8講函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識(shí)點(diǎn)1】函數(shù)奇偶性的判 【知識(shí)點(diǎn)2】利用奇偶性求值(解析式 【知識(shí)點(diǎn)3】利用奇偶性解不等 【知識(shí)點(diǎn)4】函數(shù)的周期 ∈D，都有－x∈Df(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)y軸∈D，都有－x∈Df(－x)＝－f(x)，那f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)f(x)的最小正周期．f(xxf(x＋a)＝－f(x

1f(xf(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．【例1（2025?普陀區(qū)三模）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為 A．ysinx B．yx3C．y

D．y

121【例2（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)期中）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是 A．yxsin

B．ysin

C．yxsin

D．yxcos3（2025?濟(jì)寧模擬）f(x

3

，則下列是奇函數(shù)的是 A．f(x2)

B．f(x1)

C．f(x2)

D．f(x1)【例4（2025春?蘇州月考）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是 A．yC．y

exx2x21exxx1

B．yD．y

cosxx2x21sinx4x【例5（2025?虹口區(qū)二模）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 A．y B．y

C．ysin(x

D．ytan(x2奇函數(shù)性質(zhì)f(xf(x)f(xf(0)0（f(xx0義f(af(af(af(a)偶函數(shù)性質(zhì)f(xf(x)

f(xf(a)

f(af(af(a對(duì)于函數(shù)g(x)

f(xf(x

f(x原本的性質(zhì)如何，g(x一定是偶函數(shù)；而函數(shù)h(x)f(xf(x函數(shù)的奇偶性常與周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)綜合考查．若函數(shù)f(x)是周期為Tf(xTf(xf(xf(xf(x在[0,1f(x是周期為2f(3.5的值，可利f(3.5f(0.5，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解．f(x在區(qū)間[a,b]（a0）上的解析式，要求其在對(duì)稱區(qū)間[ba上的解析式，x[ba]，則x[ab]．因?yàn)閤f(xf(xf(x)f(xf(xf(x)f(xx[bf(x對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，可能需要對(duì)奇偶性的定義式進(jìn)行變形．例如，對(duì)于奇函數(shù)f(xf(xf(x)0f(xf(xf(x)0f(xf(x的解析式．有對(duì)于分段函數(shù)，判斷奇偶性時(shí)需要分別對(duì)每一段進(jìn)行分析．若分段函數(shù)f(x)【例6（2024福貢縣期末）f(x是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x23x，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式為 x2

x2

x2

x2【例7（2024?重慶期中）f(xRx0f(xx32x1x時(shí)，f(x)的解析式為 f(x)x32x1(x B．f(x)x32x1(xC．f(x)x32x1(x D．f(x)x32x1(x【例8（2024秋?桃城區(qū)期中）已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，f(x)3x2x，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式為( A．f(x)3x2

B．f(x)3x2

C．f(x)3x2

D．【例9（2024?錫山區(qū)期中）f(xx(0)f(x1x2x3x(0,)時(shí)，f(x)解析式是 A．f(x)1x2 B．f(x)1x2C．f(x)1x2 D．f(x)1x2【例10（2024?北碚區(qū)期中）f(x)Rx0f(x)21，則f(1) A．

C．

1：確認(rèn)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（必要條件

f(x)f

奇函數(shù)：只需分析x0或x0偶函數(shù)：重點(diǎn)分析x0x0時(shí)單調(diào)性與x02：若不等式含f(x，用f(xf(x)轉(zhuǎn)化為僅含f(x)的形式（如f(af(a利用f(xf(|x|)，將不等式統(tǒng)一為f(|x|)的形式（如f(af(|a|)步驟3：結(jié)合單調(diào)性脫 若已知f(x)在某區(qū)間遞增/遞減，直接根據(jù)單調(diào)性比較自變量大?。ㄗ? 的符號(hào)若f(x)在x0上遞增，則f(|a|)f(|b|)n|a||b|；

f(|a|)

f(|b|)n|a||b|．4： 【例11（2024吐魯番市期末）f(x是定義在Rx0時(shí)，f(x)x1，則不等式xf(x)0的解集為 A．(，1)(1， B．(1，0)(1，C．(1，0)(0 D．(，1)(0【例12（2023秋永城市期末）f(x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)lnxx1，則不等式f(x)0的解集為 A．(，1)(1， B．(1，0)(1，C．(1，0)(0 D．(，1)(0【例13（2023?錫山區(qū)期末）f(xRx0f(x2x1f(x)0的解集為 (3，0)(0， C．(，3)(0， D．(，3)(3，【例14（2024秋?姑蘇區(qū)期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) 2，則不等式f(x)x的解集為( A．(，4)(0， B．(4，0)(4，C．(4，0)(0， D．(，4)(4，【例15（2023?東城區(qū)期中）f(xR上的偶函數(shù)，且在[0f(1)0，則不等式f(x1)0的解集為 2(,3

