統(tǒng)計計算題及答案某健康食品公司為評估新產(chǎn)品“高纖維谷物棒”的市場接受度，于2023年10月在A、B兩個城市開展消費(fèi)者調(diào)研。調(diào)研采用隨機(jī)抽樣法，共收集有效問卷216份，其中A城市120份，B城市96份。問卷涵蓋消費(fèi)者基本信息（年齡、性別）、購買行為（過去30天購買次數(shù)、單次購買量）、產(chǎn)品評價（5級量表，1=非常不滿意，5=非常滿意）等維度。以下基于調(diào)研數(shù)據(jù)展開統(tǒng)計計算與分析。一、描述統(tǒng)計分析：產(chǎn)品滿意度的集中趨勢與離散程度數(shù)據(jù)背景：216份問卷中，消費(fèi)者對“高纖維谷物棒”的滿意度評分（記為變量X）分布如下：1分（8人）、2分（24人）、3分（72人）、4分（84人）、5分（28人）。問題1：計算滿意度評分的均值、中位數(shù)、眾數(shù)、方差及標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)分布特征。解答過程：1.均值（μ）：反映數(shù)據(jù)平均水平，計算公式為：\[\mu=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_if_i}{n}\]其中，\(x_i\)為評分值（1-5），\(f_i\)為對應(yīng)頻數(shù)，\(n=216\)。代入數(shù)據(jù)：\[\mu=\frac{1×8+2×24+3×72+4×84+5×28}{216}=\frac{8+48+216+336+140}{216}=\frac{748}{216}≈3.46\]2.中位數(shù)（M）：將數(shù)據(jù)從小到大排列后處于中間位置的數(shù)值?？倶颖緮?shù)216為偶數(shù)，中位數(shù)為第108和109個數(shù)的平均值。前兩組累計頻數(shù)8+24=32，前三組累計8+24+72=104，前四組累計104+84=188。因此第108和109個數(shù)均落在“4分”組（第105-188個數(shù)），故中位數(shù)M=4。3.眾數(shù)（Mo）：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。觀察頻數(shù)分布，3分（72人）和4分（84人）中，4分頻數(shù)最高，故眾數(shù)Mo=4。4.方差（\(\sigma^2\)）與標(biāo)準(zhǔn)差（\(\sigma\)）：反映數(shù)據(jù)離散程度，計算公式為：\[\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2f_i}{n}\]計算各評分與均值的離差平方乘以頻數(shù)：-1分：\((1-3.46)^2×8≈6.05×8=48.4\)-2分：\((2-3.46)^2×24≈2.13×24=51.12\)-3分：\((3-3.46)^2×72≈0.21×72=15.12\)-4分：\((4-3.46)^2×84≈0.29×84=24.36\)-5分：\((5-3.46)^2×28≈2.37×28=66.36\)總和為48.4+51.12+15.12+24.36+66.36=205.36，因此：\[\sigma^2=\frac{205.36}{216}≈0.951,\quad\sigma=\sqrt{0.951}≈0.975\]結(jié)論：滿意度均值3.46（接近4分），中位數(shù)和眾數(shù)均為4分，說明整體評價偏積極；標(biāo)準(zhǔn)差約0.975，數(shù)據(jù)離散程度較低，消費(fèi)者評價一致性較高。二、推斷統(tǒng)計：不同城市消費(fèi)者購買頻率差異檢驗(yàn)數(shù)據(jù)背景：A城市120名消費(fèi)者過去30天購買次數(shù)（記為變量Y?）均值為3.2次，標(biāo)準(zhǔn)差1.1次；B城市96名消費(fèi)者購買次數(shù)（變量Y?）均值為2.8次，標(biāo)準(zhǔn)差1.0次。問題2：檢驗(yàn)A、B兩城市消費(fèi)者月購買次數(shù)是否存在顯著差異（α=0.05）。解答過程：采用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，步驟如下：1.提出假設(shè)：\(H_0\)：\(\mu_1=\mu_2\)（無顯著差異）；\(H_1\)：\(\mu_1≠\mu_2\)（有顯著差異）2.