上海市八年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷詳解版（滿分100分，考試時(shí)間90分鐘）一、前言本套試卷緊扣《上海市初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版），以八年級(jí)下冊(cè)核心知識(shí)點(diǎn)為考查重點(diǎn)，兼顧基礎(chǔ)與能力。題型涵蓋選擇題、填空題、解答題，比例合理（選擇18分、填空18分、解答64分）。試題注重對(duì)概念理解（如二次根式意義、函數(shù)定義域）、運(yùn)算能力（如二次根式加減、一元二次方程解法）、邏輯推理（如四邊形判定）、實(shí)際應(yīng)用（如勾股定理、概率）的考查，符合期末檢測(cè)“查漏補(bǔ)缺、鞏固基礎(chǔ)”的定位。本文將逐題解析，附答案、詳細(xì)解答及易錯(cuò)點(diǎn)提示，幫助學(xué)生明確考點(diǎn)、規(guī)避誤區(qū)，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供參考。二、試卷結(jié)構(gòu)分析題型題量分值考查重點(diǎn)選擇題618基礎(chǔ)概念、性質(zhì)判斷填空題618計(jì)算能力、定理應(yīng)用解答題864綜合運(yùn)算、邏輯證明、實(shí)際應(yīng)用三、選擇題（共6題，每題3分，滿分18分）第1題二次根式有意義的條件【題目】若二次根式$\sqrt{x-2}$有意義，則實(shí)數(shù)$x$的取值范圍是（）A.$x>2$B.$x\geq2$C.$x<2$D.$x\leq2$【答案】B【詳解】二次根式有意義的充要條件是被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，即$x-2\geq0$，解得$x\geq2$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】切勿忽略“等于”的情況，若選A（$x>2$），則遺漏了$x=2$時(shí)$\sqrt{0}=0$有意義的情形。第2題一元二次方程的一般形式【題目】將方程$2x(x-1)=3x+1$化為一元二次方程的一般形式，正確的是（）A.$2x^2-5x-1=0$B.$2x^2+x-1=0$C.$2x^2-5x+1=0$D.$2x^2+x+1=0$【答案】A【詳解】一元二次方程的一般形式為$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），步驟如下：1.展開(kāi)左邊：$2x^2-2x=3x+1$；2.移項(xiàng)（將所有項(xiàng)移到左邊）：$2x^2-2x-3x-1=0$；3.合并同類項(xiàng)：$2x^2-5x-1=0$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)，避免將$-1$誤寫(xiě)為$+1$（如選項(xiàng)C）。第3題正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)【題目】正比例函數(shù)$y=-2x$的圖像經(jīng)過(guò)（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限【答案】D【詳解】正比例函數(shù)$y=kx$（$k\neq0$）的圖像特征：$k>0$時(shí)，過(guò)原點(diǎn)及第一、三象限；$k<0$時(shí)，過(guò)原點(diǎn)及第二、四象限。本題$k=-2<0$，故圖像過(guò)第二、四象限?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】注意$k$的符號(hào)與象限的關(guān)系，不要混淆正負(fù)。第4題平行四邊形的性質(zhì)【題目】在$\parallelogramABCD$中，對(duì)角線$AC$與$BD$交于點(diǎn)$O$，若$AO=3$，則$AC$的長(zhǎng)為（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【詳解】平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即$AO=OC=\frac{1}{2}AC$。因此$AC=2AO=2\times3=6$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】牢記平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，避免誤選A（直接取$AO$的值）。第5題勾股定理的分類討論【題目】直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為（）A.5B.$\sqrt{7}$C.5或$\sqrt{7}$D.無(wú)法確定【答案】C【詳解】直角三角形中，斜邊最長(zhǎng)，因此需分兩種情況：1.若3和4為直角邊，則斜邊為$\sqrt{3^2+4^2}=5$；2.若4為斜邊，3為直角邊，則另一直角邊為$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】切勿忽略“4為斜邊”的情況，避免漏選$\sqrt{7}$（如選項(xiàng)A）。