7.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

考點(diǎn)1點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個不同平面,則下列命題正確的是()

A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行

B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行

C.若α,β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線

······

D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面

······

答案D若α,β垂直于同一個平面γ,則α,β可以都過γ的同一條垂線,即α,β可以相交,故A錯;若m,n平行

于同一個平面,則m與n可能平行,也可能相交,還可能異面,故B錯;若α,β不平行,則α,β相交,設(shè)α∩β=l,

在α內(nèi)存在直線a,使a∥l,則a∥β,故C錯;從原命題的逆否命題進(jìn)行判斷,若m與n垂直于同一個平面,由

線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n,故D正確.

2(2021全國乙理,5,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為

()

A.

ππππ

2B.3C.4D.6

答案D解題指導(dǎo):利用平移法,連接BC1,則BC1∥AD1,得∠C1BP(或其補(bǔ)角)就是異面直線AD1與PB

所成的角.

解析如圖所示,連接BC1,C1P,易知四邊形ABC1D1是平行四邊形,∴BC1∥AD1,∴∠C1BP(或其補(bǔ)角)就

是異面直線AD1與BP所成的角,設(shè)正方體的棱長為a,則BC1=a,C1P=a,連接AC、BD,設(shè)AC交BD于

2

22

點(diǎn)O,連接OP,則OP⊥平面ABCD,∵OB平面ABCD,∴OP⊥OB,∴PB=a.在C1BP

2

226

??+2?=2△

中,∠,∴∠,即直線與所成的角為故選

cosPBC1=222PBC1=PBAD1.D.

??+??1???13ππ

2??·??1=266

方法總結(jié):用幾何法求異面直線所成角的具體步驟:

3.(2016課標(biāo)Ⅰ,理11,文11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α

∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()

A.B.C.D.

3231

答案2A如圖2,延長B1A1至3A2,使A2A1=3B1A1,延長D1A1至A3,使A3A1=D1A1,連接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易證AA2∥

A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.

∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3為平面α.

于是m∥A2A3,直線AA2即為直線n.顯然有AA2=AA3=A2A3,于是m,n所成的角為60°,其正弦值為.選A.

3

2

4.(2014大綱全國理,11,5分)已知二面角α-l-β為60°,AB?α,AB⊥l,A為垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°,則

異面直線AB與CD所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

1231

答案4B在平4面α內(nèi)過點(diǎn)4C作CE∥A2B,則∠ECD為異面直線AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角),不妨取CE=1,過

點(diǎn)E作EO⊥β于點(diǎn)O.

在平面β內(nèi)過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H,連接EH,則EH⊥CD.

因?yàn)锳B∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l,又因?yàn)镋O⊥β,所以CO⊥l.

所以∠ECO為二面角α-l-β的平面角,即∠ECO=60°.

因?yàn)椤螦CD=135°,CD⊥l,所以∠OCH=45°.

在Rt△ECO中,CO=CEcos∠ECO=1×cos60°=.

1

2

在Rt△COH中,CH=COcos∠OCH=cos45°=.

12

24

Rt△ECH,cos∠ECH===.

在中2

??42

所以異面直線AB與CD所成??角的1余4弦值為.選B.

2

5.(2014大綱全國文,4,5分)已知正四面體4ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為

()

A.B.C.D.

1313

答案6B如圖6,取AD的中3點(diǎn)F,連接3EF、CF.

因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn),所以EFBD,故∠CEF或其補(bǔ)角是異面直線CE、BD所成的角.

1

2

設(shè)正四面體ABCD的棱長為a,易知CE=CF=a,EF=a.在△CEF中,由余弦定理可得cos∠

31

22

222

CEF=313=.故選B.

2a+2a?2a3

316

2×2a×2a

6.(2015浙江文,4,5分)設(shè)α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β.()

A.若l⊥β,則α⊥βB.若α⊥β,則l⊥m

C.若l∥β,則α∥βD.若α∥β,則l∥m

答案A對于選項(xiàng)A,由面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,若α⊥β,l?α,m?β,則l與m

可能平行,可能相交,也可能異面,所以選項(xiàng)B錯誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)l平行于α與β的交線時,l∥β,但此時α與

β相交,所以選項(xiàng)C錯誤;對于選項(xiàng)D,若α∥β,則l與m可能平行,也可能異面,所以選項(xiàng)D錯誤.故選A.

