×6=120種．

當甲學(xué)校安排2名志愿者時，從6名志愿者中選2名安排到甲學(xué)校，有C62=15種選法；

剩下48.【答案】B

【解析】解：已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)>f(x)，

設(shè)g(x)=f(x)ex，則g′(x)=f′(x)ex?f(x)ex(ex)2=f′(x)?f(x)ex>0，

故函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，

因f(10)=1，且f(x+5)為偶函數(shù)，

故f(?x+5)=f(x+5)，

故f(0)=f(10)=1，

則g(0)=f(0)e0=1，

于是f(x)<ex等價于f(x)ex<1，

即g(x)<g(0)，由函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得9.【答案】BC

【解析】解：對于A，由已知得：

E(2X+1)=2E(X)+1，D(2X+1)=4D(X)，故A錯誤；

對于B，因為ξ～N(0,1)，所以P(ξ≥1)=P(ξ≤?1)=p，

所以P(?1<ξ≤0)=12?p，故B正確；

對于C，由于X～B(n,p)，E(X)=20，D(X)=10，

所以np=20，np(1?p)=10，解得p=12，故C正確；

對于D，由題意可得P(Y=1)=C51C31C82=1528，故D10.【答案】ACD

【解析】解：由題意可得2n=256，n=8，

A：展開式中共有9項，二項式系數(shù)最大的項為第5項，A正確；

B：二項式的展開式的通項公式為：Tr+1=C8rx8?r(?2x)r=(?2)rC8rx8?32r，r=0，1，2，?，8，

令8?3r2∈N，則r=0，2，4，6，8時，Tr+1是有理項，共5項，B錯誤；

對于C，設(shè)第r+1項的系數(shù)的絕對值最大，則2rC8r≥2r+1C8r+12rC8r≥2r?1C11.【答案】ABC

【解析】解：對于A選項，當a=e時，f(x)≥0，即ex≥xe?x≥elnx?lnxx≤1e，

設(shè)g(x)=lnxx，則g′(x)=1?lnxx2，

故當x∈(0,e)時，g′(x)>0，當x∈(e,+∞)時，g′(x)<0，

所以g(x)≤g(e)=?lnee=1e，故A正確；

對于B選項，當0<a<時，f(x)=ax?xa單調(diào)遞減，

且當x→0+時，f(x)→1，f(1)=a?1<0，

因此f(x)只有一個零點，故B正確；

對于C選項，f(x)=0?ax=xa?xlna=alnx，即lnxx=lnaa，

當a>e時，由A選項可知，0<g(a)<1e，

因此g(x)=g(a)有兩個零點，即f(x)有兩個零點，故C正確；

(x?1)lna+ln(lna)=(a?1)lnx，

設(shè)?(x)=(x?1)lna+ln(lna)?(a?1)lnx，則?′(x)=lna?a?1x12.【答案】y=?x+3

【解析】解：已知曲線的方程為f(x)=e2?x，

則點(2,1)在曲線上，

根據(jù)指數(shù)型曲線的特點，點(2,1)即是切點，

又f′(x)=?e2?x，

則切線斜率k=f′(2)=?1，

又過點(2,1)，

所以切線方程為y=?x+3．

故答案為：y=?x+3．

由題可知點(2,1)在曲線上，根據(jù)指數(shù)型曲線的特點，點13.【答案】156

【解析】解：分為兩種情況：①個位數(shù)是0時，前三位數(shù)共有A53=60排法；

②個位數(shù)是2或4時，千位數(shù)有4種選擇，百位數(shù)和十位數(shù)共有A42種排法，

由分步計數(shù)原理可得共有2×4×A42=96個，

所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為15614.【答案】212225

45【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A=“顧客買下該箱”，事件B=“箱中恰有i件殘次品”，i=0，1，2．

P(B0)=0.8，P(B1)=0.1，P(B2)=0.1，

則P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(15.【答案】解：(1)x?=16(9+8.8+8.6+8.4+8.2+8)=8.5，

y?=16(68+75+80+83+84+90)=80．

i=16(xi?x?)2=(9?8.5)2+(8.8?8.5)2+(8.6?8.5)2+(8.4?8.5)2+(8.2?8.5)2+(8?8.5)2=0.7，

i=1【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)求得b?與a?的值，則線性回歸方程可求；

(2)設(shè)月利潤為z百萬元，由z=(x?3.5)y，得z=(x?3.5)(250?20x)，展開后利用配方法求最值．16.【答案】分布列見解析，數(shù)學(xué)期望E(X)=83；

【解析】(1)易知X的所有取值有2、3、4，

P(X=2)=C22C42C6X234P281將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得E(X)=2×25+3×815+4×115=83；

(2)設(shè)乙班被抽取的選手能夠正確回答的人數(shù)為隨機變量Y，則Y～B(4,23)，

所以E(Y)=4×23=83，D(Y)=4×23×13=89，

由方差公式可得D(X)=(2?83)2×25+(3?8317.【答案】3.

[e3【解析】(1)當a=1時，函數(shù)f(x)=3lnx?x3+4，該函數(shù)的定義域為(0,+∞)，

那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x?3x2=3?3x3x，

由f′(x)<0，得x>1，由f′(x)>0，得0<x<1，

則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=?1+4=3．

(2)f(x)≤0對任意的x>0恒成立，等價于a≥3lnx+4x3對任意