2024-2025答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一復(fù)數(shù)i1i的虛部是（

B. C.

D.90，92，92，93，93，94，95，96，99，10080%分位數(shù)為（A. B. C. D.已知sinθ1，則sinπ2θ（ A.

C.4

D.4在VABCAD

AB，點(diǎn)E平分線段CD．設(shè)–––→→，ACb，則AE a1 1a

1 1a b

1 1

AB1 1ABa b 已知圓臺(tái)O1O1，34，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（A.4 B.4 C.8 D.8

在VABCA，B，Ca，b，cabc

sinsinA

，則 fx

π π

D. 已知函數(shù)

f2x向左平 個(gè)單位長(zhǎng)度后，再上平移1ygxx的gxm在07π 12的取值范圍是（0,

0,

二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.a21b1t，其中tR，則下列說(shuō)法正確的是（a若 ，則t的a若 ，則t的值為a/ a與b的夾角為銳角，則t若t1a與b的夾角的余弦值為 1 x1x2,Lx50

xi

，則（數(shù)據(jù)3x113x21,3x501的方差為x1x2Lx25110x26x27,Lx5036x1x2,Lx50x1x2x2x3,Lx49x50x50x1 ABCDA1B1C1D14PQBB1DD1上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)，且BPDQ，則下列說(shuō)法正確的是（APQABCD的交線為lPQ三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分已知向量a2,0，b2,2，則a在b上的投影向量的坐標(biāo) 已知函數(shù)fxsinωxπω0在區(qū)間0,2π上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍 6

3 在銳角VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a22abcosCbc2，bsinB，則VABC的中線BD的最大值為 四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟cm[160，165，[165，170，[170，175，[175，180，[180，185]x170cm[170，175，[175，180，[180，185]6人，求這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù). 2

fxfxπ4sinxcosx的最大值 6 堵”CACBCC12.BCC1B1求二面角C1ABC的正切值如圖，平面內(nèi)四點(diǎn)ABCP，滿足BACπBC1BPBC（1）若AC1，BP 求VABPPA（2）若APBπBP

PABCABBCAB2BC22PBPC

6，BP，APBCACDEOFAD

5ODEFADOAOBEFABBEF若POF120PABC的體積2024-2025答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一復(fù)數(shù)i1i的虛部是（

C.

D.【答案】abiabR【詳解】因?yàn)閕1iii21i，虛部為90，92，92，93，93，94，95，96，99，10080%分位數(shù)為（A. B. C. D.【答案】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算10個(gè)數(shù)，1080%880%89969997.5已知sinθ1，則sinπ2θ（ A.

4

4【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果【詳解】sin

7在VABCAD

2AB，點(diǎn)E平分線段CD．設(shè)–––→→，ACb，則AE a1 1a

1 1a b

1 1

AB1 1ABa b 【答案】

1 AE

ADACAD=

AD

2

2，即ADABE平分線段CD

1

1

1 2

1

1

1

1 1所以AEADACADACABACABACab 已知圓臺(tái)O1O1，34，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（A.4 B.4 C.8 D.8【答案】【分析】先求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，再由圓臺(tái)側(cè)面積公式計(jì)算即得可求得母線長(zhǎng)為l

r 則S圓臺(tái)側(cè)πr

【答案】【分析】取CC1FBFD1FABCDA1B1C1D1a，則D1BF為異面直AEBD1所成角或其補(bǔ)角，利用余弦定理求解.ABEF,AB//EFABFE為平行四邊形，BF//AE，則D1BFAEBD1a21由BD 3a,Da21

5

3a25a25所以cosDBFD1BBF 15

23a 在VABCA，B，Ca，b，cabc

sinsinA

，則

或 【答案】【分析】利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理可得答案

abc

sinsinA

ab c a

，整理得b2c2a2bcb2c2 由余弦定理得cosA A0πAπ

fx π π 已知函數(shù)

f2x向左平 個(gè)單位長(zhǎng)度后，再上平移1ygxxgxm在07π 12的取值范圍是（0,【答案】

0,

【分析】先對(duì)fx進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)律得到gx的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)圖象分析gxm在07π上有兩個(gè)不相等實(shí)根時(shí)m的取值范圍 12fx

π

π

π【詳解】 3sinx3cosx32sinx2cos 6f2x2cos

π

πy

f2x向左平 個(gè)單位，得

2cos2x122cos2x6 再向上平移1gx2cos2xπ 6 x07π時(shí)，令t2xπ，則tπ4π 12

3gxm即cost1 ycost在tπ4π 3要使cost1m有兩個(gè)解，結(jié)合圖象可知1m11，解得2m3 二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.a21b1t，其中tR，則下列說(shuō)法正確的是（a若 ，則ta若 ，則t的值為a/ a與b的夾角為銳角，則t若t1a與b的夾角的余弦值為【答案】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可逐項(xiàng)判斷aa

ab2t0t2A對(duì)于B，若 ，則2t110t1，故B正確a/ Ca與bab2t0t2又t時(shí)，a與b的夾角為 2 → a 2 a→5對(duì)于D，t1，b1,1，cosa,b a→5 1 x1x2,Lx50

xi

，則（數(shù)據(jù)3x113x21,3x501的方差為x1x2Lx25110x26x27,Lx5036x1x2,Lx50x1x2x2x3,Lx49x50x50x1【答案】

ABC

1i12 nx

1xx

xx

xx

xx2 s2

50

L

x2x2x2x2Lx2x250

s2 【詳解】As21xx2xx2xx2Lxx21xx2x2An

nBx1x2Lx50s2，根據(jù)方差的性質(zhì)可得數(shù)據(jù)3x113x21,3x501的方差為9s2BCAx2x1x2Lx25110x26x27Lx503則由公式s2ms2xx2 s2xx2，可得 s225101222563229C50