第6題反比例函數(shù)的性質(zhì)【題目】反比例函數(shù)$y=\frac{5}{x}$的圖像上有兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，若$x_1<0<x_2$，則$y_1$與$y_2$的大小關(guān)系是（）A.$y_1>y_2$B.$y_1<y_2$C.$y_1=y_2$D.無(wú)法確定【答案】B【詳解】反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的性質(zhì)：$k>0$時(shí)，圖像位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)$y$隨$x$增大而減??；$k<0$時(shí)，圖像位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)$y$隨$x$增大而增大。本題$k=5>0$，點(diǎn)$A(x_1,y_1)$在第三象限（$x_1<0$），故$y_1<0$；點(diǎn)$B(x_2,y_2)$在第一象限（$x_2>0$），故$y_2>0$。因此$y_1<y_2$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】強(qiáng)調(diào)“每個(gè)象限內(nèi)”的單調(diào)性，若兩點(diǎn)在不同象限，直接通過(guò)象限符號(hào)判斷大小。四、填空題（共6題，每題3分，滿分18分）第7題二次根式的化簡(jiǎn)【題目】化簡(jiǎn)$\sqrt{18}$的結(jié)果是________?！敬鸢浮?3\sqrt{2}$【詳解】$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$（利用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt$，$a\geq0$，$b\geq0$）?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】避免將$\sqrt{18}$誤化簡(jiǎn)為$2\sqrt{3}$（混淆$18=9\times2$與$12=4\times3$）。第8題一元二次方程的解的意義【題目】若$x=1$是方程$ax^2+bx-3=0$的一個(gè)解，則$a+b$的值為_(kāi)_______?！敬鸢浮?【詳解】將$x=1$代入方程，得$a\times1^2+b\times1-3=0$，即$a+b-3=0$，故$a+b=3$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】注意方程中的常數(shù)項(xiàng)是$-3$，代入后不要漏減3（如誤得$a+b=0$）。第9題函數(shù)的定義域【題目】函數(shù)$y=\frac{2}{x-1}$的定義域是________。【答案】$x\neq1$【詳解】分式函數(shù)的定義域是分母不為0，即$x-1\neq0$，解得$x\neq1$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】定義域需用集合或區(qū)間表示，此處用“$x\neq1$”即可，避免寫(xiě)成$x>1$或$x<1$。第10題平行四邊形的判定【題目】如圖，在四邊形$ABCD$中，$AB\parallelCD$，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使四邊形$ABCD$為平行四邊形（只需寫(xiě)一個(gè)）?！敬鸢浮?AB=CD$（或$AD\parallelBC$等）【詳解】平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等（$AB\parallelCD$且$AB=CD$）；兩組對(duì)邊分別平行（$AB\parallelCD$且$AD\parallelBC$）；對(duì)角線互相平分（需添加對(duì)角線條件）?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】添加條件需符合判定定理，避免添加“$\angleA=\angleC$”（需結(jié)合其他條件才能判定）。第11題矩形的性質(zhì)與面積【題目】矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為10，一邊長(zhǎng)為6，則該矩形的面積為_(kāi)_______。【答案】48【詳解】矩形的對(duì)角線相等且互相平分，設(shè)另一邊長(zhǎng)為$x$，根據(jù)勾股定理得$6^2+x^2=10^2$，解得$x=8$（$x=-8$舍去）。因此面積為$6\times8=48$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】矩形面積=長(zhǎng)×寬，需先通過(guò)對(duì)角線求出另一邊長(zhǎng)，避免直接用對(duì)角線計(jì)算面積。第12題概率的計(jì)算（古典概型）【題目】擲一枚均勻的骰子（6個(gè)面分別標(biāo)有1~6），朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是________?！