第頁第1講集合知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)目錄TOC\o"1-1"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合 1【知識(shí)點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法 5【知識(shí)點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無序性 8【知識(shí)點(diǎn)4】集合的表示方法 11【知識(shí)點(diǎn)5】集合的相等 14【知識(shí)點(diǎn)6】子集與真子集 17【知識(shí)點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算 22知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合是高中數(shù)學(xué)中集合概念的重要部分．集合是由某種特定性質(zhì)確定的對(duì)象組成的整體，這些對(duì)象稱為元素．自然語言描述內(nèi)容能否組成集合，關(guān)鍵在于描述內(nèi)容是否明確、具體．例如，描述“所有小于10的偶數(shù)”能組成集合，因?yàn)榭梢悦鞔_確定這些元素為2，4，6，8．而描述“所有美麗的花”則不能組成集合，因?yàn)椤懊利悺笔侵饔^的，缺乏明確標(biāo)準(zhǔn)．判斷時(shí)，需要分析描述的內(nèi)容是否具有唯一性和清晰性，以確保所有元素均能明確歸類到該集合中．【解題方法點(diǎn)撥】在解題過程中，判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合，通常需要以下步驟．首先，仔細(xì)閱讀描述內(nèi)容，確定其標(biāo)準(zhǔn)或特征．其次，檢驗(yàn)這些標(biāo)準(zhǔn)是否具體明確，是否能對(duì)所有元素進(jìn)行唯一判斷．例如，描述“所有3的倍數(shù)小于20的數(shù)”能組成集合，因?yàn)檫@些元素可以明確列舉為3，6，9，12，15，18．再者，通過反例驗(yàn)證描述內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)是否嚴(yán)謹(jǐn)，如描述“所有高個(gè)子的學(xué)生”因“高”定義不明確，無法組成集合．最后，綜合判斷描述內(nèi)容是否具備形成集合的條件．【命題方向】在高中數(shù)學(xué)考試中，關(guān)于判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合的命題，常以簡單明了的方式出現(xiàn)．這類題目主要考查學(xué)生對(duì)集合概念的理解和應(yīng)用能力．例如，題目可能會(huì)給出一段描述，要求學(xué)生判斷其能否組成集合并說明理由．題目可能描述“所有小于100的平方數(shù)”或“所有以字母A開頭的英語單詞”，學(xué)生需通過分析描述的明確性和唯一性進(jìn)行判斷．這類命題旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求他們?cè)陂喿x理解和分析推理方面具備一定的能力．通過這些練習(xí)，學(xué)生能夠更好地掌握集合的基礎(chǔ)知識(shí)．典型例題典型例題例1：例1.（2025秋?南充校級(jí)期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（）A．南充高中高2024級(jí)個(gè)子較高的學(xué)生B．高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)中的難題C．關(guān)于x的方程x2-1=0的所有實(shí)根D．無限接近于π的所有實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解．【解答】解：對(duì)于A，個(gè)子較高，不滿足集合元素的確定性，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，難題，不滿足集合元素的確定性，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，x2-1=0的根為x=±1，故集合為{-1，1}，故C正確；

對(duì)于D，無限接近于π，不滿足集合元素的確定性，故D錯(cuò)誤．

故選：C．例2.（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)期中）下列對(duì)象能組成集合的是（）A．非常接近0的數(shù)B．身高很高的人C．絕對(duì)值為5的數(shù)D．著名的數(shù)學(xué)家【答案】C【分析】借助集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可得．【解答】解：由集合中元素的確定性可知，A、B、D選項(xiàng)中的對(duì)象都不能組成集合，

故A、B、D錯(cuò)誤；

對(duì)于C：絕對(duì)值為5的數(shù)有5或-5，符合集合的概念，故C正確．

故選：C．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?于都縣校級(jí)月考）下列敘述能夠組成集合的是（）A．我校所有體質(zhì)好的同學(xué)B．我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生C．全國所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員D．全國所有環(huán)境優(yōu)美的城市【答案】B【分析】根據(jù)集合元素的確定性，逐一分析可得答案．【解答】解：A中，我校所有體質(zhì)好的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)造集合；

