7.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)

考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1.(2024全國甲理,10,5分,中)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m.下述四個(gè)命題:

①若m∥n,則n∥α或n∥β

②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β

③若n∥α且n∥β,則m∥n

④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n

其中所有真命題的編號(hào)是()

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

A

10

命題①,由m∥n,m?α,得n?α或n∥α,

若n?α,m∥n,m?β,則n∥β,命題①正確;

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,如圖1所示,

取平面ADD1A1為平面α,平面A1B1C1D1為平面β,

則A1D1為直線m,若n是C1D,則m⊥n,

但n不垂直于α且n不垂直于β,命題②錯(cuò)誤;

若n是AC1,則n與平面α、β所成角相等,但m不垂直于n,命題④錯(cuò)誤;

命題③,如圖2,過n作平面γ交α于直線a,作平面δ交平面β于直線b,由

n∥α,n?γ,α∩γ=a得n∥a,同理可得n∥b.則a∥b,

由a∥b,a?α,b?α得b∥α,又α∩β=m,b?β,所以b∥m,所以m∥n,命題③正確,故選A.

2.(2021浙江,6,4分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則()

A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCD

B.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1

C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCD

D.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1

答案A解題指導(dǎo):利用線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理解決此類問題.

解析連接AD1,在正方形ADD1A1中,

由M為A1D的中點(diǎn),可知AD1∩A1D=M,且M為AD1的中點(diǎn),AD1⊥A1D.

又∵N為D1B的中點(diǎn),∴MN∥AB.

∵AB平面ABCD,MN平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.

??

∵AB⊥平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,

?

∵AB∩AD1=A,∴A1D⊥平面ABD1,

∴A1D⊥D1B.故A正確.

3.(2017課標(biāo)Ⅰ,6,5分)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在

這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()

答案AB選項(xiàng)中,AB∥MQ,且AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,則AB∥平面MNQ;C選項(xiàng)中,AB∥MQ,且AB?平面

MNQ,MQ?平面MNQ,則AB∥平面MNQ;D選項(xiàng)中,AB∥NQ,且AB?平面MNQ,NQ?平面MNQ,則AB∥平面MNQ.故

選A.

4.(2011北京文,17,14分)如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中

點(diǎn).

(1)求證:DE∥平面BCP;

(2)求證:四邊形DEFG為矩形;

(3)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說明理由.

解析(1)證明:因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn),所以DE∥PC.又因?yàn)镈E?平面BCP,PC?平面BCP,

所以DE∥平面BCP.

(2)證明:因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn),

所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)镻C⊥AB,

所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形.

(3)存在點(diǎn)Q滿足條件.理由如下:

連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn).

由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.

1

分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN2,NG,MG,MN.

與(2)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q,且QM=QN=EG,所以Q為滿足條件的點(diǎn).

1

5.(2022北京,17,14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1為正方形2,平面BCC1B1⊥平面

ABB1A1,AB=BC=2,M,N分別為A1B1,AC的中點(diǎn).

(1)求證:MN∥平面BCC1B1;

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①:AB⊥MN;

條件②:BM=MN.

注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析(1)證法一:取BC的中點(diǎn)P,連接NP,B1P,則NP∥AB,且NP=AB.

1

2

∵M(jìn)是A1B1的中點(diǎn),A1B1AB,∴B1M∥AB,且B1M=AB,

1

2

∴B1MPN,∴四邊形B1PNM為平行四邊形,

∴MN∥B1P,

又B1P平面BCC1B1,MN平面BCC1B1,

??

∴MN∥平面BCC1B1.

證法二:取AB的中點(diǎn)Q,連接QN,QM,

∵M(jìn),N分別是A1B1,AC的中點(diǎn),

∴QN∥BC,QM∥B1B,

∵QN平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,

??

∴QN∥平面BCC1B1,同理,QM∥平面BCC1B1,

又QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面BCC1B1,

又MN平面MNQ,∴MN∥平面BCC1B1.

(2)選擇?條件①.

∵側(cè)面BCC1B1為正方形,∴BC⊥BB1,又平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,BC

?

平面BCC1B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB.

解法一:由(1)中證法一知MN∥B1P,又AB⊥MN,∴AB⊥B1P.

∵BC∩B1P=P,∴AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BB1.

∴BC,B1B,BA兩兩垂直.

以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,1,2),

∴=(0,1,2),=(1,1,0),=(0,-2,0).

設(shè)平??面BMN的法?向?量為n=(x,?y?,z),

則即令z=1,得n=(2,-2,1).

?·?