50

x1x2x2x3Lx49x50x50D：原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為y x，并設(shè)s2

1i1 nnx1xx

xx

x

2 s2

50

L

1x22x

x22x

x22x

x22x

x2 1 2 2 3L 49 50 1 5050 2x2

2x2

2x2

2x22x2

1x2

x2

x2

x2x2 1 2 3L 50 50x 2 3L 50 5050

50 1x2x2x2x2Lx2x2x2s2D ABCDA1B1C1D14PQBB1DD1上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)，且BPDQ，則下列說(shuō)法正確的是（APQABCD的交線為lPQAPQABCD所成的二面角為θaAPQ的面積為Scosθ【答案】PQABCDCBDMPQN，由PQlBDANlAMl，即得∠MANAPQABCD得的截面，即可計(jì)算判斷【詳解】正方體ABCDABCD的外接球的半徑RAC1 ，∴正方體ABCDABCD的外111球的表面積為4πR24π23248πA

111BPQD為PQBDPQABCDBDABCDPQABCDPQAPQAPQABCDlPQlBBDMPQNAMANMNAPAQABADANPQAMBDPQlBDANlAMl，∴∠MANAPQABCDMNBDPQMNBPMNABCDAM1 221又AM平面ABCD，∴MNAM，∴cosθAM 8，故C AN1 C1PC1QAPAQ .易得△APQ與aC1PQ故截面面積為1PQAC142 86，故D正確 三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分已知向量a2,0，b2,2，則a在b上的投影向量的坐標(biāo) 【答案】 → 22 a20b22ab22022 abb4b12,2

所以a在b上的投影向量為→ 已知函數(shù)fxsinωxπω0在區(qū)間0,2π上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍 6

3 【答案】01 2 【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可求解 3

6ysint在ππ

22所以

≤ 2 在銳角VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a22abcosCbc2，bsinB，則VABC的中線BD的最大值為 【答案】92## 【分析】根據(jù)題意可得BC，asinAcsinC，利用向量的模長(zhǎng)公式可求 1

BDcos2B

a22abcosC

a2b2

c2

b

b2

即2b22bcbcBC，又bsinBasinAcsinC 又VABCBDBD

BABC BD

BA

2

c2

2accosB 1sin2Bsin2π2B2sinπ2BsinBcos11cos2B2sin22B14cos22Bcos2B4 1

1

81 cos2B 64又VABC為銳角三角形，所以2Bππcos2B10 即cos2B19

99 四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟cm[160，165，[165，170，[170，175，[175，180，[180，185]x170cm[170，175，[175，180，[180，185]6人，求這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù).（2）A3人；B2人；C1（1）1x170cm及以上的頻率，（2）根據(jù)分層抽樣的相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行求解即可1x＝0.06，170cm2A100×5×0.06＝30，B100×5×0.04＝20，CA

＝3，B

＝2，C A，B，C 2 gxfxfxπ4sinxcosx的最大值 6 （1）fx2cos2xπ 6 （2） （2）由（1）fx2cos2xπ 6 g(x)4sin2xπ，即可求解 3 1T13π7ππTπ，∴ω2π2π2fx2cos2xθ f7π

又12 2cos212θ2cos6θ2，∴cos6θ 7πθπ2kπ,kZ，∴θπ2kπ,kZ fx

π又θ，∴k0，θ，∴

2cos2x 2由（1）fx2cos2xπ 6 fx π π π πg(shù)x x4sinxcosx2cos2xfx π π π π 6 6 6 6 2

3cos2x1sin2x

π2sin2x2

3cos2x1sin2x2

3cos2x1sin2x2sin

2cos 6

23cos2x2sin2x4

3cos2x1sin2x

π

4sin

3 ∴當(dāng)2xππ2kπkZx

kπkZgx的最大值，最大值為4堵”CACBCC12.BCC1B1求二面角C1ABC的正切值（1） （1）根據(jù)“塹堵”定義可得CACBBCACC1A1，再（2）ABE，證明CEC1為二面角C1ABC1因?yàn)镃ACB，且VABC為直角三角形，所以CACBCC1ABCBCABC，所以CC1BC，又因?yàn)镃ACC1CCAACC1A1CC1ACC1A1，2因?yàn)镃C1ABCACBCABC，所以CC1BCCC1⊥AC因?yàn)镃ACBCC12，所以AC1BC12 記AB的中點(diǎn)為E，則CEAB,C1EAB，所以CEC1為二面角C1ABC因?yàn)镃C1ABCECABC，所以CC1ECBC2AC因?yàn)镃EBC2AC

22所以tan

CC1

，即二面角

ABC的正切值 如圖，平面內(nèi)四點(diǎn)ABCP，滿足BACπBC1BPBC（1）若AC1，BP 求aABPPA（2）若APBπBP（1（i）

【分析（1（i）在直角VABC中，可求AB 3，ABCπ，再得到ABPπ，利用三角形面積 （ii） π 1（i）mAC1，BC1，BACπ，AB sin ABCπ，又BPBC，所以ABPπ，BP 1ABAPsinABP1

33

333a

（ii）PA2BA2BP22BABPcosABP332 3319 PA32mAPBπ，設(shè)ABCθ，則ABPπθAB在aABP中，由正弦定理可

3 6 6sin 3

sin

sinπθπ ，

π

π 所以sin

4cos2θ2sin2θ34,即sin2θ32 因?yàn)棣?π，所以2θππ4π2θπ7π，所以θ5π 2

3 PABπππ5π3π 12 如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC 6，BP，APBCACDEOFAD

5ODEFADOAOBEFABBEF若POF120PABC的體積（1）證明見(jiàn)詳解；