B中，我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生具有確定性，能構(gòu)造集合；

C中，全國所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員不具有確定性，不能構(gòu)造集合；

D中，全國所有環(huán)境優(yōu)美的城市不具有確定性，不能構(gòu)造集合；

故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?北碚區(qū)校級(jí)月考）下列說法中正確的是（）A．聯(lián)合國所有常任理事國（共5個(gè)）組成一個(gè)集合B．朝陽中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合C．{1，2，3}與{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個(gè)元素【答案】A【分析】根據(jù)集合元素的確定性、互異性和無序性判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，聯(lián)合國所有常任理事國共5個(gè)，即：中國，美國，俄國，英國，法國，可以組成集合，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，“年齡較小”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，無法確定集合的元素，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，集合的元素滿足無序性，{1，2，3}與{2，1，3}是相同集合，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，集合的元素滿足互異性，由1，0，5，1，2，5可組成的集合{0，1，2，5}，且有4個(gè)元素，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：A．【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）下列各對(duì)象的全體不能構(gòu)成集合的有______．（填序號(hào)）

①上大嘉高高一年級(jí)全體學(xué)生；

②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；

③7的正整數(shù)倍的全體；

④給定的一條長度為1的線段上的所有點(diǎn)．【答案】②．【分析】根據(jù)集合的概念判斷即可．【解答】解：因?yàn)棰谒硎镜难芯繉?duì)象不能確定，所以不能構(gòu)成集合，

而①③④研究對(duì)象確定符合集合的概念．

故答案為：②．【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?浦東新區(qū)期末）請(qǐng)將下列各組對(duì)象能組成集合的序號(hào)填在后面的橫線上______．

①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；

②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)（0，0）的距離等于1的所有點(diǎn)；

③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；

④不等式3x-10＜0的所有正整數(shù)解．【答案】①②④．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合的含義，即可求解．【解答】解：①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生，符合集合的定義，故①正確，

②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)（0，0）的距離等于1的所有點(diǎn)，符合集合的定義，故②正確，

③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家，不符合集合的確定性，故③錯(cuò)誤，

④不等式3x-10＜0的所有正整數(shù)解，即原不等式的集合為{1，2，3}，符合集合的定義，故④正確．

故答案為：①②④．知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；

全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記為R．【解題方法點(diǎn)撥】熟練掌握幾個(gè)常見數(shù)集的符號(hào)與含義，能判斷給出的數(shù)是否屬于這些數(shù)集．典型例題典型例題例1：例1.（2024秋?雙清區(qū)校級(jí)期末）給出下列關(guān)系：①12∈R；②2?R；③|-3|∈N；④A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，利用元素與集合的關(guān)系判斷作答．【解答】解：顯然12，2都是實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；

|-3|=3是自然數(shù)，③正確；|-3|=3是無理數(shù)，不是有理數(shù)，④錯(cuò)誤，

例2.（2024?包河區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A．-3∈N*B．5C．1D．0?N【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即得．【解答】解：選項(xiàng)A，因-3不是正整數(shù)，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，5是無理數(shù)，故必是實(shí)數(shù)，故B正確；

選項(xiàng)C，12是分?jǐn)?shù)，故不是整數(shù)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，0是自然數(shù)，故D錯(cuò)誤．

故選：B跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?武威月考）下列關(guān)系正確的是（）A．0∈N*B．5C．-D．-7.8∈R【答案】D【分析】根據(jù)選項(xiàng)中大寫字母代表的數(shù)集，結(jié)合元素與集合的屬于關(guān)系逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?不是正整數(shù)，所以0?N*，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)?2不是整數(shù)，所以52?Z，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)?2不是有理數(shù)，所以-2?Q，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)?7.8是實(shí)數(shù)，所以-7.8∈R，故D正確．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）設(shè)有下列關(guān)系：①2∈R；②4∈Q；③0∈N；④0∈{0，1}．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及數(shù)集的分類可解．【解答】解：①2∈R，故①正確；

②4∈Q，故②正確；

③0∈N，故③正確；

④0∈{0，1}，故④正確．

故選：A．【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?武威月考）用符號(hào)“∈”或“?”填空：5______N，16______N．【答案】?，∈．【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系求解即可．【解答】解：因?yàn)榧螻代表自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集），

所以5?N，16=4【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）在下列表達(dá)式中，①0?N；②??{0}；③π∈Q；④{1}∈{0，1}，其中正確的為______（填寫所有正確的序號(hào)）．【答案】②．【分析】根據(jù)集合的概念與表示、集合的包含關(guān)系和元素與集合的關(guān)系，對(duì)各項(xiàng)逐一判斷，即可得到本題的答案．【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?是自然數(shù)，所以①0?N錯(cuò)誤；

