第1頁/共1頁江蘇省2025年中職職教高考文化統(tǒng)考數(shù)學試卷注意事項：1．本卷分為試卷和答題卡兩部分，考生必須在答題卡上作答，作答在試卷上無效．2．作答前務必將自己的姓名和準考證號準確清晰地填寫在試卷和答題卡的指定位置．3．考試結(jié)束時，須將試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列每小題中，選出一個正確答案，將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑）1.下列對象不能組成集合的是（）A.乖巧聽話的孩子 B.中國古代四大發(fā)明C.小于30的正整數(shù) D.26個小寫英文字母2.已知復數(shù)為實數(shù)，則復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A. B. C. D.3.已知向量，則等于（）A. B. C. D.4.已知是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件5.已知，則的值是（）A B. C. D.6.已知，則的值是（）A.15 B.21 C.30 D.427.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的底面半徑是（）A B. C. D.8.已知平行四邊形，點在對角線上，，且，則等于（）A.3 B.4 C.6 D.129.已知雙曲線右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，則的最小值是（）A. B. C. D.310.若實數(shù)滿足，其中，則的最小值是（）A. B. C.5 D.25二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.函數(shù)的最小正周期是_____．12.若數(shù)列的前項和為，則_____．13.以圓的圓心為焦點的拋物線的標準方程是_____．14.已知分別是正方體的邊上的點，若，則異面直線與所成的角等于_____.15.已知函數(shù)若關于方程恰有3個不同的解，則的取值范圍是_____．三、解答題（本大題共8小題，共90分）16.已知直線經(jīng)過點．（1）求實數(shù)的值；（2）解關于的不等式．17.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為2.（1）求實數(shù)的值；（2）設函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性.18.隨著科技的不斷進步，人形機器人被廣泛應用于諸多領域．某企業(yè)購買了4臺人形機器人從事某條流水線上的4項工作．假定4臺機器人分別為甲、乙、丙、丁，4項工作按流程依次為．給每臺機器人隨機分配1項工作，且每項工作僅由1臺機器人完成．求下列事件的概率：（1）甲恰好分配到D項工作；（2）乙和丙分配到的工作不相鄰；（3）甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作．19.在中，角對應的邊分別為，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，求的面積和邊上的高．20.江蘇無錫成為2025年央視春晚的分會場后，旅游業(yè)迎來了新的機遇．為了促進旅游業(yè)的發(fā)展，當?shù)啬尘皡^(qū)推出了一個特色文化展覽項目．該項目每天最多能接待的游客數(shù)為1500人，當票價為50元時，當天游客數(shù)達到上限．鑒于市場需求旺盛，景區(qū)欲提高票價，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的票價每提高5元，游客數(shù)將減少100人．該項目每天的維護成本（元）是當天游客數(shù)的5倍，在不考慮其他因素的前提下，問：（1）當天的游客數(shù)為1000人時，當天的票價應為多少元？（2）當天的票價為多少元時，當天的收益最大？并求最大收益．21.在斜三棱柱中，底面，四邊形為正方形.（1）求證：平面平面；（2）設，求四棱錐的體積.22.已知等差數(shù)列的首項且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設，求數(shù)列的前項和.（3）若數(shù)列滿足，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項和.23.已知橢圓的長軸長為4，且右準線方程為．（1）求橢圓標準方程和離心率；（2）設為橢圓的上頂點，、為橢圓上異于點的任意兩點，以線段為直徑的圓恒過點．證明：直徑過定點，并求定點坐標．一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列每小題中，選出一個正確答案，將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑）1.下列對象不能組成集合的是（）A.乖巧聽話的孩子 B.中國古代四大發(fā)明C.小于30的正整數(shù) D.26個小寫英文字母【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的特征，即可求解.【詳解】集合中的元素具有確定性、互異性、無序性．對于A：“乖巧聽話”沒有明確的、客觀的界定標準，不滿足元素的確定性，所以不能組成集合，所以A符合題意；對于B：“中國古代四大發(fā)明”(造紙術、印刷術、火藥、指南針)是明確的、確定的，可以組成集合，所以B不符合題意；對于C：“小于30的正整數(shù)”，這些數(shù)是明確可確定的，能組成集合，所以C不符合題意；對于D：“26個小寫英文字母”是確定的，也能組成集合，所以D不符合題意.故選：A.2.已知復數(shù)為實數(shù)，則復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)概念，結(jié)合共軛復數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意知復數(shù)為實數(shù)，所以虛部，即，所以復數(shù)，則復數(shù)的共軛復數(shù)是.故選：D.3.已知向量，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的線性運算的坐標表示即可得解.