(, 3D．(, (1, 4f【例16（2025?江西模擬）已知函數(shù)f(x)滿足fx1 ,fx為偶數(shù) 若f（1）3，f(2024) 【例17（2025?聊城模擬）已知f(x是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為g(x．若f(x1)2x為偶函數(shù)，且g(x)g(4x)，則g(i) i 【例18（2025?吉林四模）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)f(2x)2，則 A．f（2）f(10)f(xx1yf(x)【例19（2025新余模擬）

f(x的定義域?yàn)镹*f（3）5

f(17)3f(x1)f(x)f(x2)，則f(2026) B． D．【例20（2025?黃岡二模）f(x滿足對(duì)xyRf(xy2f(x2f2yf0，則f(2025)的值為 7講函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識(shí)點(diǎn)1】函數(shù)奇偶性的判 【知識(shí)點(diǎn)2】利用奇偶性求值(解析式 【知識(shí)點(diǎn)3】利用奇偶性解不等 【知識(shí)點(diǎn)4】函數(shù)的周期 ∈D，都有－x∈Df(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)y軸∈D，都有－x∈Df(－x)＝－f(x)，那f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)f(x)的最小正周期．f(xxf(x＋a)＝－f(x

1f(xf(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．【例1（2025?普陀區(qū)三模）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為 A．ysinx B．yx3C．y

D．y

121【分析】【解答】ysinxexyx3x2ABycos2xCyf(x)

1x，1x121f(x)D

1x21

1xf(xf(xD21【例2（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)期中）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是 yxsin【答案】

ysin

yxsin

yxcos【分析】f(xf(x【解答】Af(xRf(x)xsin(x)xsinxf(x)f(xA錯(cuò)誤；Bg(x)的定義域?yàn)?0)(0)g(x)sin(x)sinxg(xg(xB 對(duì)于C，函數(shù)h(xR且h(x)(xsin(x)(xsinx)h(x，所以h(x是奇函數(shù)，故C正確；Dp(x)R，p(x)(xcos(x)xcosxp(x)p(x)p(x)p(x)p(xD錯(cuò)誤．C．3（2025?濟(jì)寧模擬）f(x

3

，則下列是奇函數(shù)的是 f(x2)

f(x1)

f(x2)

f(x1)【分析】【解答】f(x)

3 1所以f(x2)

3 1令g(x) 1 11 f(x 3 則 1 31 3(3x f(x1 f(x2)3

33x 32x 3x2f(x1)3 3

B

3

3【例4（2025春?蘇州月考）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是 A．yC．y

exx2x21exxx1

B．yD．y

cosxx2x21sinx4x【分析】ex

e1

x2 （1cosx對(duì)B，設(shè)g(x) ，函數(shù)定義域?yàn)镽 cos(x)

g(xB (x)2ex

x2

對(duì)C，設(shè)h(x

x

B．【例5（2025?虹口區(qū)二模）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 A．y B．y

C．ysin(x

D．ytan(x【分析】【解答】解：對(duì)于A，y 的定義域?yàn)閇0，)，是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意Byx2是定義域?yàn)?0)(0上的偶函數(shù)，不滿足題意；對(duì)于Cysin(xπcosxR上的偶函數(shù)，不滿足題意； D2奇函數(shù)性質(zhì)f(xf(x)f(xf(0)0（f(xx0義f(af(af(af(a)偶函數(shù)性質(zhì)f(xf(x)

f(xf(a)

f(af(af(a對(duì)于函數(shù)g(x)

f(xf(x

f(x原本的性質(zhì)如何，g(x一定是偶函數(shù)；而函數(shù)h(x)f(xf(x函數(shù)的奇偶性常與周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)綜合考查．若函數(shù)f(x)是周期為Tf(xTf(xf(xf(xf(x在[0,1f(x是周期為2f(3.5的值，可利f(3.5f(0.5，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解．f(x在區(qū)間[a,b]（a0）上的解析式，要求其在對(duì)稱區(qū)間[ba上的解析式，x[ba]，則x[ab]．因?yàn)閤f(xf(xf(x)f(xf(xf(x)f(xx[bf(x對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，可能需要對(duì)奇偶性的定義式進(jìn)行變形．例如，對(duì)于奇函數(shù)f(xf(xf(x)0f(xf(xf(x)0f(xf(x的解析式．有對(duì)于分段函數(shù)，判斷奇偶性時(shí)需要分別對(duì)每一段進(jìn)行分析．若分段函數(shù)f(x)【例6（2024福貢縣期末）f(x是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x23x，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式為 x2

x2

x2

x2【分析】x0x0f(x【解答】x0x0f(x)x)23(x)x23x，又由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)x23xx0f(xx23x．D．【例7（2024?重慶期中）f(xRx0f(xx32x1x時(shí)，f(x)的解析式為 A．f(x)x32x1(x B．f(x)x32x1(xC．f(x)x32x1(x D．f(x)x32x1(x【答案】【分析】根據(jù)題意，令x0，則x0f(x【解答】解：根據(jù)題意，令x0，則x0，f(x)(x)32(x)1x32x1，f(xRf(xf(xx32x1．C．【例8（2024秋?桃城區(qū)期中）已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，f(x)3x2x，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式為( A．f(x)3x2