因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹盛??{0}正確；

因?yàn)棣胁皇怯欣頂?shù)，所以③π∈Q錯(cuò)誤；

因?yàn)閧1}?{0，1}，所以④{1}∈{0，1}錯(cuò)誤．

綜上所述，其中的真命題是②．

故答案為：②．知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無序性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征．

（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說明它是或者不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合．

（2）互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．

（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個(gè)集合．

【解題方法點(diǎn)撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個(gè)特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代驗(yàn)證，元素不許重復(fù)．【命題方向】

本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主．典型例題典型例題例1：例1.（2025?青山湖區(qū)校級(jí)模擬）8月20日《黑傳說悟空》風(fēng)靡全球，下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）A．游戲中會(huì)變身的妖怪B．游戲中長的高的妖怪C．游戲中能力強(qiáng)的妖怪D．游戲中擊敗后給獎(jiǎng)勵(lì)多的妖怪【答案】A【分析】根據(jù)集合的確定性依次判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)A：游戲中會(huì)變身的妖怪可以構(gòu)成集合，故A正確；

對(duì)B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合，故B、C、D錯(cuò)誤．

故選：A．例2.（2024秋?安康期末）有4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾相接連成一個(gè)平面四邊形，則這個(gè)平面四邊形可能是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)集，則4根火柴棒的長度互不相等，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，梯形的四條邊長度可以互不相等，符合題意；

對(duì)于B，矩形的對(duì)邊相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對(duì)于C，菱形的四條邊都相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對(duì)于D，等腰梯形的腰相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意．

故選：A．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?潁上縣校級(jí)期末）下列說法中正確的是（）A．1與{1}表示同一個(gè)集合B．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}C．方程（x-1）2（x-2）=0的所有解的集合可表示為{1，1，2}D．集合{x|4＜x＜5}可以用列舉法表示【答案】B【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念以及表示方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇．【解答】解：1不能表示一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o序性，故B正確；

因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋?，而{1，1，2}中有相同的元素，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)榧蟵x|4＜x＜5}中有無數(shù)個(gè)元素，無法用列舉法表示，故D錯(cuò)誤．

故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若集合A={x|（a2-1）x=a-1}，則不論實(shí)數(shù)a取何值，集合A不可能是（）A．RB．?C．{0}D．{1}【答案】C【分析】討論參數(shù)a,結(jié)合集合的描述判斷可能對(duì)應(yīng)的集合．【解答】解：當(dāng)a=1時(shí)，有a-1=0，此時(shí)A=R；

當(dāng)a=-1時(shí)，有a2-1=0，而a-1=-2，此時(shí)A=?；

當(dāng)a≠±1時(shí)，A=1a+1，顯然a=0，有A={1}，但1a+1≠0，即集合【跟蹤訓(xùn)練3】（2025秋?莎車縣期中）若一個(gè)集合中的三個(gè)元素a,b,c是△ABC的三邊長，則此三角形一定不是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)集合的互異性可知a≠b≠c,進(jìn)而可判定三角形不可能是等腰三角形．【解答】解：根據(jù)集合的性質(zhì)可知，

a≠b≠c

∴△ABC一定不是等腰三角形．

故選：D．【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?水城區(qū)月考）若4∈{a,a2-12}，則a=______．【答案】-4．【分析】利用元素與集合的關(guān)系和集合中元素的互異性求解．【解答】解：若4∈{a,a2-12}，

則a=4或a2-12=4，

解得a=4或a=-4，

當(dāng)a=4時(shí)，a2-12=4，不滿足元素的互異性，舍去，

當(dāng)a=-4時(shí)，集合為{-4，4}，符合題意，

綜上所述，a=-4．

故答案為：-4．【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知集合M={-1，3a-1}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】{a|a≠0}．【分析】根據(jù)元素的性質(zhì)求解．【解答】解：由元素的互異性可知，3a-1≠-1，

所以a≠0，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≠0}．

故答案為：{a|a≠0}．知識(shí)點(diǎn)4知識(shí)點(diǎn)4知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)4】集合的表示方法列舉法表示集合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．【解題方法點(diǎn)撥】把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來即可．描述法表示集合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x|P（x）}，這種表示集合的方法稱為描述法．【解題方法點(diǎn)撥】明確描述對(duì)象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述條件：描述條件要準(zhǔn)確、簡潔，通常用文字或符號(hào)來表示集合中的元素特征．統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：確保描述的方法能夠唯一確定一個(gè)集合，避免模糊或歧義的描述．區(qū)間法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】設(shè)a＜b，①開區(qū)間：{x|a＜x＜b}=（a，b）