【詳解】已知，則，又，所以.故選：．4.已知是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充要條件與必要條件的定義即可得解.【詳解】當時，比如，不能推出．當成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”；所以“”是“”的必要而不充分條件，故選：B．5.已知，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式計算求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B.6.已知，則的值是（）A.15 B.21 C.30 D.42【答案】A【解析】【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)，求，再根據(jù)組合數(shù)公式求解即可.【詳解】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，因為，則．所以，可得.故選：．7.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的底面半徑是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設圓錐母線長為，底面半徑為，由圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為得出與的關系，再由側(cè)面積為即可求解.【詳解】設圓錐母線長為，底面半徑為．圓錐側(cè)面展開圖圓心角為即，其弧長等于底面圓周長，有，得．又圓錐側(cè)面積，將代入可得，解得.故選：C.8.已知平行四邊形，點在對角線上，，且，則等于（）A.3 B.4 C.6 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)和向量運算性質(zhì)，即可求出.【詳解】在平行四邊形中，對角線，又，，已知，則.故選：C.9.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，則的最小值是（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】的最小值即焦點到漸近線的距離，根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程，利用點到直線的距離公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】對于雙曲線，這里，則，右焦點，漸近線方程為.最小值即焦點到漸近線的距離，取漸近線，即，則到該漸近線的距離，所以最小值為.故選：B.10.若實數(shù)滿足，其中，則的最小值是（）A. B. C.5 D.25【答案】C【解析】【分析】令，結(jié)合題意將變形成，利用均值不等式即可得解.【詳解】實數(shù)滿足，其中，令，則x=m?2，y=n+1已知，將變形為，展開可得：，對于，有，所以，當且僅當時等號成立，即的最小值是5，故選：.二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.函數(shù)的最小正周期是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性，即可求解.【詳解】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性可知，函數(shù)的最小正周期為．故答案為：.12.若數(shù)列的前項和為，則_____．【答案】27【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列前項和與通項的關系，分析求解即可.【詳解】由數(shù)列前項和與通項的關系可得：，因為，所以，所以．故答案為：.13.以圓的圓心為焦點的拋物線的標準方程是_____．【答案】【解析】【分析】先求出圓圓心坐標，再根據(jù)拋物線的焦點坐標寫出標準方程即可．【詳解】由圓的一般方程為，所以圓心為，所以拋物線的焦點為，故拋物線的焦點在軸負半軸，開口向左，設拋物線的標準方程為，且，所以，所以拋物線標準方程為．故答案為：.14.已知分別是正方體的邊上的點，若，則異面直線與所成的角等于_____.【答案】【解析】【分析】利用平面幾何證得，再利用平行線的傳遞性得到，從而得到為異面直線與所成的角（或其補角），再證得是等邊三角形，從而得解.【詳解】連接，因為在正方體中，，又，所以，故，因為在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，所以，則為異面直線與所成的角（或其補角），在正方體中，為其面對角線，易得，所以是等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為.故答案為：.15.已知函數(shù)若關于的方程恰有3個不同的解，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】函數(shù)解析式作出圖像結(jié)合題意即可得解.【詳解】如圖所示，根據(jù)題意作出圖像，令，顯然是單調(diào)函數(shù)，則方程變?yōu)?，有圖可知，當時，方程有三個解，即方程有三個解，所以的取值范圍為.故答案為：.三、解答題（本大題共8小題，共90分）16.已知直線經(jīng)過點．（1）求實數(shù)的值；（2）解關于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點代入直線方程求實數(shù)的值；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解.【小問1詳解】因為直線經(jīng)過點，將點代入直線方程中，可得，即，解得．【小問2詳解】由（1）知，則可化為．因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，有x2+3>02x+6>0綜上可知，不等式的解集為．17.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為2.