高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，由，得，所以，即，解得所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，因?yàn)?，所以上式，故選：B.3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，則向量在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知得：根據(jù)在投影向量公式可得：，故選：C.4.在中，，是上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，可得，可?故選：D.5.斜拉橋（如圖1）是我國常見的橋型之一，是由許多斜拉索直接連接到主塔吊起橋面形成的一種橋梁.已知主塔AB垂直于橋面，斜拉索AD，AC與橋面所成角，（如圖2），主塔AB的高度為h，則間的距離為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，，在中，，所以，故選：A．6.若函數(shù)在上的最小值為，則t的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，因?yàn)椋沟蒙系淖钚≈禐椋瑒t滿足，解得，所以，所以的最大值為.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得，所以，整理得，解得或（舍），所以，故選：C．8.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且，邊上的中線相交于點(diǎn)P，且，則四邊形的面積為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由，結(jié)合正弦定理邊化角得：，因?yàn)?，所以上式化為，再由?nèi)角和為可化為，利用三角恒等變形得：，因?yàn)?，所以，即上式變形為，又因?yàn)?，所以，再由余弦定理得：即，解得，可得或，因?yàn)椋?，則的面積為，因?yàn)檫吷系闹芯€相交于點(diǎn)P，所以點(diǎn)P是的重心，即，，由，所以，即四邊形的面積為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若向量滿足且，則B.對(duì)于任意向量，都有C.對(duì)于任意向量，都有D.若向量共線，則存在實(shí)數(shù)，使得【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則，若，則，顯然，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)向量三角不等式，，故C正確；對(duì)于D，若，則不存在實(shí)數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤；故選：BC．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在上恰有6個(gè)零點(diǎn)D.若，在上有n個(gè)不同的解，則【答案】ABD【解析】由圖象可得：，因?yàn)?，由，可得，所以，再代入最高點(diǎn)可得：，即因?yàn)?，所以，即，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，則，滿足正弦函數(shù)的遞減區(qū)間，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，則，根據(jù)正弦函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，作圖分析可知;方程在上存在四個(gè)解，可知它們分別關(guān)于直線對(duì)稱，即有所以有即故D正確；故選：ABD.11.已知的面積為S，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則下列說法正確的有（）A.B.若，則C.若，則D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由余弦定理得，因?yàn)?，可得和，可得，又由正弦定理，可得，即，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，解得，因?yàn)?，所以或，所以B不正確；對(duì)于C中，由，且，可得，所以，，因?yàn)?，由正弦定理，可得，又由，所以的面積為，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即，等號(hào)成立，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得，所以，則，故答案為：．13.已知，則_________.【答案】【解析】由，可得，因?yàn)?，可得，又?故答案為：.14.如圖，在四邊形ABCD中，，，，設(shè).①當(dāng)時(shí)，BF的長為______，②四邊形BFDE面積的最大值為__________.【答案】；【解析】由，且，所以為的中點(diǎn)，且為的平分線，因?yàn)椋傻?，所以，則，所以.由，可得，且，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以，因?yàn)椋傻?，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得的最大值為.四、解答題.本題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù).（1）若為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)的值；（2）若為虛數(shù)且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求的值.解：（1）由為純虛數(shù)，可得，解得，此時(shí)，則.（2）由為虛數(shù)且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則，解得或，由于為虛數(shù)，所以舍去，故則，則.16.一條東西方向的河流兩岸平行，河寬800m，水流的速度為向東.河南岸有一碼頭A，碼頭A正對(duì)面有一貨站B（AB與河的方向垂直），B的正西方向且與B相距600m另有貨站C，已知一貨船勻速航行，當(dāng)貨船自碼頭A航行到貨站C航程最短時(shí)，合速度為.（1）求貨船航行速度的大??；（2）若貨船從A出發(fā)垂直到達(dá)正對(duì)岸的貨站B處，求貨船到達(dá)B處所需時(shí)間.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東向方向?yàn)檩S，以垂直對(duì)岸的方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系如圖所示.貨船從碼頭航行到貨站的最短路徑要求合速度方向由指向.設(shè)貨船在靜水中的速度為，水流速度為4km/h向東，即,合速度為水流速度與船速的矢量和：由題意，合速度方向與向量同向，且大小為.設(shè)合速度為，則：解得因此，合速度為.聯(lián)立方程：解得：貨船速度大小為：（2）貨船要垂直到達(dá)正對(duì)岸，需使合速度的東向分量為0.設(shè)船速為，則：，得由（1）知船速大小為，故：得合速度的北向分量為，河寬，所需時(shí)間為：17.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，由其圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，可知最小正周期為，因?yàn)?，所以，即，由，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得，，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，即，對(duì)任意的，有，此時(shí)，此時(shí)有，要使得不等式恒成立，則只需要滿足，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍這.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c.從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作答，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.①；②.（1）求角B；（2）若，求的取值范圍.解：（1）選①：由，利用正弦定理邊化角得：，因?yàn)?，所以有，可得，因?yàn)?，所以；選②：由，利用正弦定理邊化角得：，因?yàn)?，所以有，可得：因?yàn)?，所以，且；?）若，求的取值范圍.用正弦定理邊化角可得：，因?yàn)?，所以，即，則，所以，即，則.19.在中，.（1）求；（2）若的面積為18，的平分線與邊B