②閉區(qū)間：{x|a≤x≤b}=[a，b]

③半開半閉區(qū)間：{x|a＜x≤b}=（a，b]{x|a≤x＜b}=[a，b）

正無窮：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，表示某一大于零的有理數(shù)或無理數(shù)數(shù)值無限大的一種方式，沒有具體數(shù)字，但是正無窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都大的數(shù)值．符號(hào)為+∞．?dāng)?shù)軸上可表示為向右箭頭無限遠(yuǎn)的點(diǎn)．

負(fù)無窮：某一負(fù)數(shù)值表示無限小的一種方式，沒有具體數(shù)字，但是負(fù)無窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都小的數(shù)值．符號(hào)為-∞．

{x|a≤x}=[a，+∞）

{x|a＜x}=（a，+∞）

{x|x≤a}=（-∞，a]

{x|x＜a}=（-∞，a）

{x|x∈R}=（-∞，+∞）

【解題方法點(diǎn)撥】通常情況下，解答不等式，函數(shù)的單調(diào)性的問題利用單調(diào)性的定義，或者函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，注意函數(shù)的定義域，變量的取值范圍，集合一般利用區(qū)間表示，函數(shù)的單調(diào)性多個(gè)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間必須用“，”分開；不能利用并集符號(hào)連接．解題時(shí)注意區(qū)間的端點(diǎn)的數(shù)值的應(yīng)用．

【命題方向】區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值，恒成立等知識(shí)有關(guān)問題，高考?？碱}目．典型例題典型例題例1：例1.（2024秋?新泰市校級(jí)期末）集合{x∈N*|x-3＜2}的另一種表示法是（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【答案】B【分析】集合{x∈N+|x-3＜2}是用描述法來表示的，用另一種方法來表示就是用列舉法，看出描述法所表示的數(shù)字，在集合中列舉出元素．【解答】解：∵集合{x∈N+|x-3＜2}是用描述法來表示的，用另一種方法來表示就是用列舉法，

∵{x∈N+|x-3＜2}={x∈N+|x＜5}={1，2，3，4}

故選：B．例2.（2024秋?玉溪期末）已知集合A={x|5x2+4x=0}，則集合A=（）A．{0}B．-C．0D．0【答案】C【分析】解一元二次方程，即可求出集合A．【解答】解：由5x2+4x=0，得x（5x+4）=0，

解得x1=0，x2=-45，

故A跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025春?唐縣校級(jí)期中）集合{x∈N+|x-2≤1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】B【分析】解不等式x-2≤1可得x≤3，再由x∈N+即可求得結(jié)果．【解答】解：易知{x∈N+|x-2≤1}={x∈N+|x≤3}={1，2，3}．

故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】.（2025秋?安溪縣期中）已知集合M={1，5，9，13，17}，則M=（）A．{x|x=2n+1，n∈N，n≤8}B．{x|x=2n-1，n∈N，n≤9}C．{x|x=4n+1，n∈N，n≤4}D．{x|x=4n-3，n∈N，n≤5}【答案】C【分析】根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)用描述法表示即可．【解答】解：由題意可知，集合M={1，5，9，13，17}，

則集合M中5個(gè)元素都是被4整除余1的正整數(shù)，即x=1+4n,且n∈N，n≤4，

所以{x|x=4n+1，n∈N，n≤4}．

故選：C．【跟蹤訓(xùn)練3】（2025?黃浦區(qū)校級(jí)開學(xué)）用列舉法表示集合{x|-2≤x≤2，x∈N}=______．【答案】{0，1，2}．【分析】利用列舉法的定義求解．【解答】解：用列舉法表示集合{x|-2≤x≤2，x∈N}={0，1，2}．

故答案為：{0，1，2}．【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）能被3整除余2的自然數(shù)組成的集合可以用描述法表示為______．【答案】{x|x=3k+2，k∈N}．【分析】根據(jù)被3整除余2的自然數(shù)為3k+2，k∈N，結(jié)合集合的表示方法，即可求解．【解答】解：由題意，被3除余2的自然數(shù)組成的集合為{x|x=3k+2，k∈N}．