7.(2015廣東,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則

下列命題正確的是()

A.l與l1,l2都不相交

B.l與l1,l2都相交

C.l至多與l1,l2中的一條相交

D.l至少與l1,l2中的一條相交

答案D解法一:如圖1,l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖2,l1與l2是異面

直線,l1,l2都與l相交,故C不正確,選D.

解法二:因?yàn)閘分別與l1,l2共面,故l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l與l1,l2

都不相交,則l∥l1,l∥l2,從而l1∥l2,與l1,l2是異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交,選D.

8.(2014遼寧,4,5分)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面.下列說法正確的是()

A.若m∥α,n∥α,則m∥n

B.若m⊥α,n?α,則m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α

D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α

答案B若m∥α,n∥α,則m與n可能平行、相交或異面,故A錯誤;B正確;若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,

故C錯誤;若m∥α,m⊥n,則n與α可能平行、相交或n?α,故D錯誤.因此選B.

9.(2014廣東理,7,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一

定正確的是()

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關(guān)系不確定

答案D由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1與l3的位置不確定,

若l1∥l3,則結(jié)合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除選項(xiàng)B、C,

若l1⊥l3,則結(jié)合l3⊥l4,知l1與l4可能不垂直,所以排除選項(xiàng)A.故選D.

評析本題考查了空間直線之間的位置關(guān)系,考查學(xué)生的空間想象能力、思維的嚴(yán)密性.

10.(2014浙江文,6,5分)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.()

A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α

B.若m∥β,β⊥α,則m⊥α

C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α

D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α

答案C對于選項(xiàng)A、B、D,均能舉出m∥α的反例;對于選項(xiàng)C,若m⊥β,n⊥β,則m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,

故選C.

11.(2013課標(biāo)Ⅱ理,4,5分)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,

則()

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交,且交線垂直于l

D.α與β相交,且交線平行于l

答案D若α∥β,則m∥n,這與m、n為異面直線矛盾,所以A不正確,α與β相交.將已知條件轉(zhuǎn)化到正方體

中,易知α與β不一定垂直,但α與β的交線一定平行于l,從而排除B、C.故選D.

導(dǎo)師點(diǎn)睛對于此類題,放入正方體中判斷起來比較快捷.

12.(2013廣東理,6,5分)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.下列命題中正確的是()

A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n

B.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n

C.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β

D.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β

答案D若α⊥β,m?α,n?β,則m與n可能平行,故A錯;若α∥β,m?α,n?β,則m與n可能平行,也可能

異面,故B錯;若m⊥n,m?α,n?β,則α與β可能相交,也可能平行,故C錯;對于D項(xiàng),由m⊥α,m∥n,得n⊥α,

又知n∥β,故α⊥β,所以D項(xiàng)正確.

13.(2011遼寧理,8,5分)如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中不．正．確．的是

()

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

答案D∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.

又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.

其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,從而AC⊥SB.故A正確.易知B正確.

設(shè)AC與DB交于O點(diǎn),連接SO.

則SA與平面SBD所成的角為∠ASO,SC與平面SBD所成的角為∠CSO,

又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正確.

由排除法可知選D.

評析本題主要考查了線面平行與垂直的判斷及線面角、線線角的概念.屬中檔題.

14.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則()

A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n

答案C∵α∩β=l,∴l(xiāng)?β,∵n⊥β,∴n⊥l.故選C.

15.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,為半徑

5

的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.

答案

2π

2

解析易知四邊形A1B1C1D1為菱形,∠B1A1D1=60°,連接B1D1,則B1C1D1為正三角形,

△

取B1C1的中點(diǎn)O,連接D1O,易得D1O⊥B1C1,

∴D1O⊥平面BCC1B1,

取BB1的中點(diǎn)E,CC1的中點(diǎn)F,連接D1E,D1F,OE,OF,EF,易知D1E=D1F=,

5

易知以D1為球心,為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以O(shè)為圓心,OE為半徑的,

5??

∵B1E=B1O=1,∴OE=,

同理OF=,易知EF=2,

∴∠EOF=920°,

∴的長=×(2π×)=.

12π

??