第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)第四章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)一、典型例題一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)y=ax?2+1(a>0，且a≠1)過定點(diǎn)P，若點(diǎn)P在直線2mx+ny?6=0(mn>0)上，則1m+2A.2 B.83 C.8 D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查基本不等式求最值，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．

由指數(shù)函數(shù)可得P坐標(biāo)，可得2m+n=3，從而根據(jù)1m【解答】

解：當(dāng)x?2=0，即x=2時(shí)，ax?2+1恒等于2，

故函數(shù)y=ax?2+1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P(2,2)，

由點(diǎn)P在直線2mx+ny?6=0上，可得2m+n=3，

由m>0，n>0可得1m+2n=13(2m+n)(1m2.已知a=log21.41，b=20.41，c=ln2，則A.a<c<b B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)大小比較，屬于一般題．

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可推出a，b，c的范圍，從而得到它們之間的關(guān)系.

【解答】

解：由a=log21.41<log22=12，b=20.413.設(shè)2a=5b=m，且1A.10 B.10 C.20 D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

求出a，b，代入1a+1【解答】

解：由2a=5b=m，得a=log2m，b=log5m，

由4.若函數(shù)f(x)=2x?m,x<1,x2?4mx+3m2,x≥1有A.[13,1) B.(?∞,0)∪[1，+∞)

C.[1,2) D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參，屬于中檔題．【解答】

解：要使f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，

則當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=2x?m有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x2?4mx+3m2=(x?m)(x?3m)]有2二、多選題：本題共2小題，共10分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。5.關(guān)于函數(shù)y=log0.4(?x2+3x+4)A.定義域?yàn)?1,4 B.定義域?yàn)??∞,?1)∪(4,+∞)

C.值域?yàn)?2,+∞ D.遞增區(qū)間為3【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了求函數(shù)的定義域，考查了求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題．

由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定義域，再根據(jù)“同增異減”的原則求復(fù)合函數(shù)得單調(diào)區(qū)間，在求單調(diào)區(qū)間與值域時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域．【解答】

解：對(duì)于A，函數(shù)y=log0.4(?x2+3x+4)，若使函數(shù)有意義，

則自變量x應(yīng)滿足?x2+3x+4>0

，解得?1<x<4，

則函數(shù)的定義域?yàn)?1,4，故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，令u=?x2+3x+4>0，則函數(shù)y=log0.4u，

因?yàn)楹瘮?shù)u=?x2+3x+4，當(dāng)x=32時(shí)，umax=u32=254，

則u∈(0,254]，則函數(shù)y=log0.4u的值域?yàn)?2,+∞，故C6.給出下列四個(gè)命題，其中所有正確命題的選項(xiàng)是

(

)A.函數(shù)f(x)=loga(2x?1)?1的圖象過定點(diǎn)(1,0)；

B.化簡(jiǎn)2log25+lg?5lg?2+(lg?2)2?lg?2【答案】BD

【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，C，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D．【解答】

解：對(duì)于A，函數(shù)f(x)=loga(2x?1)?1的圖象過定點(diǎn)(1,?1)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，2log25+lg?5lg?2+(lg?2)2?lg?2

=2log252+lg?5+lg?2?1lg2=25+0=25，故B正確；

對(duì)于C，若loga12<1，當(dāng)a>1時(shí)，顯然成立，

當(dāng)0<a<1時(shí)，可得0<a<12，故C錯(cuò)誤；

三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。7.已知函數(shù)f(x)=lg(x2+2ax?5a)在[2,+∞)上是增函數(shù)，則a【答案】[?2,4)

【解析】【分析】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

由題意可得?a≤24+4a?5a>0【解答】

解：函數(shù)f(x)=lg(x2+2ax?5a)在[2,+∞)上是增函數(shù)，

可得?a≤24+4a?5a>0，解得?2≤a<4，8.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f(x)=?2x+1，則當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，f(x)=

；如果實(shí)數(shù)t滿足f(lnt)+f(【答案】

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)x∈0,+∞時(shí)，f(x)=?2x+1，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可求得x∈?∞,0時(shí)的解析式;【解答】

解：∵當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，?x∈(0,+∞)，

∴f(?x)=?2?x+1，

又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

∴f(?x)=fx=?2?x+1，

則當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，f(x)=?2?x+1;

∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

∴flnt+fln1t=flnt+f?lnt=flnt+flnt=2flnt，

∴不等式flnt+fln1t>2f1等價(jià)為2f(lnt)>?2f(1)，

即f(lnt)>f(1)，四、解答題：本題共2小題，共24分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。9.(本小題12分)

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+k?2?x(k∈R)．

(1)若f(x)是奇函數(shù)，求函數(shù)y=f(x)+f(2x)的零點(diǎn)；

(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使f(x)在【答案】解：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，

即2?x+k?2x=?2x?k?2?x，可得k=?1，

所以f(x)=2x?2?x，

令y=f(x)+f(2x)=2x?2?x+22x?2?2x=0，

即(2x?2?x)(1+2x+2?x)=0，

所以2x?2?x=0，解得x=0，

即函數(shù)y=f(x)+f(2x)的零點(diǎn)為x=0．

(2)當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f(x)=2x+k?2?x【解析】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，屬于中檔題．

(1)由奇函數(shù)的定義可求得k，令y=f(x)+f(2x)=0即可求得零點(diǎn)；

(2)對(duì)k分類討論，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解．10.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx的單調(diào)性(不必證明)(3)若不等式f2t+1+f12【答案】解：(1)由1?x1+x>0，解得?1<x<1，所以定義域?yàn)?x∈?1,1，都有?x∈?1,1，且∴fx(2)令u=1?x1+x,y=log2u，由u=1?x1+x=?1+21+x在?1,1(3)由f2t+1+f1則2t+1>t?12?1<2t+1<1?1<12?t<1

