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文檔簡介
5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的定義夾角及模的的問題
1.(2024新課標(biāo)Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()
A.-2B.-1C.1D.2
D
3
因?yàn)閎⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,則b2-4a·b=22+x2-4(0×2+1×x)=0,即x2-4x+4=(x-2)2=0,解
得x=2,故選D.
一題多解
因?yàn)閎-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,則4+x(x-4)=0,解得x=2,故選D.
2.(2024新課標(biāo)Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|=()
A.B.C.D.1
123
222
B
3
∵(b-2a)⊥b,∴b2-2a·b=0,即b2=2a·b.
又∵|a+2b|=,∴a2+4a·b+4b2=4,
2
∴a2+6b2=4.又∵(a|a+|=21,b∴)b2=,∴|b|=,故選B.
12
22
3.（2023全國甲文，3）已知向量a3,1,b2,2，則cosab,ab（）
1
A.B.17C.5D.25
171755
【答案】B
【解析】因?yàn)閍(3,1),b(2,2)，所以ab5,3,ab1,1，
則ab523234,ab112，abab51312，
abab217
所以cosab,ab，故選：B.
abab34217
4.（2023全國乙文，6）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，則ECED（）
A.5B.3C.25D.5
【答案】B
uuuruuuruuuruuur
【解析】方法一：以AB,AD為基底向量，可知ABAD2,ABAD0，
uuuruuruuur1uuuruuuruuuruuruuur1uuuruuur
則ECEBBCABAD,EDEAADABAD，
22
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
11122
所以ECEDABADABADABAD143；
224
方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
uuuruuur
則E1,0,C2,2,D0,2，可得EC1,2,ED1,2，
uuuruuur
所以ECED143；
方法三：由題意可得：EDEC5,CD2，
DE2CE2DC25543
在CDE中，由余弦定理可得cosDEC，
2DECE2555
uuuruuuruuuruuur3
所以ECEDECEDcosDEC553.
5
故選：B.
5.(2022全國乙理,3,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,則a·b=()
A.-2B.-1C.1D.23
答案C由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1,故選C.
3
6.(2015山東理,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則·=()
????
A.-a2B.-a2C.a2D.a2
3333
2442
答案D·=(+)·=·+=a2+a2=a2.
213
????????????????
22
5.(2015重慶理,6,5分)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為()
22
3
A.B.C.D.π
ππ3π
答案4A∵(2a-b)⊥(3a+42b),∴(a-b)·(3a+2b)=0?3|a|2-a·b-2|b|2=0?3|a|2-|a|·|b|·
cos<a,b>-2|b|2=0.
又∵|a|=|b|,∴|b|2-|b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>=.∵<a,b>∈[0,π],
228222
3332
∴<a,b>=.選A.
π
7.(20154重慶文,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()
A.B.C.D.
ππ2π5π
答案3C因?yàn)?a⊥(2a+b3),所以a·(62a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ===-,又0≤θ≤π,所以θ=,故選C.
2
?·??2|?|12π
2
8.(2015課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2|)?,||則?|(24a|+?b|)·a2=()3
A.-1B.0C.1D.2
答案C因?yàn)?a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×
(-1)=1.故選C.
9.(2015四川理,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,||=6,||=4.若點(diǎn)M,N滿足=3,=2,
則·=()