10.4三元一次方程組的解法（第1課時）數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級下冊

1．代入法解二元一次方程組的一般步驟：

（1）變形：從方程組中選取一個系數(shù)比較簡單的方程，把其中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來；

（2）代入：把變形后的方程代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

（3）求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

（4）回代：把求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程，求出另一個未知數(shù)的值；

（5）寫解：將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起，就得到方程組的解．

2．加減法解二元一次方程組的一般步驟：

（1）變形：使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

（2）加減：將兩個二元一次方程用相加或相減的方式消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

（3）求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

（4）回代：把求得的未知數(shù)的值代入方程組中的任一方程，求出另一個未知數(shù)的值；

（5）寫解：將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起，就得到方程組的解．思考

在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)的4倍多2．按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，那么這支球隊勝、平、負(fù)各多少場？

分析：這個問題中含有____個相等關(guān)系．

勝的場數(shù)＋平的場數(shù)＋負(fù)的場數(shù)＝22

勝場的得分＋平場的得分＋負(fù)場的得分＝47分

分析：這個問題中含有____個相等關(guān)系．思考

勝的場數(shù)＝負(fù)的場數(shù)×4＋23

在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)的4倍多2．按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，那么這支球隊勝、平、負(fù)各多少場？

解：設(shè)這個球隊勝、平、負(fù)的場數(shù)分別為x

，y

，z

，根據(jù)題意，可以得到下面三個方程：

x＋y＋z＝22，

3x＋y＝47，

x＝4z＋2．

這個問題的解必須同時滿足上面三個條件，因此，我們把這三個方程合在一起，寫成

新知

這個方程組含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組．思考

怎樣解三元一次方程組

？

提示：二元一次方程組可以利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同樣的思路，用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組呢？①③②

解這個二元一次方程組，可以求出

y

和

z，進而可以求出

x.

分析：要想解三元一次方程組

仿照前面學(xué)過的代入法，可以把③分別代入①②并化簡，得到兩個只含y，z的方程y＋5z＝20和

y＋12z＝41，它們組成方程組：

解這個二元一次方程組，可以求出

x

和

z，進而可以求出

y.

你還能用其他方法解這個三元一次方程組嗎？

仿照前面學(xué)過的加減法，②－①先消去

y，再將得到的只含x，z的方程

2x－z＝25

與③聯(lián)立：

分析：要想解三元一次方程組三元一次方程組

解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．歸納消元消元一元一次方程二元一次方程組

A．B．

C．D．

例1

下列方程組中，不是三元一次方程組的是（

）．B

例2

解三元一次方程組①③②變形代入消去

x關(guān)于

y，z的二元一次方程組

方程①中每個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不是1，將其變形，用代入法解比較繁瑣

例2

解三元一次方程組①③②消去

y關(guān)于

x，z的二元一次方程組④只含

x，z

解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．④①與④組成方程組

解這個方程組，得

把

x＝5，z＝－2代入②，得

2×5＋3y－2＝9，

所以

y＝．

因此，這個三元一次方程組的解為

當(dāng)三元一次方程組中某個方程缺少一個未知數(shù)時，可由另兩個方程消去與前述方程中所缺未知數(shù)相同的未知數(shù)，從而組成二元一次方程組求解．歸納

例3

在等式

y＝ax2＋bx＋c中，當(dāng)

x＝－1時，y＝0；當(dāng)

x＝2時，y＝3；當(dāng)

x＝5時，y＝60．求

a，b，c的值．

分析：把

a，b，c

看作三個未知數(shù)，分別把已知的

x，y

值代入原等式，就可以得到一個三元一次方程組．

解：根據(jù)題意，得三元一次方程組①③②②－①，得a＋b＝1；④

③－①，得

4a＋b＝10．