第頁第5講一元二次方程、不等式知識點目錄知識點目錄TOC\o"1-1"\h\u1135【知識點1】求解一元二次不等式 222140【知識點2】一元二次方程根的分布 315435【知識點3】三個二次之間的關系 528907【知識點4】一元二次不等式恒成立問題 6基礎知識基礎知識1．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應關系方程的判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數的圖象方程的根有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根不等式的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R2.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．常用結論1．一元二次不等式恒成立問題(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立?a>0且Δ<0；(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立?a<0且Δ<0；(3)若a可以為0，需要分類討論，一般優(yōu)先考慮a＝0的情形．2．對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記a＝0時的情形．知識點1知識點1知識點知識點【知識點1】求解一元二次不等式對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數．(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．典型例題典型例題例1：【例1】（2025?開遠市校級開學）已知，則關于的不等式的解集是A．或 B．或C． D．【例2】（2025?廣東學業(yè)考試）不等式的解集是A． B． C． D．，，【例3】（2024秋?中山區(qū)校級期末）關于的一元二次方程的解集為，，則不等式的解集為A． B．， C． D．，，【答案】【分析】由方程的解集和根與系數關系得，，的關系，并由得的正負，代入不等式后即可求解．【解答】解：關于的一元二次方程的解集為，，，即，，，即．，即，即，解得．故選：．【例4】（2024秋?深圳校級期末）已知函數．（1）若在區(qū)間，上單調遞減，求的取值范圍．（2）求關于的不等式的解集．【例5】（2024秋?海淀區(qū)校級期中）解關于的不等式：．知識點2知識點2知識點知識點【知識點2】一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布解決由一個一元二次方程根的分布情況，確定方程中系數的取值范圍問題，主要從以下三個方面建立關于系數的不等式(組)進行求解．(1)判別式Δ的符號．(2)對稱軸x＝－eq\f(b,2a)與所給區(qū)間的位置關系．(3)區(qū)間端點處函數值的符號．典型例題典型例題例1：【例6】（2025?臺灣四模）已知，是關于的一元二次方程的兩個實數根，且，，則實數的取值范圍為A． B． C． D．【例7】（2025春?杭州期中）已知關于的不等式的解集為，，則的最大值是A． B． C． D．【例8】（2024秋?亳州期末）已知，且是方程的一個根，則的最小值是A． B．4 C．2 D．8【例9】（2025春?遼寧月考）若關于的一元二次方程的兩個實數根分別為和，則的值是A． B． C． D．【例10】（2024秋?青海期末）若二次方程在上有兩個不相等的實根，則的取值范圍是A． B． C． D．知識點3知識點3知識點知識點【知識點3】三個二次之間的關系已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應的一元二次方程的兩根，由根與系數的關系，可以求出相應的系數．注意結合不等式解集的形式判斷二次項系數的正負典型例題典型例題例1：【例11】（2023秋?信陽期中）已知關于的不等式的解集是，，則下列結論正確的是A． B． C． D．【例12】（2024秋?吉林期末）已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是A． B． C． D．的解集為【例13】（2023秋?云南期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為A． B． C． D．【例14】（2024秋?集安市月考）已知關于的不等式的解集為，，，則下列選項中正確的是A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集為【例15】（2024秋?大理市期末）若關于實數的不等式的解集是或，則關于的不等式的解集是A． B． C． D．知識點4知識點4知識點知識點【知識點4】一元二次不等式恒成立問題恒成立問題求參數的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數求最值或分類討論．典型例題典型例題例1：【例16】（2024秋?武強縣校級期末）時，不等式成立，則的取值范圍是A． B． C． D．【例17】（2024秋?中牟縣期末）設，不等式恒成立的一個充分條件可以是A． B． C． D．【例18】（2025?芒市校級開學）一元二次不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【例19】（2024秋?寧波期末）若不等式對任意的恒成立，則的最小值為A．3 B． C．4 D．【例20】（2025?山東模擬）已知不等式對任意的恒成立，則實數的最小值．牛刀小試牛刀小試第5講第5講一元二次方程、不等式

一．選擇題（共10小題）1．（2025春?臨泉縣月考）不等式的解集為A．或 B．或 C． D．2．（2024秋?鶴山市期末）一元二次不等式的解集為A． B．C． D．3．（2024秋?呂梁期末）已知關于的一元二次不等式的解集為，則的值為A． B． C． D．4．（2024秋?金山區(qū)期末）當時，關于的不等式的解集為A． B． C． D．5．（2024秋?大興區(qū)期末）關于的不等式的解集不可能是A． B．， C． D．，6．（2024秋?佛山期末）若關于的方程有兩相異實根，，且，則實數的取值范圍是A．，， B． C． D．7．（2024秋?固鎮(zhèn)縣期末）關于的不等式的解集中恰有1個整數，則實數的取值范圍是A．，， B．，， C．，2， D．，，48．（2024秋?屯溪區(qū)期末）若關于的不等式在，上有解，則實數的最小值為A．9 B．5 C．6 D．9．（2024秋?宿遷期末）設，，為實數，不等式的解集是或，則的最大值為A． B． C． D．10．（2024秋?濟南期末）若，，則實數的取值范圍為A． B． C．，， D．，，二．多選題（共4小題）（多選）11．（2025?余姚市模擬）關于的一元二次不等式的解集為，則下列成立的是A． B． C． D．（多選）12．（2024秋?西峰區(qū)期末）關于的不等式的解集為的充分不必要條件有A． B． C． D．（多選）13．（2024秋?南昌縣期末）已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是A． B．不等式的解集為 C． D．的最小值為（多選）14．（2024秋?日照期末）已知關于的不等式的解集為，則A． B． C．不等式的解集為 D．的最小值為6三．填空題（共4小題）15．（2025春?寶山區(qū)月考）已知不等式的解集為，則實數．16．（2025?南通模擬）已知二次不等式的解集為，，，則的取值范圍是．17．（2024秋?許昌期末）若不等式對任意，都成立，則實數的取值范圍為．18．（2024秋?廣東期末）當關于的不等式對一切實數都成立時，的取值范圍是．四．解答題（共6小題）19．（2024秋?朝陽期末）已知函數．（1）若關于的不等式的解集為，求，的值；（2）當時，若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．20．（2024秋?普寧市期末）已知不等式的解集為．（1）求實數，的值；（2）解關于的不等式：為常數，且21．（2024秋?西寧期末）已知關于的不等式．（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若不等式的解集為，求