計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量：兩樣本方差是否齊性需先檢驗(yàn)（Levene檢驗(yàn)）。假設(shè)方差不齊（保守處理），t統(tǒng)計量公式為：\[t=\frac{\bar{Y}_1-\bar{Y}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\]代入數(shù)據(jù)：\(\bar{Y}_1=3.2\),\(\bar{Y}_2=2.8\),\(s_1=1.1\),\(s_2=1.0\),\(n_1=120\),\(n_2=96\)\[t=\frac{3.2-2.8}{\sqrt{\frac{1.1^2}{120}+\frac{1.0^2}{96}}}=\frac{0.4}{\sqrt{\frac{1.21}{120}+\frac{1}{96}}}≈\frac{0.4}{\sqrt{0.0101+0.0104}}≈\frac{0.4}{0.143}≈2.797\]3.確定臨界值與結(jié)論：自由度采用Satterthwaite近似公式：\[df≈\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}≈\frac{(0.0101+0.0104)^2}{\frac{0.0101^2}{119}+\frac{0.0104^2}{95}}≈\frac{0.00042}{0.00000086+0.00000114}≈210\]查t分布表（雙側(cè)α=0.05，df=210），臨界值約±1.972。計算得t=2.797>1.972，拒絕原假設(shè)。結(jié)論：A、B兩城市消費(fèi)者月購買次數(shù)存在顯著差異（p<0.05），A城市消費(fèi)者購買更頻繁。三、相關(guān)與回歸分析：收入水平對購買量的影響數(shù)據(jù)背景：隨機(jī)抽取50名消費(fèi)者，記錄其月收入（X，單位：千元）與過去30天購買量（Y，單位：盒），得到如下統(tǒng)計量：\(\sumX=285\),\(\sumY=150\),\(\sumXY=950\),\(\sumX^2=1800\),\(\sumY^2=500\)問題3：（1）計算月收入與購買量的Pearson相關(guān)系數(shù)，判斷相關(guān)性強(qiáng)弱；（2）建立購買量對月收入的一元線性回歸方程，解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義；（3）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性（α=0.05）。解答過程：（1）Pearson相關(guān)系數(shù)（r）：公式為：\[r=\frac{n\sumXY-\sumX\sumY}{\sqrt{[n\sumX^2-(\sumX)^2][n\sumY^2-(\sumY)^2]}}\]代入n=50：分子：50×950-285×150=47500-42750=4750分母：\(\sqrt{[50×1800-285^2][50×500-150^2]}=\sqrt{[90000-81225][25000-22500]}=\sqrt{8775×2500}≈\sqrt{21937500}≈4683.75\)因此，\(r≈4750/4683.75≈1.014\)（計算錯誤，實(shí)際應(yīng)為分子4750，分母需重新核對）修正計算：\(\sumX=285\)，故\(\bar{X}=285/50=5.7\)；\(\sumY=150\)，故\(\bar{Y}=150/50=3\)分子：\(\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=\sumXY-n\bar{X}\bar{Y}=950-50×5.7×3=950-855=95\)分母：\(\sqrt{\sum(X_i-\bar{X})^2\sum(Y_i-\bar{Y})^2}\)其中，\(\sum(X_i-\bar{X})^2=\sumX^2-n\bar{X}^2=1800-50×5.7^2=1800-50×32.49=1800-1624.5=175.5\)\(\sum(Y_i-\bar{Y})^2=\sumY^2-n\bar{Y}^2=500-50×3^2=500-450=50\)因此，\(r=95/\sqrt{175.5×50}≈95/\sqrt{8775}≈95/93.68≈1.014\)（仍異常，說明數(shù)據(jù)假設(shè)需調(diào)整，改為合理值：假設(shè)\(\sumXY=850\)，則分子=850-50×5.7×3=850-855=-5，r≈-5/93.68≈-0.053，弱負(fù)相關(guān)；或調(diào)整為\(\sumXY=900\)，則分子=900-855=45，r≈45/93.68≈0.48，中度正相關(guān)。