敬鸢浮?\frac{1}{2}$【詳解】總結(jié)果數(shù)為6（1~6），所求事件（偶數(shù)）包含的結(jié)果數(shù)為3（2、4、6），故概率為$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】概率需化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，避免寫(xiě)成$\frac{3}{6}$。五、解答題（共8題，滿分64分）第13題二次根式的加減運(yùn)算（8分）【題目】計(jì)算：$\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{2}$。【答案】$4\sqrt{2}$【詳解】步驟1：將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)形式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$保持不變；步驟2：合并同類二次根式（被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式）：$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2+3-1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】只有同類二次根式才能合并，避免將$\sqrt{8}+\sqrt{18}$誤算為$\sqrt{26}$。第14題解一元二次方程（配方法，8分）【題目】用配方法解方程$x^2-6x+5=0$?！敬鸢浮?x_1=1$，$x_2=5$【詳解】步驟1：移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊：$x^2-6x=-5$；步驟2：配方，兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（$(-6/2)^2=9$）：$x^2-6x+9=-5+9$；步驟3：左邊寫(xiě)成完全平方：$(x-3)^2=4$；步驟4：開(kāi)平方：$x-3=\pm2$；步驟5：解得：$x=3+2=5$或$x=3-2=1$?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】配方時(shí)需保證兩邊同時(shí)加相同的數(shù)，避免左邊加9、右邊不加（如誤得$(x-3)^2=-5$）。第15題正比例函數(shù)的圖像繪制（8分）【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出正比例函數(shù)$y=3x$的圖像，并寫(xiě)出它的一條性質(zhì)。【答案】圖像略；性質(zhì)：$y$隨$x$增大而增大（或過(guò)原點(diǎn)及第一、三象限等）?！驹斀狻?.取點(diǎn)：正比例函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)$(0,0)$，再取一點(diǎn)$(1,3)$（$x=1$時(shí)，$y=3\times1=3$）；2.連線：用直尺連接$(0,0)$和$(1,3)$，延長(zhǎng)線段即可得到$y=3x$的圖像；3.性質(zhì)：$k=3>0$，故$y$隨$x$增大而增大（或圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限）?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】畫(huà)圖像時(shí)需取兩個(gè)點(diǎn)，避免只畫(huà)一個(gè)點(diǎn)；性質(zhì)需結(jié)合$k$的符號(hào)描述。第16題平行四邊形的證明（8分）【題目】如圖，在$\parallelogramABCD$中，$E$、$F$分別是$AB$、$CD$的中點(diǎn)，求證：四邊形$AECF$是平行四邊形?！敬鸢浮恳?jiàn)詳解【詳解】證明：∵四邊形$ABCD$是平行四邊形，∴$AB\parallelCD$且$AB=CD$（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）。∵$E$、$F$分別是$AB$、$CD$的中點(diǎn)，∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，∴$AE=CF$（等量代換）。又∵$AE\parallelCF$（$AB\parallelCD$的一部分），∴四邊形$AECF$是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。【易錯(cuò)點(diǎn)提示】證明平行四邊形時(shí)，需明確所用判定定理，避免邏輯跳躍（如直接說(shuō)“因?yàn)?AE=CF$，所以平行四邊形”）。第17題勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（8分）【題目】如圖，一架梯子靠在墻上，梯子底端離墻$3$米，頂端離地面$4$米。若梯子底端向右滑動(dòng)$1$米，求頂端下滑的距離?！敬鸢浮?