故答案為：{x|x=3k+2，k∈N}．【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?牡丹區(qū)校級(jí)期中）已知集合A={x|x（x-1）（x+1）=0}，則A=______．【答案】{-1，0，1}．【分析】根據(jù)集合描述，應(yīng)用列舉法表示集合即可．【解答】解：由x（x-1）（x+1）=0可得x=0或x=-1或x=1，

所以A={-1，0，1}．

故答案為：{-1，0，1}．【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?仁壽縣校級(jí)期末）方程組{x+y=0x2【答案】{（-2，2），（2，-2）}．【分析】解方程組{x【解答】解：方程組{x+y=0x2-4=0，解得x=-2，y=2或x=2，y=-2．

∴方程組{x+y=0x2-4=0的解組成的集合{（-2，2），（2，-2）知識(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)5】集合的相等【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．

（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A=B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說這兩個(gè)集合相等，記作A=B．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)元素都在B中，而且B中的每一個(gè)元素都在A中．元素一一對(duì)應(yīng)：兩個(gè)集合相同，需確保每個(gè)元素都在兩個(gè)集合中出現(xiàn)，且沒有遺漏．直接對(duì)比：對(duì)于簡單集合，可以直接對(duì)比元素列舉是否完全一致．典型例題典型例題例1：例1.（2025?石景山區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=4m+6n,m,n∈Z}．則（）A．A∩B=?B．A?BC．A=BD．A∪B=Z【答案】C【分析】由集合相等的概念，說明B?A，同時(shí)A?B即可；【解答】解：從B中任取一個(gè)元素x=4m+6n=2（2m+3n），一定是偶數(shù)，所以B?A，

從A中任取一個(gè)元素x=2k=4（-k）+6k,x∈B，所以A?B，

所以A=B．

故選：C．例2.（2025秋?吉林月考）下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（）A．{x|x=2020}B．{y|（y-2020）2=0}C．{x=2020}D．{2020}【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2020，都是數(shù)集，

選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．

故選：C．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2024春?博湖縣期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M={（3，2）}，N={（2，3）}B．M={2，3}，N={3，2}C．M={（x,y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}D．M={2，3}，N={（2，3）}【答案】B【分析】利用集合的三個(gè)性質(zhì)及其定義，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷；【解答】解：A、M={（3，2）}，N={（2，3）}，不是同一集合，故A錯(cuò)誤；

B、M={2，3}，N={3，2}根據(jù)集合的無序性，集合M，N表示同一集合，故B正確

C、M={（x,y）|x+y=1}，M集合的元素表示點(diǎn)的集合，N={y|x+y=1}，N表示直線x+y=1的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故C錯(cuò)誤；

D、M={2，3}

集合M的元素是點(diǎn)（2，3），N={（2，3）}，集合N的元素是點(diǎn)（2，3），故D錯(cuò)誤；

故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋?鄖陽區(qū)校級(jí)期末）下列各組中集合P與Q，表示同一個(gè)集合的是（）A．P是由元素1，3，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|-3|構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.141

59構(gòu)成的集合C．P是由2，3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(duì)（2，3）構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式-1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2=1的解集【答案】A【分析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個(gè)集合．【解答】解：由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個(gè)集合，

而B、C、D中元素不相同，所以P與Q不能表示同一個(gè)集合．

故選：A．【跟蹤訓(xùn)練3】下列集合中，A={x=2，y=1}，B={2，1}，C={（x,y）|（x-2）2+|y-1|=0}，D=（x,y）|{x+y=3x-y=1}，E={（x,y）|x=2且y=1}，F(xiàn)={（x,y）|x=2或y=1}，其中與集合{（【分析】根據(jù)點(diǎn)集和數(shù)集的區(qū)別判斷即可．【解答】解：A={x=2，y=1}={1，2}，B={2，1}，

C={（x,y）|（x-2）2+|y-1|=0}={x,y）|（2，1）}，

D=（x,y）|{x+y=3x-y=1}={（x,y）|（2，1）}，

E={（x,y）|x=2且y=1}={（x,y）|（2，1）}，

F={（x,y）|x=2或y=1}，

其中與集合{（2，1）【跟蹤訓(xùn)練4】①M(fèi)={（1，2）}與N={（2，1）}表示同一個(gè)集合；

②M={1，2}與N={2，1}表示同一個(gè)集合；

③空集是唯一的；

④若M={y|y=x2+1，x∈R}，N={x|x=t2+1，t∈R}，則集合M=N，以上的說法中正確的序號(hào)為______．【分析】利用集合相等、空集的定義直接求解．【解答】解：在①中，M={（1，2）}與N={（2，1）}表示不同的兩個(gè)集合，故①錯(cuò)誤；

