專題24.8點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（5大考點(diǎn)14類題型）（知識(shí)梳理與題型分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納與題型目錄】【知識(shí)點(diǎn)1】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分為點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種情況，這三種位置關(guān)系與點(diǎn)到圓心的距離（d）圓的半徑（r）之間有著緊密的聯(lián)系．具體關(guān)系如下：【知識(shí)點(diǎn)2】圓的確定經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.【知識(shí)點(diǎn)3】外心1.三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外部?！局R(shí)點(diǎn)3】反證法的一般步驟1.假設(shè)命題反面成立；2.從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理得出和反面命題矛盾，或者與定義、公理、定理矛盾；3.得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證命題成立?！绢}型目錄】【知識(shí)點(diǎn)一】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系........................................................................................1；【題型2】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑或半徑取值上范圍......................4；【知識(shí)點(diǎn)二】圓的確定【題型3】判斷確定圓的條件................................................7；【題型4】確定圓心.......................................................10；【題型5】畫(huà)圓（尺規(guī)作圖）...............................................12；【知識(shí)點(diǎn)三】三角形的外接圓【題型6】求三角形外心坐標(biāo)...............................................14；【題型7】求特殊三角形外接圓的半徑.......................................17；【題型8】由外心位置判定三角形的形狀.....................................19；【題型9】判斷三角形外接圓圓心位置.......................................21；【知識(shí)點(diǎn)四】反證法【題型10】舉反例........................................................23；【題型11】反證法證明中的假設(shè)............................................24；【題型12】用反證法證明命題..............................................24；【知識(shí)點(diǎn)五】中考前沿與拓展延伸【題型13】直通中考......................................................27;【題型14】拓展延伸......................................................28.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（1）圓心的坐標(biāo)為；【分析】本題主要考查確定圓的條件和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．解：（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．A．點(diǎn)，均在內(nèi) B．點(diǎn)，均在外C．點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外 D．以上選項(xiàng)都不正確【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，掌握根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式求出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，根據(jù)中線的定義求出的長(zhǎng)，然后由點(diǎn)、到點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)、與圓的位置關(guān)系即可．點(diǎn)在內(nèi)、點(diǎn)在外，故選：．【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑是解題的關(guān)鍵．∵點(diǎn)B在內(nèi)，【題型2】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑或半徑取值范圍（1）以點(diǎn)A為圓心，3為半徑作圓A，則點(diǎn)，，與圓A的位置關(guān)系如何？（2）若以點(diǎn)A為圓心作圓A，使，，三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，求圓A的半徑的取值范圍？【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，掌握通過(guò)圓心與點(diǎn)的距離和半徑的大小關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵；點(diǎn)在圓A上，點(diǎn)在圓A內(nèi)，在圓A外；A． B． C． D．【答案】C解：連接，如圖，∵Q是線段的中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，最小，連接交圓于P時(shí)，最小，∴線段的最小值為．故選：C．解：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則PC最短，，【題型3】判斷確定圓的條件【答案】C故選：C．【變式1】（2425九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓，②圓的直徑是圓的對(duì)稱軸，③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查三角形的外心，圓的性質(zhì)，確定圓的條件；①根據(jù)確定一個(gè)圓的條件即可判斷．②根據(jù)對(duì)稱軸為直線即可判斷；③根據(jù)等弧的定義即可判斷；④根據(jù)三角形外心的性質(zhì)即可判斷解：①不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；②圓的直徑所在直線是圓的對(duì)稱軸，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；③同圓或等圓中長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故該選項(xiàng)正確，符合題意；正確的有④，共1個(gè)，故選：A．【答案】解：如圖所示，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)時(shí)，此時(shí)的值最小，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4】確定圓心【例4】（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）有下列說(shuō)法：（1）三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）相等的圓心角所對(duì)的弦相等；（3）等弧所對(duì)的圓心角相等；（4）三角形的外心到三角形三條邊的距離相等；（5）外心在三角形的一邊上的三角形是直角三角形；其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】此題考查了確定圓的條件，三角形外心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)確定圓的條件對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外心的性質(zhì)對(duì)④⑤進(jìn)行判斷．解：（1）不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤；（2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，故錯(cuò)誤；（3）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，故正確；（4）三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故錯(cuò)誤；（5）外心在三角形的一邊上的三角形是直角三角形，故正確；故選：B．【變式1】（2223九年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是第塊．【答案】①【分析】根據(jù)不在一條直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓即可解得．解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心．只要有一段弧，即可確定圓心和半徑．所以小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是①．故答案為：①．【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理的推論的應(yīng)用，確定圓的條件，掌握確定圓的的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，證明點(diǎn)C在圓O上；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根據(jù)斜邊上中線的性質(zhì)和圓的對(duì)稱性分析，即可完成證明．解：圖，連接CO∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∵CD=24，AD=26∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°∵AD為⊙O的直徑∴AO=OD∴OC為Rt△ACD斜邊上的中線∴點(diǎn)C在圓O上．【點(diǎn)撥】本題考查了圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．【題型5】畫(huà)圓（尺規(guī)作圖）【例5】（2020·四川成都·一模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN，ON．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，若∠AOB＝20°，則∠OMN=．【答案】60°【分析】根據(jù)等弧或等弦所對(duì)的圓心角相等即可得到∠=COD=∠DON=20°，從而判斷△OMN是等邊三角形即可解答．解：由作圖可知：CM=CD=DN，∴∠=COD=∠DON=20°，∴∠MON=60°，又∵OM=ON，∴△OMN是等邊三角形，∴∠OMN=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖以及圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等弧或等弦所對(duì)的圓心角相等得到△OMN是等邊三角形．【變式1】（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：作法：如圖2．（2）作直線，交于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．