B．f(x)3x2

C．f(x)3x2

D．【解答】x0x0，f(x)3x2x，f(xf(xf(x(3x2x3x2x．A．【例9（2024?錫山區(qū)期中）f(xx(0)f(x1x2x3x(0,)時(shí)，f(x)解析式是 A．f(x)1x2 B．f(x)1x2C．f(x)1x2 D．f(x)1x2【分析】【解答】解：Qx(0)f(x1x2x3，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，x0x0f(xf(x[1x)2x)31x2x3．A．【例10（2024?北碚區(qū)期中）f(x)Rx0f(x)21，則f(1) A．

C．

【分析】【解答】f(xRx0f(x21f(1f(1211A1：確認(rèn)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（必要條件

f(x)f

奇函數(shù)：

x

或x

偶函數(shù)：

x

x

x

2：

f(x)

f(x)f

f

的形式（

f(a)f(a)利用f(x

f(|x|)

f(|x

的形式（

f(a)f(|a|)步驟3：結(jié)合單調(diào)性脫

f

在某區(qū)間遞增/遞減，直接根據(jù)單調(diào)性比較自變量大小（注 的符號(hào)若f(x)在x0上遞增，則f(|a|)f(|b|)n|a||b|；

f(|a|)

f(|b|)n|a||b|．4： 【例11（2024吐魯番市期末）f(x是定義在Rx0時(shí)，f(x)x1，則不等式xf(x)0的解集為 A．(，1)(1， B．(1，0)(1，(1，0)(0 D．(，1)(0【答案】f(x)【分析】xf(xf(x)

或xf(x)

【解答】f(xRx0f(xx1，x1f(x)00x1f(x)0，x1f(x01x0f(x)0f(x)xf(xf(x)

或x f(x)0x0x

或x1x

，解得0x1或1x0C【例12（2023秋永城市期末）f(x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)lnxx1，則不等式f(x)0的解集為 A．(，1)(1， B．(1，0)(1，C．(1，0)(0 D．(，1)(0性質(zhì)，求函數(shù)在(0)時(shí)，f(x)0的解集，即可求解．【解答】x0f(xlnxx1f（1）0，x(0,1)f(x)0x(1)f(x)0，x(10)f(x0x(1f(x0，f(x)0的解集是(1(0，1)．D【例13（2023?錫山區(qū)期末）f(xRx0f(x2x1f(x)0的解集為 (3，0)(0， C．(，3)(0， D．(，3)(3，【答案】【分析】f(x【解答】f(xRx0f(x2x1x0x0f(x2x1f(xf(x11 f(0)0x

x則f(x)0可轉(zhuǎn)化 或 2x x3或0x3．C．【例14（2024秋?姑蘇區(qū)期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) 2，則不等式f(x)x的解集為( A．(，4)(0， B．(4，0)(4，C．(4，0)(0， D．(，4)(4，【分析】f(x【解答】解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) 2，則f(0)0，x0x0則f(x) 2f(x)，即f(x)22x,x故f(x)0,x 2x,x當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)2 x，解得0x4，當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)00不成立，當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)2 x，解得x4故0x4x4．A．【例15（2023?東城區(qū)期中）f(xR上的偶函數(shù)，且在[0f(1)0，則不等式f(x1)0的解集為

(, 3第第PAGE13 共182(,3

(, (1, 【分析】【解答】f(xR上的偶函數(shù)，且在[0f(1)0f(xf(x1f(x1f(x1)0，化為x

或x f(x1) f(x1)結(jié)合圖象，可得解集為：(， (2,4)3B4f【例16（2025?江西模擬）已知函數(shù)f(x)滿足fx1 ,fx為偶數(shù) 若f（1）3，f(2024) 【分析】f【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足fx1 ,fx為偶數(shù) f（1）3f（2）10f（3）5f（4）16f（5）8f（6）4f（7）2，f（8）1，f（9）4f(10)2，f(11)1，f(12)4f(132，63f(2024)f(86723)f（8）1．A【例17（2025?聊城模擬）已知f(x是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為g(x．若f(x1)2x為偶函數(shù)，且g(x)g(4x)，則g(i) i 【分析】g(xg(xg(x2)4g(x4)g(x【解答】f(x12xf(x12xf(x12x，f(x12f(x12，f(x1f(x14g(2xg(x4，g(x)g(4x)g(2x)g(2x，g(xg(x2)4g(x2)g(x4)4g(x4)g(xg(xg(x2)4g（1）g（3）4g（2）g（4）4，g（1）g（2）g（3）g（4）8，g(i)g（1）g（2）g（3）g（4）g(20)5[g（1）g（2）g（3）gi]40B【例18（2025?吉林四模）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)f(2x)2，則 A．f（2）f(10)f(xx1yf(x)【分析】根據(jù)

f(x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得到

f(0)0，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，得到f(x2)2f(x【解答】Af(xRf(0)0x0f(xf(2x2f(0)f（2）2f(0)0，可得0f（2）2f（2）2AB選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

f(x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則

f(x)f(x

f(xf(2x2可得f(x)2f(2x