（1）求實數(shù)的值；（2）設函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】（1）（2）奇函數(shù)【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到關于的方程組，解之即可得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用奇函數(shù)的判定方法，結(jié)合指數(shù)的運算法則即可判斷.【小問1詳解】因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為，最大值為，所以，解得，所以.【小問2詳解】是奇函數(shù)，理由如下：由（1）知，則，其定義域為，關于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).18.隨著科技的不斷進步，人形機器人被廣泛應用于諸多領域．某企業(yè)購買了4臺人形機器人從事某條流水線上的4項工作．假定4臺機器人分別為甲、乙、丙、丁，4項工作按流程依次為．給每臺機器人隨機分配1項工作，且每項工作僅由1臺機器人完成．求下列事件的概率：（1）甲恰好分配到D項工作；（2）乙和丙分配到的工作不相鄰；（3）甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的應用求出基本事件總數(shù)，再求出事件A包含的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式(其中是基本事件總數(shù)，是事件A包含的基本事件數(shù))計算概率；（2）根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)的應用，利用捆綁法先求出乙和丙分配到的工作相鄰的事件數(shù)，繼而求得乙和丙分配到的工作不相鄰的事件數(shù)，結(jié)合古典概率計算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)的應用，先求得甲分配到項工作或丁分配到項工作的事件數(shù)，繼而求得甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作的事件數(shù)，結(jié)合古典概率計算公式，即可求解.【小問1詳解】由題意，4臺機器人分配4項工作，總的分配方法數(shù)為種，若甲恰好分配到項工作，那么剩下3臺機器人分配剩下3項工作，方法數(shù)為種，根據(jù)古典概型概率公式，甲恰好分配到D項工作的概率；【小問2詳解】由題意，先求出乙和丙分配到的工作相鄰的事件數(shù)．把乙和丙看作一個整體(捆綁法)，與甲、丁全排列，有種排法，同時乙和丙之間有種排法，所以乙和丙分配到的工作相鄰的情況共有種；那么乙和丙分配到的工作不相鄰的事件數(shù)為種，根據(jù)古典概型概率公式，乙和丙分配到的工作不相鄰的概率為；【小問3詳解】由題意，甲分配到項工作共有種；丁分配到項工作有種；甲分配到項工作且丁分配到項工作，有種；所以甲分配到項工作或丁分配到項工作的事件數(shù)為種．所以甲沒有分配到項工作，且丁沒有分配到項工作的情況數(shù)為種．根據(jù)古典概型概率公式，甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作的概率為．19.在中，角對應的邊分別為，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，求的面積和邊上的高．【答案】（1）（2）的面積為邊上的高為【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理，對式子化簡解得角C；（2）首先利用余弦定理解得a，進而求得的面積和邊上的高.【小問1詳解】在中，，所以已知，則．由正弦定理(為外接圓半徑)，可得．將其代入上式可得，化簡得，即，移項得．根據(jù)余弦定理，把代入可得．因為，所以．【小問2詳解】已知，由余弦定理，可得，即，整理為，因式分解得，解得或(邊長不能為負舍去)．可得．設邊上的高為，因為，又，即，解得．20.江蘇無錫成為2025年央視春晚的分會場后，旅游業(yè)迎來了新的機遇．為了促進旅游業(yè)的發(fā)展，當?shù)啬尘皡^(qū)推出了一個特色文化展覽項目．該項目每天最多能接待的游客數(shù)為1500人，當票價為50元時，當天游客數(shù)達到上限．鑒于市場需求旺盛，景區(qū)欲提高票價，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的票價每提高5元，游客數(shù)將減少100人．該項目每天的維護成本（元）是當天游客數(shù)的5倍，在不考慮其他因素的前提下，問：（1）當天的游客數(shù)為1000人時，當天的票價應為多少元？（2）當天的票價為多少元時，當天的收益最大？并求最大收益．【答案】（1）75元（2）65元；72000元【解析】【分析】（1）我們可以根據(jù)票價和游客數(shù)的變化關系來計算當游客數(shù)為1000人時的票價．（2）需要先建立收益與票價的函數(shù)關系，再通過函數(shù)性質(zhì)求出最大收益以及對應的票價.【小問1詳解】當天的游客數(shù)為1000人時，當天的票價設為元．所以，解得，即當天的游客數(shù)為1000人時，當天的票價應為75元．【小問2詳解】設票價為元，利潤為元．票價相對于50元的提高量為元，票價每提高5元，游客數(shù)減少100人，因此游客數(shù)減少量為人，游客數(shù)為人．收益為票價乘以游客數(shù)：，維護成本為游客數(shù)的5倍：成本，利潤收益減去成本：一成本，這是一個關于的二次函數(shù)，開口向下，其最大值出現(xiàn)在頂點處．頂點的橫坐標為：元，計算最大利潤：此時，游客數(shù)人．即當天的票價應為65元時，最大收益為72000元．21.在斜三棱柱中，底面，四邊形為正方形.（1）求證：平面平面；（2）設，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定、面面垂直的判定證明即可；（2）根據(jù)等體積法以及棱錐的體積公式求解即可.【小問1詳解】因為平面平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】連接，因為底面，所以，因為為斜三棱柱，所以為平行四邊形，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為，，所以，所以，則的體積為.22.已知等差數(shù)列的首項且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設