下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【答案】D解：作直線（兩點(diǎn)確定一條直線），

∴A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為直徑的圓上．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，圓的尺規(guī)作圖，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．按照角平分線的尺規(guī)作圖，圓的尺規(guī)作圖，與圖，圖，圖分別對(duì)應(yīng)即可．故對(duì)應(yīng)圖所示．③分別作兩個(gè)銳角的平分線，按照①中角平分線的畫(huà)法即可得出，對(duì)應(yīng)與圖所示．故選：．【題型6】求三角形外心坐標(biāo)【變式1】（2324九年級(jí)上·北京·期末）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)O，A，B，C均在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（）【答案】D【分析】此題考查了三角形外接圓的外心、垂徑定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．勾股定理等知識(shí)；關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出外接圓的圓心位置．連接，作的垂直平分線，根據(jù)勾股定理和半徑相等得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．解：連接，作的垂直平分線，如圖所示：在的垂直平分線上找到一點(diǎn)，點(diǎn)是過(guò)、、三點(diǎn)的圓的圓心，故選：D．【題型7】求特殊三角形外接圓的半徑【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理．（1）作和的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓即可；解：（1）如圖，為所作；故答案為：．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C即直角三角形外接圓的直徑是10，∴半徑等于5．故選：C【答案】【詳解】解：如圖，記圓心為，∴圓心在的垂直平分線上，即在軸上，故答案為：【題型8】由外心位置判定三角形的形狀【答案】(1)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先證明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再結(jié)合AD=AB即可得證；（2）①先根據(jù)全等三角形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)求出∠EAC、∠B的度數(shù)，再等量代換即可；②根據(jù)銳角三角形外心的性質(zhì)求解即可．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外心的定義等知識(shí)點(diǎn)．靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式1】（2024九年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）如果一個(gè)三角形的外心在三角形的外部，那么這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查三角形的外心，根據(jù)外心的形成和性質(zhì)直接判斷即可．解：三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，如果一個(gè)三角形的外心在三角形的外部，說(shuō)明有一個(gè)圓周角大于．故選：C【變式2】（2020·上?！と＃┤切蔚耐庑那『迷谒囊粭l邊上，則這個(gè)三角形一定是．【答案】直角三角形【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得該三角形是直角三角形．解：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是其斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵掌握直角三角形的外心就是其斜邊的中點(diǎn)．【題型9】判斷三角形外接圓圓心位置【例9】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，有一破殘的圓片，我們需要把它復(fù)制完整，已知弧上的點(diǎn)A、B、C．（1）通過(guò)尺規(guī)作圖，確定A、B、C所在圓的圓心O；【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，要注意作圖中是根據(jù)垂徑定理作為作圖依據(jù)．（1）可根據(jù)，的垂直平分線來(lái)確定圓心．解：（1）分別作、的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為，則為所求圓的圓心．（2）連接交于，連接．所以所求圓的半徑為【答案】C【分析】本題考查三角形的外接圓，圓周角定理，根據(jù)90度角所對(duì)的弦是直徑，得到斜邊是的直徑，即可得出結(jié)果．∴斜邊是的直徑，故選C．【分析】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理．解：如圖，【題型10】舉反例【答案】A【分析】本題考查了舉反例；根據(jù)反例滿足條件，不滿足結(jié)論可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．故選：A【變式】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)舉反例說(shuō)明命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，一定大于”是假命題．你舉的反例是．（寫(xiě)出一個(gè)值即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】本題考查的是命題和定理，任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．∴“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，一定大于”是假命題．故答案為：0（答案不唯一）．【題型11】反證法證明中的假設(shè)【答案】C【分析】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．故選：C．【變式】（2324八年級(jí)下·福建·期末）用反證法證明“直角三角形兩銳角中至少有一個(gè)不小于”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)直角三角形中的每一個(gè)銳角都．【答案】小于【分析】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．根據(jù)反證法的一般步驟解答即可．解：用反證法證明“直角三角形兩銳角中至少有一個(gè)不小于”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)直角三角形中的每一個(gè)銳角都小于，故答案為：小于．【題型12】用反證法證明命題【例12】（2024·廣東東莞·三模）綜合探究小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上（即四點(diǎn)共圓）時(shí)，就可以通過(guò)添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單，于是開(kāi)始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件．小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的逆命題為：________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù)．則它有可能在圓內(nèi)（如圖2），也有可能在圓外（如圖3）．假設(shè)點(diǎn)D在內(nèi)時(shí)，如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連結(jié)AE，請(qǐng)仿照以上證明，用反證法證明“假設(shè)點(diǎn)D在外”（如圖3）的情形【答案】(1)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形能內(nèi)接于圓．（或：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形）；(2)圖見(jiàn)解析，點(diǎn)D在上；(3)詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了反證法，命題與定理及線段的垂直平分線的性質(zhì)及有關(guān)圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)逆命題與原命題是條件、結(jié)論互換解答．（2）根據(jù)作過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)的圓作法作圖，先確定圓心再確定半徑；（3）根據(jù)反證法的步驟進(jìn)行證明．解：（1）對(duì)角互補(bǔ)的四邊形能內(nèi)接于圓．（或：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形）．（2）如圖1，為所求．點(diǎn)D在上．（3）證明：假設(shè)點(diǎn)D在外時(shí)，如圖3，CD交于點(diǎn)E，連結(jié)，所以點(diǎn)D不