專業(yè)數(shù)學(xué)考試題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\sinx$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$2.若集合$A=\{1,2,3\}$，集合$B=\{2,3,4\}$，則$A\capB$等于（）A.$\{1,2,3,4\}$B.$\{2,3\}$C.$\{1,2,3\}$D.$\{2,3,4\}$3.直線$y=2x+1$的斜率是（）A.1B.2C.3D.44.方程$x^2-5x+6=0$的根是（）A.$x=2$或$x=3$B.$x=-2$或$x=-3$C.$x=1$或$x=6$D.$x=-1$或$x=-6$5.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,4)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$等于（）A.$(4,6)$B.$(2,2)$C.$(-2,-2)$D.$(-4,-6)$6.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$d=2$，則$a_5$的值為（）A.9B.10C.11D.127.函數(shù)$f(x)=x^3$的導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)$是（）A.$x^2$B.$3x^2$C.$2x$D.$3x$8.拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.$(1,0)$B.$(0,1)$C.$(-1,0)$D.$(0,-1)$9.已知$\cos\alpha=\frac{1}{2}$，且$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，則$\sin\alpha$的值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$10.若$a>b>0$，則下列不等式成立的是（）A.$\frac{1}{a}>\frac{1}$B.$a^2<b^2$C.$\log_2a>\log_2b$D.$(\frac{1}{2})^a>(\frac{1}{2})^b$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列哪些點(diǎn)在直線$y=x+1$上（）A.$(0,1)$B.$(1,2)$C.$(-1,0)$D.$(2,3)$3.對(duì)于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），其判別式$\Delta=b^2-4ac$，當(dāng)（）時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。A.$\Delta>0$B.$\Delta=0$C.$\Delta<0$D.無(wú)法確定4.以下屬于向量的運(yùn)算有（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.點(diǎn)乘5.數(shù)列的表示方法有（）A.列表法B.圖象法C.通項(xiàng)公式法D.遞推公式法6.函數(shù)$y=\cosx$的性質(zhì)正確的有（）A.偶函數(shù)B.最小正周期是$2\pi$C.值域是$[-1,1]$D.在$[0,\pi]$上單調(diào)遞增7.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的幾何性質(zhì)包含（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.焦點(diǎn)坐標(biāo)C.離心率D.漸近線8.下列哪些是奇函數(shù)（）A.$y=x$B.$y=x^3$C.$y=\sinx$D.$y=\cosx$9.求極限的方法有（）A.直接代入法B.約去零因子法C.分子分母同除最高次冪法D.等價(jià)無(wú)窮小替換法10.已知集合$M=\{x|x^2-3x+2=0\}$，集合$N=\{1,2\}$，則（）A.$M=N$B.$M\subseteqN$C.$N\subseteqM$D.$M\capN=\varnothing$三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.直線$y=kx+b$中，$k$是直線在$y$軸上的截距。（）3.若$a^2=b^2$，則$a=b$。（）4.函數(shù)$y=2^x$是增函數(shù)。（）5.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是$a_n=a_1+(n-1)d$。（）6.向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$平行，則$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$（$\lambda$為實(shí)數(shù)）。（）7.函數(shù)$y=\tanx$的定義域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\inZ$。（）8.拋物線$x^2=2py$（$p>0$）的準(zhǔn)線方程是$y=-\frac{p}{2}$。（）9.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處連續(xù)。（）10.集合$A=\{1,2,3\}$，集合$B=\{4,5,6\}$，則$A\cupB=\{1,2,3,4,5,6\}$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$y=3x^2-2x+1$的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，對(duì)稱軸公式為$x=-\frac{2a}$。此函數(shù)中$a=3$，$b=-2$，則對(duì)稱軸為$x=\frac{1}{3}$。將$x=\frac{1}{3}$代入函數(shù)得$y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。2.計(jì)算$\int_{0}^{1}x^2dx$。答案：根據(jù)定積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），則$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。3.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$的值。答案：因?yàn)?\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha$是第二象限角，所以$\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$。4.解不等式$2x-3>5$。答案：移項(xiàng)可得$2x>5+3$，即$2x>8$，兩邊同時(shí)除以2，得$x>4$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的單調(diào)性。答案：函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的定義域?yàn)?x\neq0$。在區(qū)間$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上分別討論。任取$x_1<x_2<0$，$f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0$，所以在$(-\infty,0)$上遞減；同理在$(0,+\infty)$上也遞減。2.如何用向量方法證明平行四邊形對(duì)角線互相平分？答案：設(shè)平行四邊形$ABCD$，對(duì)角線$AC$與$BD$相交于點(diǎn)$O$。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，設(shè)$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BO}=\mu\overrightarrow{BD}$。通過向量運(yùn)算，由$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$及相關(guān)向量關(guān)系可推出$\lambda=\mu=\frac{1}{2}$，即證對(duì)角線互相平分。3.討論數(shù)列極限存在的條件。答案：數(shù)列極限存在的條件有多種。從直觀上，數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值。從數(shù)學(xué)定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$，總存在正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，$|a_n-A|<\varepsilon$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。此外，單調(diào)有界數(shù)列必有極限等。4.舉例說明函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)的影響。答案：比如函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$，定義域?yàn)?x\neq1$。在定義域的兩個(gè)區(qū)間$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上，函數(shù)單調(diào)性是不同的，在各自區(qū)間內(nèi)遞減。若改變定義域，如限定在$(2,+\infty)$，其單調(diào)性不變，但值域等性質(zhì)會(huì)因定義域改變