第十四章全等三角形14.3角的平分線第1課時(shí)

角的平分線的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問題.（重點(diǎn)）問題1：

再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？對(duì)折不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？AOBC新課導(dǎo)入問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對(duì)折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？問題3：如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.1尺規(guī)作角平分線問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO做一做：請(qǐng)大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？講授新課ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)MN為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.ABOC如圖所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.練一練導(dǎo)引：要作射線OM，使∠AOM＝∠AOB，其實(shí)質(zhì)是作

∠AOB的平分線．ABO作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F；(2)分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C；(3)畫射線OC；(4)同理，作∠AOC的平分線OM.∠AOM即為所求(如上圖所示)．角平分線的性質(zhì)21.操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)果：__________

PDPE第一次第二次第三次PD=PECOBApDE實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的

任意一點(diǎn)猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等驗(yàn)證猜想性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC知識(shí)要點(diǎn)

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.

導(dǎo)引：要證BD＝DF，可考慮證兩線段所在的

△BDE和△FDC全等，兩個(gè)三角形中已有一

角和一邊相等，只要再證DE＝CD即可，這

可由AD平分∠CAB及垂直條件證得．例1在△BDE和△FDC中，DE=CD,∠DEB=∠C,BE=FC,∴△BDE≌△FDC,∴BD=DF.證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，

∠C＝90°，∴DE＝DC.

如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用例2ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長(zhǎng).·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=1、應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2、聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長(zhǎng)條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解知識(shí)與方法2、△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD3E1、如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG當(dāng)堂練習(xí)3、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D4、如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝50，DE＝14，則△BCE的面積等于________．3505、如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA

和OB的距離相等.解：如圖，過O作∠AOB的平分線，與直線MN交于點(diǎn)P，

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．EDCBA68106、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長(zhǎng)和△AED的周長(zhǎng).解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周長(zhǎng)=AE+ED+DA=2+6=8.7、如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長(zhǎng)即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.

8、如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，

DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，

∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.角平分線尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質(zhì)定理一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段課堂小結(jié)第十四章全等三角形14.3角的平分線第2課時(shí)

角的平分線的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解角平分線判定定理.(難點(diǎn)）2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.（重點(diǎn)）3.學(xué)會(huì)判斷一個(gè)點(diǎn)是否在一個(gè)角的平分線上.ODPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.1.敘述角平分線的性質(zhì)定理不必再證全等E復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入2.我們知道，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.1角平分線的判定PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．問題：交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE幾何語言：猜想:思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？講授新課已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，∴點(diǎn)P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE證明猜想判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.總結(jié)

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點(diǎn)撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點(diǎn)到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點(diǎn).例1

如圖，BE＝CF，DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于

點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.

導(dǎo)引：要證AD平分∠BAC，已知條件中有兩個(gè)垂直，

即有點(diǎn)到角的兩邊的距離，再證這兩個(gè)距離相等即可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相等，可通過證明△BDE和△CDF全等來完成．例2證明：∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∠BDE＝∠CDF∠DEB＝∠DFCBE＝CF∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.

又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴AD平分∠BAC.練一練如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點(diǎn)P是(

)A．線段CD的中點(diǎn)B．CD與過點(diǎn)O作CD的

垂線的交點(diǎn)C．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)D．以上均不對(duì)C總結(jié)證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應(yīng)用角平分線的定義.(2)定理法：應(yīng)用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”來判定.判定角平分線時(shí)，需要滿足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”.2三角形的內(nèi)角平分線活動(dòng)1分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)活動(dòng)2分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明結(jié)論想一想：點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.這個(gè)交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心.D

E

F

A

B

C

P

N

M

練一練到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的(

)A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)

D．以上均不對(duì)

BMENABCPOD變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用答案：12解：連接OCMENABCPOD變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周長(zhǎng)為32，求△ABC的面積.1、應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2、聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長(zhǎng)條件知識(shí)與方法

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.例3方法總結(jié)：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPCOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPC角的平分線的判定歸納總結(jié)1、在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是()A．點(diǎn)MB．點(diǎn)NC．點(diǎn)PD．點(diǎn)QA2、如圖，在△ABC中，分別與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上結(jié)論都正確B當(dāng)堂練習(xí)3、如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得S△PAB＝S△PCD，則滿足此條件的點(diǎn)P(

)A．有且只有1個(gè)B．有且只有2個(gè)C．組成∠E的平分線D．組成∠E的平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)D4、如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.4∶5∶65、如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．證明：∵D到PE的距離與到PF