在②中，M={1，2}與N={2，1}表示同一個(gè)集合，故②正確；

在③中，空集是唯一的，故③正確；

在④中，若M={y|y=x2+1，x∈R}，N={x|x=t2+1，t∈R}，則集合M=N，故④正確．

故答案為：②③④．知識(shí)點(diǎn)6知識(shí)點(diǎn)6知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)6】子集與真子集子集的判斷與求解【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．

記作：A?B（或B?A）．

2、真子集是對(duì)于子集來說的．

真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．

也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，

若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．

所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}【解題方法點(diǎn)撥】定義子集：A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)A中的每一個(gè)元素都在B中．

驗(yàn)證元素：逐個(gè)檢查A中的元素是否在B中．符號(hào)表示：用?表示子集關(guān)系，若A是B的子集，記為A?B．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會(huì)考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．空集及空集的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集．記作?．空集的性質(zhì)：空集是一切集合的子集．

2、注意：

空集不是沒有；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合是存在的．這通常是初學(xué)者的一個(gè)難理解點(diǎn)．

將集合想象成一個(gè)裝有其元素的袋子的想法或許會(huì)有幫助；

袋子可能是空的，但袋子本身確實(shí)是存在的．

例如：{x|x2+1=0，x∈R}=?．雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒有這樣的實(shí)數(shù)x使得方程成立，所以方程的解集是空集．

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【解題方法點(diǎn)撥】解答與空集有關(guān)的問題，例如集合A∩B=B?B?A，實(shí)際上包含3種情況：

①B=?；

②B?A且B≠?；

③B=A；往往遺漏B是?的情形，所以老師們?cè)谥v解這一部分內(nèi)容或題目時(shí)，總是說“空集優(yōu)先的原則”，就是首先

考慮空集．【命題方向】

一般情況下，多與集合的基本運(yùn)算聯(lián)合命題，是學(xué)生容易疏忽、出錯(cuò)的地方，考查分析問題解決問題的細(xì)心程度，難度不大，可以在選擇題、填空題、簡答題中出現(xiàn)．子集的個(gè)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．

也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對(duì)于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n-1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】公式計(jì)算：若一個(gè)集合有n個(gè)元素，則它的子集個(gè)數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個(gè)集合的所有子集組成的集合．典型例題典型例題例1：例1.（2023秋?綏寧縣校級(jí)期末）下列集合中，是集合{1，2}的真子集的是（）A．{1，2}B．?C．{?}D．{1，2，3}【答案】B【分析】根據(jù)真子集的定義判斷即可．【解答】解：集合{1，2}的真子集是?，{1}，{2}，

故選：B．例2.（2025秋?襄城區(qū)校級(jí)月考）已知集合M={-1，0，1}，N={0，1}，則（）A．M?NB．M∩N=?C．N?MD．M=N【答案】C【分析】確定N是M的真子集，得到答案．【解答】解：集合M={-1，0，1}，N={0，1}，則N是M的真子集，即N?M．

故AD錯(cuò)誤，C正確，M∩N={0，1}≠?，B錯(cuò)誤．

故選：C．例3.（2025秋?敖漢旗校級(jí)月考）若?是集合M={x|x2-ax+1=0，a∈R}的真子集，則a的取值范圍是（）A．-2＜a＜2B．a(chǎn)＜-2或a＞2C．-2≤a≤2D．a(chǎn)≤-2或a≥2【答案】D【分析】依題意可知方程x2-ax+1=0有實(shí)數(shù)解，則Δ≥0，即可求解．【解答】解：因?yàn)?是集合M={x|x2-ax+1=0，a∈R}的真子集，

所以M≠?，即方程x2-ax+1=0有實(shí)數(shù)解，

所以Δ=a2-4≥0，

解得a≤-2或a≥2．

故選：D．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025?武漢模擬）已知集合A={-3，-2，0，2}，B={x|-1＜x＜4}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【分析】直接求得交集，進(jìn)而可確定其子集的個(gè)數(shù)．【解答】解：由題意，可得A∩B={0，2}，