【解析】本題主要考查了函數(shù)的奇函數(shù)、單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及不等式恒成立問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．(1)由函數(shù)解析式化簡(jiǎn)得f(?x)=?f(x)，可證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(2)令u=1?x(3)利用函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，可把不等式f2t+1+f12?t<0恒成立，變形為

二、課后作業(yè)1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．

已知函數(shù)f(x)=log2x+2x【解答】

解：根據(jù)題意可得f(1)=0+2?3=?1<0，f(2)=1+4?3=2>0，

因此函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，

易知f(x)=log2x+2x?3在定義域上是增函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)=log2.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域與指數(shù)函數(shù)的值域問題以及集合間運(yùn)算，是基礎(chǔ)題先求出兩個(gè)集合，再利用集合間運(yùn)算來分析此題，即可得到我們所需要答案?！窘獯稹?/p>

解：(1)A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}，

B={y|y=12x,x>1}={y|0<y<3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：因?yàn)閍=30.7>1，b=(13)?0.84.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了同一坐標(biāo)系中對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)圖象確定出a?1的正負(fù)情況是求解的關(guān)鍵，屬于中檔題．

根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸及對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案．【解答】

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y=(a?1)x2?x可知，

?①當(dāng)0<a<1時(shí)，此時(shí)a?1<0，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax為減函數(shù)，

而二次函數(shù)y=(a?1)x2?x開口向下，且其對(duì)稱軸為x=12(a?1)<0，故排除C與D;

?②當(dāng)a>1時(shí)，此時(shí)a?1>0，對(duì)數(shù)函數(shù)y=log5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．

由題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【解答】

解：∵loga(a2+1)<loga2a<0，a2+1>1，

∴a∈(0,1)，6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

由題可得a，b，c分別為方程2x=?x，log2x=?x，x3=?x的根，在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2x，y=log2x，y=x3，y=?x的圖象，在圖象中找到a，b，c所在的位置，即可得出．

【解答】

解：由題得a，b，c分別為方程2x=?x，log2x=?x，x3=?x的根，

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2x，y=log2x7.【答案】AB

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．

利用奇偶性定義判斷f(x)、g(x)，結(jié)合解析式判斷f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而應(yīng)用基本不等式判斷g(x)的最值情況，即可知各選項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于A，f(?x)=e?x?對(duì)于g(?x)=e?x+e∴選項(xiàng)A正確，

對(duì)于B，x1,x2∈R且x1≠x2，ex在R上單調(diào)遞增，則fx1?fx2x1?x2=ex1?e?對(duì)于D，f(x)，x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，

x→?∞時(shí)，f(x)→?∞，即無最值；對(duì)于g(x)，gx=ex+∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB8.【答案】AC

【解析】【分析】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(3a?2)x+3a,x<1logax,x?1是R上的減函數(shù)，

所以3a?2<00<a<13a?2+3a≥log9.【答案】6【解析】【分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。【解答】

解：由題意可知P的坐標(biāo)為2,4．

則fx=210.【答案】?3

【解析】【分析】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，

根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解．【解答】

解：由題意，2log214?(11.【答案】[?2,2)

【解析】【分析】

由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)的減區(qū)間，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案．

本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法，是中檔題．

【解答】

解：由?x2?4x+12>0，得(x+6)(x?2)<0，即?6<x<2．

∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??6,2)．

令t(x)=?x2?4x+12，該函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=?2，

且在[?2,2)上單調(diào)遞減，而函數(shù)y=log1212.【答案】(?1【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)及不等式的解法，屬于較易題．

對(duì)x的取值進(jìn)行討論，列不等式即可求解．【解答】解：由題意得：當(dāng)x>12時(shí)，2x+2x?12>1恒成立，即x>12；

當(dāng)0<x≤12時(shí)，2x+x?113.【答案】解析：畫出f(x)的圖象與直線y=k，如圖．

由圖象可知，

當(dāng)k<?4時(shí)，f(x)=k有1個(gè)解;

當(dāng)k=?4或k>?3時(shí)，f(x)=k有2個(gè)解;

當(dāng)?4?<k<?3時(shí)，f(x)=k有3個(gè)解．

【解析】本題主要考了函數(shù)圖像與函數(shù)零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用，同時(shí)涉及到討論思想等；是中等題我們主要先畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)題意和函數(shù)圖像分析此題，即可得到我們所需要答案。14.【答案】解：(1)∵22a+1>25a?2，

∴2a+1>5a?2，即3a<3，解得a<1，

又∵a>0，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a<1．

(2)由(1)知0<a<1，

因此loga(3x+1)<loga(7?5x)等價(jià)于3x+1>07?5x>03x+1>7?5x,

即x>?13x<75x>34，解得34<x<75，

即不等式的解集為(34,75).

(3)由(1)知：0<a<1，

∴函數(shù)y=log【解析】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)的最值，指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式，屬于中檔題．

(1)利用指數(shù)不等式解法，計(jì)算得結(jié)論；

(2)利用對(duì)數(shù)不等式解法，計(jì)算得結(jié)論；

(3)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)y=loga(2x?1)在區(qū)間[1,3]15.【答案】解：(1)f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1?x)(a>0，且a≠1)．

要使該函數(shù)有意義，應(yīng)滿足x+1>0,1?x>0,所以x?1<x<1

(2)由(1)易得函數(shù)f(x)+g(x)的定義域

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.令M(x)=f(x)+g(x)，

則M(x)=loga(x+1)+log【解析】本題主要考了函數(shù)的定義域以及函