教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上學(xué)期課題數(shù)列的概念（2）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)A版選擇性必修2出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)列遞推公式的定義，能根據(jù)數(shù)列的遞推公式求該數(shù)列的項.了解數(shù)列前n項和公式的定義，掌握通項公式與前n項和公式的關(guān)系，能根據(jù)數(shù)列前n項和公式求該數(shù)列的通項公式.2.經(jīng)歷遞推公式概念的形成過程，提高觀察、歸納、猜想的能力，體會一個數(shù)列遞推公式與通項公式的區(qū)別與聯(lián)系.3.體驗探索數(shù)列規(guī)律的樂趣，感悟數(shù)列遞推公式引入的必要性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.教學(xué)重點：數(shù)列的遞推公式與前n項和公式的定義.教學(xué)難點：數(shù)列遞推公式的意義和價值.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動復(fù)習(xí)舊知問題1如果數(shù)列的通項公式為，那么120是不是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生理解題意：要判斷120是不是該數(shù)列中的項，就是要判斷是否存在正整數(shù)n，使得.我們令，接下來就是要判斷這個關(guān)于n的方程是否有正整數(shù)解．學(xué)生解這個關(guān)于n的方程，得或.教師提醒學(xué)生：因為n是正整數(shù)，所以-12要舍掉.因此，120是這個數(shù)列的項，并且是第10項．在這道題講解后，教師總結(jié)：通項公式反映的是項與序號之間的關(guān)系，我們不僅要會通過序號求項，還要會像這道題一樣根據(jù)項求序號.問題2圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中４個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前４項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式．師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生先數(shù)各圖中著色三角形的個數(shù)，從而得到數(shù)列的前四項：1，3，9，27.教師啟發(fā)學(xué)生：求這個數(shù)列的通項公式，就要找項與序號之間的關(guān)系.學(xué)生發(fā)現(xiàn)第1項是，第2項是，第3項，第4項是.這些數(shù)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號-1.因此，學(xué)生得出這個數(shù)列的一個通項公式就是.追問：你能用數(shù)學(xué)語言歸納出后一項與前一項的關(guān)系嗎？師生活動：教師給學(xué)生以提示：當(dāng)不能明顯看出數(shù)列的項的取值規(guī)律時，我們可以嘗試通過運算來尋找規(guī)律．如依次取出數(shù)列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察.教師強調(diào)這是一種通過運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思想，在數(shù)列的研究中有重要作用.學(xué)生按照教師的提示，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的后一項等于前一項的3倍.教師接著幫助學(xué)生通過圖形解釋這個問題：每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為３個著色小三角形和１個無色小三角形．于是從第２個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的３倍．學(xué)生接著把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)語言歸納出來，得出.教師提醒學(xué)生注意：這個式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情況我們只能單獨討論.于是寫成.教師總結(jié)：同樣一個數(shù)列，從兩個不同的角度去觀察，就發(fā)現(xiàn)了不同的規(guī)律.通項公式反映的是項與序號之間的關(guān)系.而（n≥2）這個式子反映的是后一項與前一項之間的關(guān)系.根據(jù)這個式子，我們已知第1項就能推出第2項，已知第2項就能推出第3項，以此類推.學(xué)習(xí)新知問題3什么是一個數(shù)列的遞推公式？師生活動：教師呈現(xiàn)數(shù)列遞推公式的定義：“如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.”學(xué)生根據(jù)前面對遞推公式的認識，對教師呈現(xiàn)的數(shù)列遞推公式的定義進行理解.教師提醒學(xué)生：知道了首項和遞推公式，就能求出該數(shù)列的每一項了.追問（1）：相鄰多項之間的關(guān)系能用遞推公式表示嗎？師生活動：教師提到大名鼎鼎的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列第n項等于它的前一項（第n-1項）加上再往前一項（第n-2項）.學(xué)生認識到這其實就是相鄰三項之間的關(guān)系：.教師提醒學(xué)生注意：因為下標(biāo)最小是1，所以這里n≥3.這個數(shù)列的遞推公式反映的是相鄰三項之間的關(guān)系.教師向?qū)W生介紹：這個數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性質(zhì).追問（2）：一個數(shù)列的通項公式和遞推公式有何聯(lián)系與區(qū)別？師生活動：學(xué)生將通項公式和遞推公式相比較，發(fā)現(xiàn)和上節(jié)課學(xué)習(xí)的通項公式一樣，遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法.只不過通項公式反映的是項與序號之間的對應(yīng)關(guān)系，而遞推公式反映的則是相鄰兩項或多項之間的關(guān)系.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下認識到通項公式和遞推公式各有利弊，在數(shù)列的研究中都發(fā)揮著巨大的作用.例1已知數(shù)列的首項為，遞推公式為（n≥2），寫出這個數(shù)列的前5項.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)遞推公式，令n=2，就得到.同理，令n分別等于3，4，5，就可依次求出，，.教師總結(jié)：知道了首項和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了．問題4什么是數(shù)列的前n項和公式？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生顧名思義：一個數(shù)列從第1項起到第n項止的各項之和就是該數(shù)列的前n項和，記作.如果數(shù)列的前n項和與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的前n項和公式．追問：數(shù)列的前n項和公式與通項公式有何聯(lián)系？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)其中有.如果把留出來，前面的就是前n-1項的和，也就是.如果已知前n項和公式，那么把公式中的n給換成n-1，就能得到，然后用就可以得到.教師提醒學(xué)生注意是前n-1項的和，這里n一定是大于或等于2的，所以當(dāng)n≥2時，.學(xué)生接著思考n=1的情況，發(fā)現(xiàn)就是第1項，所以就等于.于是我們有.問題5已知數(shù)列的前n項和公式為，你能求出的通項公式嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一個數(shù)列前n項和公式與通項公式的關(guān)系，即，進行求解.教師提醒學(xué)生關(guān)注n=1的情況是否滿足n≥2時求出的通項公式，如果不滿足，要分開寫.課堂小結(jié)問題6這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些新知識？師生活動：學(xué)生跟隨教師的思路，回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的新知識：遞推公式和前n項和公式.關(guān)于遞推公式，教師強調(diào)：遞推公式是數(shù)列的重要表示方式，反映的是相鄰兩項或多項之間的關(guān)系，知道了一個數(shù)列的首項和遞推公式，就能求出該數(shù)列的每一項了.關(guān)于前n項和公式，教師強調(diào)：我們