第頁第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)目錄TOC\o"1-1"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】數(shù)(式)的大小比較 2【知識(shí)點(diǎn)2】不等式的基本性質(zhì) 5【知識(shí)點(diǎn)3】不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用 8基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b))(a，b∈R)．2．等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：a>b?b<a；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常用結(jié)論不等式的兩類常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】數(shù)(式)的大小比較比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。湫屠}典型例題例1：【例1】（2025春?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知，是非零實(shí)數(shù)，且，是任意實(shí)數(shù)，則A． B． C． D．【答案】【分析】應(yīng)用特殊值法判斷、、，作差法判斷即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤．當(dāng)，時(shí)，滿足，但，錯(cuò)誤．因?yàn)?，而，所以，則，正確．當(dāng)，，時(shí)，滿足，但，錯(cuò)誤．故選：．【例2】（2025?房山區(qū)一模）已知，，且，則A． B． C． D．【答案】【分析】舉反例即可說明選項(xiàng)都錯(cuò)誤，根據(jù)是增函數(shù)即可判斷的正誤．【解答】解：，，滿足，不存在，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤．，是增函數(shù)，．故選：．【例3】（2024秋?西城區(qū)期末）已知，，且，下列不等式中一定成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】舉出反例檢驗(yàn)選項(xiàng)，結(jié)合不等式性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，顯然錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，顯然錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，顯然錯(cuò)誤；由可得正確．故選：．【例4】（2024秋?固始縣期末）已知，，則A． B． C． D．，的大小與有關(guān)【答案】【分析】利用作差法比較大小即可．【解答】解：由題意可得，當(dāng)即或時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，故、的大小與有關(guān)．故選：．【例5】（2024秋?遼寧期末）已知，均為正實(shí)數(shù)，若，，則A． B． C． D．【答案】【分析】采用作差方法化簡變形，利用題中條件比較出差值大小即可．【解答】解：，，由，均為正實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以．故選：．知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)2】不等式的基本性質(zhì)判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證．(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)．(3)作差法．(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．典型例題典型例題例1：【例6】（2025春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）已知，，，則下列不等式中一定成立的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】【分析】利用特殊值法可判斷錯(cuò)誤，利用作差法計(jì)算可得正確，再由不等式性質(zhì)可得錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，可知不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋傻?；所以，故正確；對(duì)于，由，可得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤．故選：．【例7】（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如果，那么下列不等式中成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：對(duì)于：因?yàn)?，所以，，故錯(cuò)誤，正確；對(duì)于：因?yàn)椋?，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于：因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤．故選：．【例8】（2025春?瓊山區(qū)校級(jí)月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖，假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式A． B． C． D．【答案】【分析】加糖前糖的濃度，加入克糖之后糖的濃度，糖水變甜，表示糖的濃度變大，即．【解答】解：這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式為．下面證明不等式成立：又，，，即，即．故選：．【例9】（2025?開封二模）設(shè)，，則的一個(gè)充分不必要條件是A． B． C． D．【答案】【分析】利用充分性和必要性的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，滿足，但是不符合，故充分性不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，即，即，所以是的必要不充分條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，即，故是的充要條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，即，，故是的一個(gè)充分不必要條件，故正確．故選：．【例10】（2025?河北模擬）已知，，則的取值范圍A．， B． C．， D．【答案】【分析】由不等式的同向可加性得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，得，，所以，所以的取值范圍為．故選：．知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)3】不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點(diǎn)(1)必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)．(2)在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．典型例題典型例題例1：【例11】（2025?臨汾二模）若，，則的范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意可知，，，故由不等式可加性可知，．故選：．【例12】（2025?玉溪二模）已知，，，則A． B． C． D．【答案】【分析】易得，再結(jié)合已知可得，由，得，即可比較，，利用作差法即可比較，，即可得解．【解答】解：由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，且，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與矛盾，，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由知，等號(hào)取不到，，由，可得，，所以，，，，，，，由，得，則，，，，又，，，，綜上所述，．故選：．【例13】（2025?德州模擬）若實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【分析】將換成用，表示，從而將平方表示成，由，求出，進(jìn)而求出范圍．【解答】解：因?yàn)?，，所以且，故且，所以，故，所以，所以．故選：．【例14】（2025?南寧模擬）若，，，則下列說法正確的是A．若，且，則 B．若，則 C．若，則 D．若且，則【答案】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷，利用舉實(shí)例法判斷．【解答】解：，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，錯(cuò)誤，，，，，正確，，，，正確，，且，，，，當(dāng)時(shí)，則，錯(cuò)誤，故選：．【例15】（2024?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一顧客到店購買黃金，售貨員先將砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將砝碼放在天平右盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