此處以合理數(shù)據(jù)為例，假設(shè)\(\sumXY=900\)，則r≈0.48）（2）一元線性回歸方程：回歸系數(shù)\(b_1=\frac{\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum(X_i-\bar{X})^2}=45/175.5≈0.256\)截距\(b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}=3-0.256×5.7≈3-1.46≈1.54\)回歸方程：\(\hat{Y}=1.54+0.256X\)經(jīng)濟(jì)意義：月收入每增加1千元，購買量平均增加0.256盒。（3）回歸方程顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）：總平方和SST=\(\sum(Y_i-\bar{Y})^2=50\)回歸平方和SSR=\(b_1^2\sum(X_i-\bar{X})^2=0.256^2×175.5≈0.0655×175.5≈11.5\)殘差平方和SSE=SST-SSR=50-11.5=38.5均方MSR=SSR/1=11.5，MSE=SSE/(n-2)=38.5/48≈0.802F統(tǒng)計量=MSR/MSE≈11.5/0.802≈14.34查F分布表（分子自由度1，分母自由度48，α=0.05），臨界值約4.04。F=14.34>4.04，拒絕原假設(shè)，回歸方程顯著。四、卡方檢驗(yàn)：性別與口味偏好的關(guān)聯(lián)性數(shù)據(jù)背景：問卷中消費(fèi)者對“高纖維谷物棒”的口味偏好（甜、咸、原味）與性別的交叉頻數(shù)如下：|性別|甜（人）|咸（人）|原味（人）|合計||--------|----------|----------|------------|------||男性|24|32|16|72||女性|40|36|28|104||合計|64|68|44|176|問題4：檢驗(yàn)性別與口味偏好是否存在顯著關(guān)聯(lián)（α=0.05）。解答過程：采用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，步驟如下：1.提出假設(shè)：\(H_0\)：性別與口味偏好獨(dú)立；\(H_1\)：性別與口味偏好相關(guān)2.計算期望頻數(shù)（\(E_{ij}\)）：\(E_{ij}=\frac{行合計×列合計}{總樣本數(shù)}\)例如，男性-甜的期望頻數(shù)：\(E_{11}=72×64/176≈26.18\)男性-咸：\(E_{12}=72×68/176≈27.82\)男性-原味：\(E_{13}=72×44/176≈18.00\)女性-甜：\(E_{21}=104×64/176≈37.82\)女性-咸：\(E_{22}=104×68/176≈40.18\)女性-原味：\(E_{23}=104×44/176≈26.00\)3.計算卡方統(tǒng)計量（\(\chi^2\)）：\[\chi^2=\sum\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\]計算各單元格：-男性-甜：\((24-26.18)^2/26.18≈(4.75)/26.18≈0.181\)-男性-咸：\((32-27.82)^2/27.82≈(17.47)/27.82≈0.628\)-男性-原味：\((16-18)^2/18≈4/18≈0.222\)-女性-甜：\((40-37.82)^2/37.82≈(4.75)/37.82≈0.126\)-女性-咸：\((36-40.18)^2/40.18≈(17.47)/40.18≈0.435\)-女性-原味：\((28-26)^2/26≈4/26≈0.154\)總和：0.181+0.628+0.222+0.126+0.435+0.154≈1.7464.確定臨界值與結(jié)論：自由度df=(行數(shù)-1)(列數(shù)-1)=(2-1)(3-1)=2查卡方分布表（α=0.05，df=2），臨界值為5.991。計算得\(\chi^2=1.746<5.991\)，不拒絕原假設(shè)。結(jié)論：性別與口味偏好無顯著關(guān)聯(lián)（p>0.05）。五、方差分析：不同年齡組的滿意度差異數(shù)據(jù)背景：將消費(fèi)者按年齡分為三組：青年（18-30