則A∩B子集的個(gè)數(shù)為22=4個(gè)．

故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025春?北京校級(jí)期中）已知集合A={1，2，3，4，5，?，2025}的子集B滿足：對(duì)任意x,y∈B，有x+y?B，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是（）A．506B．507C．1012D．1013【答案】D【分析】假設(shè)B中的最大元素為2025，再將其余元素分組，再結(jié)合抽屜原理即可得解．【解答】解：假設(shè)B中的最大元素為2025，

將剩下的元素分成為（1，2024），（2，2023），..，（1012，1013），

則共有1012組，

若B中元素多于1013個(gè)，結(jié)合抽屜原理可得，

一定有兩個(gè)數(shù)在同一組，兩個(gè)數(shù)的和為2025，

此時(shí)與題目條件矛盾．

故B中元素不可能多于1013．

所以當(dāng)B={1013，1014，1015，?，2025}時(shí)，

B中元素個(gè)數(shù)最多有2025-1013+1=1013．

故選：D．【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若從兩男兩女四人中隨機(jī)選出兩人，設(shè)兩個(gè)男生分別用A，B表示，兩個(gè)女生分別用C，D表示，相應(yīng)的樣本空間為Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，則與事件“選出一男一女”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為______．【分析】根據(jù)題意選出一男一女，即從A，B中選一個(gè)，從C，D中選一個(gè)，即可得答案．【解答】解：由題意可知與事件“選出一男一女”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為{AC，AD，BC，BD}．

故答案為：{AC，AD，BC，BD}．【跟蹤訓(xùn)練4】（2024秋?仁壽縣校級(jí)期末）定義集合的商集運(yùn)算為：BA=x|x=nm，m∈A，n【答案】15．【分析】求出集合B，利用題中定義可得出集合BA，利用并集的定義可得出集合BA∪【解答】解：因?yàn)锳={2，4}，則B=x|x=k2-1，k∈A=0，1，

又因?yàn)锽A=x【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?湖北期中）設(shè)集合A={x|ax2-（a+1）x+1=0，a∈R}，B={x|x2-5x+4=0}．

（1）若A∪B=B，求a的取值；

（2）記C=A∪B，若集合C的非空真子集有6個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）a=0或a=1或a=14；

（2【分析】（1）通過a=0和a≠0兩類情況討論即可；

（2）確定C中元素個(gè)數(shù)，由（1）即可確定．【解答】解：（1）ax2-（a+1）x+1=0?（ax-1）（x-1）=0；

若a=0，則x=1，此時(shí)A={1}；

若a≠0，則x=1或x=1a，當(dāng)a=1時(shí)，A={1}；當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，A=1，1a；

又B={1，4}，

由若A∪B=B可知A?B，有a=0或a=1或a=14；

（2）若集合C的非空真子集有6個(gè)，則2n-2=6，可得n=3，

即C=A∪B中的元素只有3個(gè)，又B={1，4}

由（1）知，a≠0且a≠1且1a≠4，即知識(shí)點(diǎn)7知識(shí)點(diǎn)7知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算求集合的交集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．

符號(hào)語言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．

當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．

運(yùn)算性質(zhì)：

①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．求集合的并集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．

符號(hào)語言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．

A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．

運(yùn)算性質(zhì)：

①A∪B=B∪A．②A∪?=A．③A∪A=A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點(diǎn)撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．求集合的補(bǔ)集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．

對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA，即CUA={x|x∈U，且x?A}．【解題方法點(diǎn)撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法．通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時(shí)出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．典型例題典型例題例1：例1.（2025?煙臺(tái)三模）已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x2≤3}，則A∪B=（）A．[B．[C．（-∞，D．（-【答案】D【分析】結(jié)合集合并集的定義，即可求解．【解答】解：集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x2≤3}=x|-3≤x≤3，

故A∪B=（-3，例2.（2025?西城區(qū)校級(jí)三模）已知集合A={x|x2-x＞0}，B={x|x+1＞0}，那么集合A∩B=（）A．（-1，+∞）B．（-1，1）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A={x|x2-x＞0}={x|x＞1或x＜0}，B={x|x+1＞0}={x|x＞-1}，

故集合A∩B=（-1，0）∪（1，+∞）．

故選：C．例3.（2025春?汕頭校級(jí)期中）已知全集U=R，集合A={x||x-1|≤1}，則?UA=（）A．[0，2]B．（2，+∞）C．（0，2）D．（-∞，0）∪（2，+∞）【答案】D【分析】解絕對(duì)值不等式求集