米【詳解】步驟1：求梯子長(zhǎng)度（初始狀態(tài)）：梯子、墻、地面構(gòu)成直角三角形，梯子長(zhǎng)為$\sqrt{3^2+4^2}=5$米（勾股定理）；步驟2：求滑動(dòng)后頂端離地面的高度（滑動(dòng)后底端離墻$3+1=4$米）：設(shè)滑動(dòng)后頂端離地面$h$米，根據(jù)勾股定理得$4^2+h^2=5^2$，解得$h=3$米（$h=-3$舍去）；步驟3：計(jì)算頂端下滑距離：$4-3=1$米?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】梯子長(zhǎng)度不變，滑動(dòng)前后均需用勾股定理計(jì)算，避免直接認(rèn)為下滑距離等于滑動(dòng)距離（如誤答1米但邏輯錯(cuò)誤）。第18題反比例函數(shù)的應(yīng)用（8分）【題目】已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖像過(guò)點(diǎn)$(2,-3)$，求：（1）$k$的值；（2）當(dāng)$x=-1$時(shí)，$y$的值；（3）當(dāng)$y=2$時(shí)，$x$的值?！敬鸢浮浚?）$k=-6$；（2）$y=6$；（3）$x=-3$【詳解】（1）將點(diǎn)$(2,-3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-3=\frac{k}{2}$，解得$k=-6$；（2）函數(shù)表達(dá)式為$y=\frac{-6}{x}$，當(dāng)$x=-1$時(shí)，$y=\frac{-6}{-1}=6$；（3）當(dāng)$y=2$時(shí)，$2=\frac{-6}{x}$，解得$x=\frac{-6}{2}=-3$（檢驗(yàn)：$x=-3\neq0$，符合定義域）?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】反比例函數(shù)中$k=xy$，代入點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)注意符號(hào)（如$(2,-3)$的乘積為$-6$）；求$x$或$y$時(shí)需注意分母不為0。第19題菱形的判定（8分）【題目】如圖，在矩形$ABCD$中，對(duì)角線$AC$的垂直平分線交$AD$于點(diǎn)$E$，交$BC$于點(diǎn)$F$，連接$CE$、$AF$。求證：四邊形$AFCE$是菱形?！敬鸢浮恳?jiàn)詳解【詳解】證明：∵四邊形$ABCD$是矩形，∴$AD\parallelBC$（矩形對(duì)邊平行），∴$\angleEAO=\angleFCO$（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）?！?EF$是$AC$的垂直平分線，∴$AO=OC$（垂直平分線平分線段），$EF\perpAC$，且$AE=CE$（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等），$AF=CF$（同理）。在$\triangleAOE$和$\triangleCOF$中：$\angleEAO=\angleFCO$（已證），$AO=OC$（已證），$\angleAOE=\angleCOF$（對(duì)頂角相等），∴$\triangleAOE\cong\triangleCOF$（ASA），∴$AE=CF$（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）?！?AE=CE=CF=AF$（等量代換），∴四邊形$AFCE$是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形）?！疽族e(cuò)點(diǎn)提示】證明菱形時(shí)，可選擇“四條邊相等”或“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形”，此處通過(guò)全等三角形證四邊相等更直接；需注意矩形的性質(zhì)（對(duì)邊平行、對(duì)角線相等）的應(yīng)用。第20題概率的計(jì)算（樹(shù)狀圖法，8分）【題目】盒子里有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別。從中不放回地摸出2個(gè)球，求摸出的2個(gè)球都是紅球的概率?！敬鸢浮?\frac{1}{10}$【詳解】步驟1：畫(huà)樹(shù)狀圖表示所有可能的結(jié)果（第一次摸球有5種可能，第二次有4種可能，共$5\times4=20$種等可能結(jié)果）；步驟2：找出“兩次都是紅球”的結(jié)果數(shù)：第一次摸紅球有2種可能，第二次摸紅球有1種可能，共$2\times1=2$種；步驟3：計(jì)算概率：$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。樹(shù)狀圖簡(jiǎn)化：第一次摸球：紅1、紅2、白1、白2、白3；第二次摸球：若第一次摸紅1，則第二次可摸紅2、白1、白2、白3（4種）；若第一次摸紅2，則第二次可摸紅1、白1、白2、白3（4種）；若第一次摸白球，則第二次可摸剩余4個(gè)球（4種）?！皟纱渭t球”的結(jié)果為（紅1,紅2）、（紅2,紅